Rationella uttryck

Genom att sätta in x=8 i det rationella uttrycket kan vi bestämma R(8).

När x=8 har det rationella uttrycket värdet 15.

Det rationella uttrycket är odefinierat när nämnaren är noll eftersom nolldivision är otillåtet. I nämnaren står det x-7 så det x-värde som gör att nämnaren blir 0 måste vara 7. Vi kan motivera detta algebraiskt genom att likställa nämnaren med 0 och lösa ut x.

Vi förlänger det rationella uttrycket med 7 genom att multiplicera både täljare och nämnare med 7.

Uttrycken är odefinierade om nämnaren blir 0 vid insättning av x=3. Vi sätter in x=3 i uttrycken.

Uttryck A är definierat när x=3 eftersom insättning ger 17 som är ett reellt tal. Vi fortsätter med nästa.

Uttryck B är inte definierat när man sätter in x=3 eftersom detta ger nolldivision.

Inte heller C är definierat när man sätter in x=3. Sammanfattningsvis är A definierat och B och C odefinierade vid insättning av x=3.

3x - 216 - x är ett rationellt uttryck och blir, precis som alla bråk, odefinierat när nämnaren är lika med 0 eftersom nolldivision är otillåtet. För att undersöka vilket x detta gäller för sätter vi uttrycket i nämnaren lika med 0 och löser ut x.

Uttrycket är alltså odefinierat när x=6.

Man får inte dela med noll eftersom det ger nolldivision, vilket i det här fallet betyder att x inte får vara lika med noll eftersom även nämnaren då skulle bli noll. Variabeln kan alltså inte anta värdet 0.

Återigen så får man inte dela med noll. I nämnaren adderas x med 2. För att nämnaren ska bli noll måste x=- 2 eftersom 2+(- 2)=0. Man kan även visa detta genom att ställa upp en ekvation där man sätter uttrycket i nämnaren lika med noll och sedan löser ut x.

Det enda värdet vi kan sätta in istället för x som gör att vi får nolldivision är x=0. Vi visar detta algebraiskt genom att likställa uttrycket i nämnaren med noll och lösa ut x.

Ett rationellt uttryck är odefinierat när dess nämnare är 0. Vi måste alltså bestämma nämnarens polynom så att det blir 0 om man sätter in x=5 eller x=-7. Det enklaste polynomet som ger 0 då x=5 är 5-x, eftersom 5-5=0. Med samma resonemang kan man inse att det enklaste polynomet som blir 0 vid insättning av x=-7 är 7+x, eftersom 7+(-7)=0. För att nämnaren ska bli odefinierad för både x=5 och x=-7 måste hela nämnaren bli 0 vid insättning av någon av dessa. Det uppfylls av produkten (5-x)(7+x), eftersom hela produkten blir 0 om ena faktorn är det. Täljaren kan vara vilket polynom som helst, så vi kan t.ex. välja det rationella uttrycket 2x/(5-x)(7+x).

Vi kan förenkla uttrycket om man kan bryta ut samma faktorer i täljare och nämnare och förkorta. Alla termer i täljare och även nämnare är jämnt delbara med 4 så vi kan alltså bryta ut denna faktor.

Även om vi fortfarande kan bryta ut en 2:a i täljaren och ett x i nämnaren så kan dessa faktorer inte förkortas. Uttrycket står alltså på sin enklaste form.

Samtliga termer innehåller x. Detta innebär att vi kan bryta ut x i både täljare och nämnare och förkorta.

Det är inte uppenbart vilka faktorer som täljaren och nämnaren delar. Men vi bryter ut största möjliga faktor så får vi se vad som händer.

Nu ser vi att täljare och nämnare delar faktorn x-3 så denna kan förkortas bort.

Vi sätter in värdena för a och b i uttrycket.

När man sätter in a=6 och b=2 i uttrycket får man 0 i nämnaren vilket är otillåtet, och därför får man ERROR på räknaren.

Vi använder metoden för att förenkla rationella uttryck och börjar med att undersöka om det finns någon faktor som kan brytas ut. I täljaren finns faktorn 2 i båda termerna, så vi bryter ut den.

Vi har fortfarande inga faktorer som är likadana i täljaren och nämnaren och det finns inget som går att faktorisera med konjugat- eller kvadreringsreglerna. Det går däremot att bryta ut ett minustecken ur parentesen i täljaren för att få faktorn x - 9.

Nu kan vi förkorta bort faktorn x - 9 som finns både i täljaren och nämnaren.

Nu går det inte att förenkla mer.

Vi gör på samma sätt med det här uttrycket. I det här fallet finns det ingen faktor som går att bryta ut, men vi kan använda konjugatregeln för att faktorisera täljaren.

Nu ser vi att x - 5 i täljaren och 5 - x i nämnaren nästan matchar varandra, och vi kan få dem att bli likadana genom att bryta ut ett minustecken.

Nu kan vi förenkla uttrycket genom att förkorta med (5 - x).

Förenklat blir uttrycket alltså - (x + 5), men man kan också multiplicera in minustecknet för att få - x - 5.

Vi förlänger det rationella uttrycket med x genom att multiplicera både täljare och nämnare med x. Sedan utvecklar vi täljare och nämnare.

Vi gör samma sak igen.

Vi provar att förlänga det rationella uttrycket med x.

Mycket riktigt är variabeltermerna i ursprungsuttrycket kvadrerade och kan därmed inte anta ett negativt värde. Men när vi förlängde med x så multiplicerades även 8 med x. Sätter vi in ett negativt värde, exempelvis x=- 1, i variabeltermen 8x blir produkten negativ. Och om x^2 är mindre än 8x för något negativt x-värde blir summan i täljaren negativ vilket ger ett negativt funktionsvärde. Vi visar med ett exempel.

Uttrycket är odefinierat när nämnaren är noll. Genom att sätta polynomet i nämnaren lika med noll och lösa ekvationen kan vi alltså bestämma de värden på x där uttrycket är odefinierat.

När x=0 och x=- 6 är uttrycket alltså odefinierat.

Vi likställer nämnaren med noll och löser ekvationen med pq-formeln.

Vi likställer nämnaren med noll och löser ut x med hjälp av första kvadreringsregeln.

När x=- 5 är uttrycket odefinierat.

Vi gör samma sak igen. Nämnaren likställs med noll och vi löser ekvationen.

Både x=- 2 och x=2 är lösningar till ekvationen, så uttrycket är odefinierat för dessa x-värden.

Vi bryter ut en gemensam faktor i täljarna hos de två rationella uttrycken och förkortar sedan.

Vi gör på samma sätt som tidigare, dvs. bryter ut en gemensam faktor och förkortar.