Metod

Förenkla rationella uttryck

För att kunna förenkla ett rationellt uttryck måste det finnas en gemensam faktor i täljaren och nämnaren. Om det gör det kan uttrycket förenklas genom att den förkortas bort. Gemensamma faktorer kan hittas genom att på olika sätt faktorisera polynomen i täljaren och nämnaren. Exempelvis kan det rationella uttrycket

\frac{9 x - x ^{3}}{x ^{2} - 6 x + 9}

förenklas genom att ta hjälp av följande checklista.

Kan man bryta ut faktorer?

Undersök först om det finns någon gemensam faktor för alla termer i täljaren eller nämnaren, och i så fall, bryt ut den. I det här fallet finns faktorn

x

i båda termerna i täljaren.

\frac{9 x - x ^{3}}{x ^{2} - 6 x + 9}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

\frac{x \cdot 9 - x \cdot x ^{2}}{x ^{2} - 6 x + 9}

FactorOut

Bryt ut $x$

\frac{x ( 9 - x ^{2} )}{x ^{2} - 6 x + 9}

Kan man faktorisera med konjugatregeln?

Sedan undersöker man om det är möjligt att faktorisera något med konjugatregeln. Man söker alltså efter ett uttryck på formen

a^{2} - b^{2}

som kan faktoriseras till

(a + b) (a - b) .

I exemplet finns

9 - x^{2}

i täljaren, vilket kan faktoriseras på detta sätt.

\frac{x ( 9 - x ^{2} )}{x ^{2} - 6 x + 9}

WritePow

Skriv som potens

\frac{x ( 3 ^{2} - x ^{2} )}{x ^{2} - 6 x + 9}

FacDiffSquares

Faktorisera med konjugatregeln

\frac{x ( 3 + x ) ( 3 - x )}{x ^{2} - 6 x + 9}

Kan man faktorisera med kvadreringsreglerna?

Man bör också undersöka om det går att faktorisera någonting med första eller andra kvadreringsregeln. Man söker alltså efter uttryck på formen

a^{2} + 2 a b + b^{2}

eller

a^{2} - 2 a b + b^{2}

som kan faktoriseras till

(a + b)^{2}

respektive

(a - b)^{2} .

I exemplet kan nämnaren faktoriseras med andra kvadreringsregeln.

\frac{x ( 3 + x ) ( 3 - x )}{x ^{2} - 6 x + 9}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

\frac{x ( 3 + x ) ( 3 - x )}{x ^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 9}

WritePow

Skriv som potens

\frac{x ( 3 + x ) ( 3 - x )}{x ^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3 ^{2}}

FacNegPerfectSquare

Faktorisera med andra kvadreringsregeln

\frac{x ( 3 + x ) ( 3 - x )}{( x - 3 ) ^{2}}

Måste man bryta ut ett minustecken?

I vissa fall måste man bryta ut ett minustecken ur en faktor för att den ska få samma utseende som en annan faktor. I exemplet kan man se att faktorn

3 - x

i täljaren är nästan identisk med faktorn

x - 3

i nämnaren och om man bryter ut

- 1

i täljaren blir de likadana.

\frac{x ( 3 + x ) ( 3 - x )}{( x - 3 ) ^{2}}

RearrangeFac

Omarrangera faktorer

\frac{( 3 - x ) \cdot x \cdot ( 3 + x )}{( x - 3 ) ^{2}}

FactorOutNegSignSwap

$a - b = - (b - a)$

\frac{- ( x - 3 ) \cdot x \cdot ( 3 + x )}{( x - 3 ) ^{2}}

Förkorta faktorer

När täljaren och nämnaren är helt faktoriserade identifierar man de faktorer som finns i båda och förkortar bort dem. I exemplet kan man nu se att faktorn

x - 3

finns en gång i täljaren och två gånger i nämnaren, så det går att förkorta med den en gång.

\frac{- ( x - 3 ) \cdot x \cdot ( 3 + x )}{( x - 3 ) ^{2}}

ReduceFrac

Förkorta med $(x - 3)$

\frac{- x ( 3 + x )}{x - 3}

Det rationella uttrycket har nu förenklats så långt som det går. Om man vill bli av med ytterligare ett tecken kan man flytta ned minustecknet till nämnaren och multiplicera in det. Då får man

\frac{x ( 3 + x )}{- ( x - 3 )} = \frac{x ( 3 + x )}{3 - x} .

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount}}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount}}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Se även