5. Sinusekvationer
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 1
5.
Sinusekvationer
Genomgången handlar om sinusekvationer, en typ av trigonometriska ekvationer som används för att hitta vinklar som motsvarar ett givet sinusvärde. Dessa ekvationer har ofta oändligt många lösningar på grund av sinusfunktionens periodiska natur. Lektionen förklarar hur man löser dessa ekvationer genom att använda olika metoder som arcussinus och nollproduktmetoden. Den tar också upp begrepp som spegellösningar och perioder och hur man kan använda enhetscirkeln för att förstå dessa koncept. Det finns exempel och övningar som hjälper till att förstå hur man löser dessa ekvationer i olika sammanhang, som matte 4 och matte 3. Lektionen är en användbar lektionen för studenter som vill förstå hur man löser trigonometriska ekvationer och hur de används inom matematik.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 5 sidor teori |
| | 15 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Sinusekvationer
Sida av 5
Sinusekvationer är trigonometriska ekvationer där man utgår från ett sinusvärde för att hitta motsvarande vinklar. Precis som cosinusekvationer har sinusekvationer ofta oändligt många lösningar. Det beror på att det finns oändligt många vinklar med samma sinusvärde.
Regel
Period för sinus
I enhetscirkeln ser man att exempelvis sinusvärdet 0.5 återkommer för två vinklar per varv.
Metod
Lösa sinusekvationer
I en sinusekvation av typen
sin(v)=0.7
är man ute efter alla vinklar v som har sinusvärdet 0.7. Förutom de två vinklarna som visas i enhetscirkelns första varv finns oändligt många fler, eftersom sinusfunktionen är periodisk. I metoden för att hitta alla lösningar ingår tre moment. De tre stegen är förtydligade här men när man själv löser ekvationen gör man normalt alla tre på en och samma gång.
1
Hitta en lösning med arcsin
expand_more 2
Lägg till spegellösningen
expand_more Genom att spegla vinkeln arcsin(0.7) i y-axeln får man ytterligare en vinkel med samma sinusvärde. Man anger båda dessa lösningar på följande sätt.
arcsin(0.7)180∘−arcsin(0.7)
3
Lägg till perioder
expand_more De två lösningar man kan se i enhetscirkelns första varv har nu hittats. Men sinus har perioden 360∘, eller 2π, så genom att gå ett extra varv i enhetscirkeln hittas ytterligare två:
arcsin(0.7)+360∘180∘−arcsin(0.7)+360∘.
På samma sätt kan man lägga på, eller dra bort, ett godtyckligt antal helvarv för att hitta fler lösningar. Ekvationens samtliga lösningar kan därför skrivas
v=arcsin(0.7)+n⋅360∘v=180∘−arcsin(0.7)+n⋅360∘
där n är ett heltal. Förklaring
Hur slår man ihop lösningsmängder?
Lösningarna till en trigonometrisk ekvation kan alltid uttryckas på fler än ett sätt. Ibland kan däremot svaret förenklas genom att flera lösningsmängder slås ihop till en. Exempelvis kan lösningarna till någon ekvation beskrivas av lösningsmängderna
vvvv=−45∘+n⋅360∘=45∘+n⋅360∘=135∘+n⋅360∘=225∘+n⋅360∘.
Men att lista lösningarna i fyra olika grupper är lite otympligt. Om man markerar dessa i enhetscirkeln kan man se att det är 90∘ mellan varje. Just eftersom det är samma avstånd, 90∘, mellan varje par av intilliggande lösningar räcker det med ett enda uttryck för att beskriva alla lösningar:
v=45∘+n⋅90∘.
Exempel
Lös sinusekvationen fullständigt
Lös sinusekvationen sin(v)=0. Svara i radianer.
Visa Lösning expand_more
Vi använder arcussinus för att lösa ekvationen. Glöm inte att lägga till spegellösningen samt perioden 2π.
Nu har vi två lösningsmängder till ekvationen. Vi ritar ut vinklarna i enhetscirkeln för n=0, dvs. 
Övriga lösningar till ekvationen får man genom att låta n vara andra heltal, men vinklarna kommer alltid att motsvara punkterna (1,0) och (−1,0):
sin(v)=0
ArcSinEqn
arcsin(VL)=arcsin(HL)
v=arcsin(0)+n⋅2πv=π−arcsin(0)+n⋅2π
v=0+n⋅2πv=π−0+n⋅2π
SimpTerms
Förenkla termer
v1=n⋅2πv2=π+n⋅2π
0⋅2π=0ochπ+0⋅2π=π.
