Sinusekvationer

Vi kan använda nollproduktmetoden för att hitta lösningarna. Om en parentes är 0 kommer hela ekvationen bli 0.

Parentes 1

Vi börjar med att lösa ekvationen sin(v) + 1 = 0. Vi kan skriva om den genom att flytta över 1 till högerledet. sin(v) = -1 Vi kan nu lösa ekvationen med med arcsin. Vi väljer att räkna med radianer.

Lösningsmängderna är upprepningar av varandra: Lägger vi på ett varv 2π på vinkel - π2 får vi 3π2. Det räcker därför med att svara med en av lösningsmängderna, och vi väljer v = 3π2 + n * 2π.

Parentes 2

Den andra ekvationen blir sin(v)- sqrt(3)2 = 0. Vi kan skriva om den genom att flytta över sqrt(3)2 till högerledet. sin(v) = sqrt(3)2 Vi kan nu lösa ekvationen med på samma sätt som tidigare.

Lösningarna till ekvationen är alltså v = π3 + n * 2π och v = 2π3+ n * 2π.

Fullständig lösning

Vi har nu kommit fram till att det finns tre lösningsmängder som löser ekvationen, v = π3 + n * 2π, v = 2π3+ n * 2π och v = 3π2 + n * 2π. Vi studerar lösningarna i enhetscirkeln för att se om vi kan slå ihop lösningsmängderna.

Eftersom vinkelavståndet mellan punkterna inte är lika långt kommer vi inte kunna slå ihop lösningarna. Den fullständiga lösningen på ekvationen är därför v = π3 + n * 2π, v = 2π3+ n * 2π och v = 3π2 + n * 2π.

Intervallet π2 ≤ x ≤ π motsvarar hela andra kvadranten i enhetscirkeln och sinusvärden motsvarar y-värden i punkter på enhetscirkeln. Därför finns det en lösning till ekvationen inom intervallet om det i andra kvadranten finns en punkt på enhetscirkeln med y-värdet - 0.3. När vi ritar upp enhetscirkeln ser vi att det inte finns någon sådan punkt.

Det finns alltså inga lösningar i det specificerade intervallet.

Eftersom båda gränserna i intervallet - 4π ≤ x ≤ - 7π2 är mindre än - 2π lägger vi till två varv, 4π, på gränserna för att lättare placera ut dem. Detta påverkar inte var i enhetscirkeln intervallet är. Vi får då 0 ≤ x ≤ π/2, vilket motsvarar första kvadranten. För att lättare kunna jämföra intervallet mot ekvationen skriver vi om den. 2sin(x) - 1 = 0 ⇔ sin(x) = 0.5 Lösningarna till ekvationen hittas alltså där y-värdet i enhetscirkeln är 0.5. En sådan punkt finns i första kvadranten. Vi ritar enhetscirkeln för att visa den.

För att bestämma lösningen behöver vi först lösa ekvationen fullständigt, och sedan hitta lösningen som ligger i första kvadranten.

Lösningsmängden x_1 beskriver alla lösningar i första kvadranten, så vi kan bortse från lösningsmängden x_2. Vi söker nu efter det n som gör att lösningen ligger inom intervallet - 4π ≤ x ≤ - 7π2. Det gör vi genom att sätta in olika negativa n tills vi hittar den sökta lösningen.

Vinkeln - 23π6 är ungefär - 3.8π, och ligger därmed inom intervallet - 4π ≤ x ≤ - 7π2. Den sökta lösningen är alltså x=- 23π6.

Vi börjar med att lösa ekvationen som vi brukar med arcsin.

Lösningarna på ekvationen är alltså v ≈ 42^(∘) + n * 360^(∘) och v ≈ 138^(∘) + n * 360^(∘). För att hitta vinklar i intervallet 800^(∘) < v < 1000^(∘) undersöker vi vad som händer när vi ökar n för båda lösningsmängder.

Det finns alltså en vinkel i intervallet som är en lösning till ekvationen: v ≈ 858^(∘).

Vi beräknar först värdet på x, för att sedan beräkna sin(2x).

Vi har nu två lösningsmängder, x = π6 + n * 2π och x = - π6 + n * 2π. Vi stoppar nu in dem en i taget i sin(2x).

n * 4π motsvarar att gå två varv åt något håll i enhetscirkeln ett godtyckligt antal gånger. Om man går hela varv i enhetscirkeln påverkas inte sinusvärden. Därför kan vi ta bort termen n * 4π vilket ger oss sin(π/3 + n * 4π) ⇔ sin(π/3). Vinkeln π3 är en trigonometrisk standardvinkel med sinusvärdet sqrt(3)2. Vi har nu hittat ett värde som sin(2x) får, men om vi stoppar in den andra lösningsmängden kanske vi får något annat.

På samma sätt som tidigare kan vi ta bort n * 4π.

Vi har alltså nu kommit fram till att sin(2x) antar två värden, nämligen sin(2x) = ± sqrt(3)/2.

Vi drar bort hela varv från vinklarna större än 360^(∘) för att lättare kunna jämföra dem. Sinus- och cosinusvärdena påverkas inte av det. Från y drar vi bort ett varv (360^(∘)) och från z drar vi bort två varv (720^(∘)). y =& cos(455^(∘)) = cos(95^(∘)) z =& sin(930^(∘)) = sin(210^(∘)) Vi markerar nu vinklarna 36^(∘), 95^(∘) och 210^(∘), och deras motsvarande punkter i enhetscirkeln.

För vinkeln 210^(∘) ser vi att dess sinusvärde är negativt. Visserligen är cos(95^(∘)) också negativt, men det är mycket närmare nollan än sin(210^(∘)) är. Vi drar därför slutsatsen att z = sin(930^(∘)) är det minsta talet. Nu tittar vi på cosinusvärdet för 95^(∘) och sinusvärdet för 36^(∘).

Vi ser att sin(36^(∘)) är något större än 0.5 och att cos(95^(∘)) är lite mindre än 0. Därför är x = sin(36^(∘)) största talet. Vi får då storleksordningen z < y < x.