…−2π, −π, 0, π, 2π, 3π, …
Mellan två intilliggande lösningar är det samma avstånd, π. Det betyder att vi kan slå ihop lösningsmängderna till en med perioden π:
v=n⋅π.
Sinusekvationer
Uppgift 3.1
Tesa och Fredrik har fått i uppdrag att beskriva hur man kan lösa en ekvation på formen
sin(ax)=sin(bx).
Deras lärare ser att de har beskrivit det första steget i lösningen på olika sätt. Tesa har som första steg ställt upp följande fyra likheter, som hon påstår att man kan utgå ifrån för att få samtliga lösningar till ekvationen.
(I)(II)(III)(IV)ax+n⋅2π=ax+n⋅2π=π−ax+n⋅2π=π−ax+n⋅2π=bx+m⋅2ππ−bx+m⋅2πbx+m⋅2ππ−bx+m⋅2π
Konstanterna n och m är godtyckliga heltal. Fredrik har istället ställt upp endast två likheter som sitt första steg i lösningen:
(i)(ii)ax=ax=bx+n⋅2ππ−bx+n⋅2π,
där n är ett godtyckligt heltal. Vem har rätt? Peka ut skillnaderna mellan deras lösningar och motivera utförligt.
{"type":"choice","form":{"alts":["Tesa","Fredrik","B\u00e5da","Ingen"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":2}
security
report
code
security
report
code
Om vi kan förenkla likheterna (I)-(IV) så att uttrycken ser ut som (i) eller (ii) har vi visat att Tesas fyra likheter faktiskt motsvarar de två likheterna Fredrik angivit. Vi förenklar en likhet i taget, med målet att få ax ensamt i vänsterledet eftersom det är så (i) och (ii) ser ut.
Förenkling av (I)
Vi subtraherar n*2π från båda led och förenklar sedan.
Vi har nu en likhet som är väldigt lik (i). Eftersom både m och n är godtyckliga heltal, dvs. kan vara vilka heltal som helst, kan differensen m-n också vara vilket heltal som helst. Om vi kallar differensen för p får vi likheten ax = bx + p * 2π. Uttrycket är nu identiskt med (i), med skillnaden att det godtyckliga heltalet representeras av olika bokstäver. Men det påverkar inget. Utbyte av m-n eller n-m mot p kommer användas även i de kommande förenklingarna.
Förenkling av (II)
Likhet (II) är alltså identisk med likhet (ii).
Förenkling av (III)
Likheten (III) är alltså identisk med (ii).
Förenkling av (IV)
Likhet (IV) är alltså identisk med (i).
Slutsats
Vi har nu visat att likheterna (I) och (IV) är identiska med (i) samt att likheterna (II) och (III) är identiska med (ii). Det innebär att Tesas fyra likheter kan representeras enbart med hjälp av Fredriks två likheter.
security
report
code
För vilka vinklar i intervallet 0∘<v<90∘ gäller att
sin(3v)<21?
Nationella provet VT13 Ma4
security
report
code
security
report
code
När vi använder arcsin på olikheten är det egentligen inte annorlunda än för en ekvation, vi behöver lägga till perioden och spegellösningen. Dock är det inte självklart om olikhetstecknet behöver byta riktning eller inte. Vi avgör hur det ska vara riktat genom att visualisera problemet i enhetscirkeln och sedan resonera.
I figuren är både vinkeln från arcsin och spegelvinkeln då sinusvärdet är 0.5 markerad. För vinkeln från arcsin ser vi att sinusvärdet är mindre än 0.5 om vinkeln är mindre än arcsin(0.5). För spegelvinkeln ser vi att sinusvärdet är mindre än 0.5 om vinkeln är större än 180^(∘) - arcsin(0.5). Alltså ska olikhetstecknet vändas för spegelvinkeln. Vi använder nu arcsin för att få olikheterna.
Vi har intervallet 0^(∘) < v < 90^(∘), vilket innebär att det enda värdet på n som är relevant för oss är 0. Från v_1 och får vi 0^(∘) < v < 10^(∘). Från v_2 och får vi intervallet 50^(∘) < v < 90^(∘). Dessa två intervall löser den ursprungliga olikheten.
security
report
code
Sinusekvationer
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll