Rationella uttryck

Det kan vara frestande att börja med att utveckla täljaren i uttrycket, men det bör man inte göra eftersom det då blir det mycket svårare att genomföra förenklingen. Vad man istället bör göra är att skriva om 1 som 1^2. (x + 3)^2 - 1^2/x + 2 Vi ser att täljaren är en kvadrat subtraherad från en annan kvadrat, alltså a^2 - b^2, där a = x + 3 och b = 1. Då kan täljaren faktoriseras med konjugatregeln och vi får ett uttryck på formen (a + b)(a - b).

Uttrycket går alltså att förenkla till x + 4.

Vi börjar med att ställa upp ekvationen som ska lösas. Vi vet att täljaren i det rationella uttrycket är x^2 - 5x + 6 och nämnaren är x^2 + 3x - 18 samt att detta ska vara lika med 5. Det ger x^2 - 5x + 6/x^2 + 3x - 18 = 5. Redan här kan vi konstatera att uttrycket är odefinierat för det eller de värden på x som gör att nämnaren blir 0, dvs. x^2 + 3x - 18 ≠ 0.

Ett sätt att hantera detta på är att lösa ekvationen x^2 + 3x - 18=0 och utesluta dessa rötter som möjliga. Ett annat sätt är att kontrollera sina lösningar på slutet för att inte riskera falska rötter. Vi väljer detta sätt eftersom prövning alltid är bra för att kontrollera sig själv. Men vi börjar med att lösa ekvationen.

Ekvationen står nu på pq-form och vi kan lösa den med pq-formeln.

Det verkar som att det finns två lösningar till ekvationen, men nu är det alltså viktigt att vi prövar våra lösningar. Vi börjar med att sätta in x = -8.

Det stämmer för x = - 8, och vi fortsätter med att testa för x = 3.

Vi ser här att både täljaren och nämnaren blir noll när x = 3, vilket innebär att det rationella uttrycket är odefinierat för det x-värdet. Det är alltså bara x = - 8 som löser ekvationen.

Vi kan se att termerna i nämnaren, 3x-2, har motsatta tecken jämfört med täljarens uttryck 2-3x som kvadrerats. Genom att bryta ut ett minustecken i nämnaren får täljare och nämnare en gemensam faktor som kan förkortas bort.

Täljaren kan faktoriseras med andra kvadreringsregeln och nämnaren kan faktoriseras med konjugatregeln. Vi behöver bara göra ett par omskrivningar först.

Precis som i förra deluppgiften ser vi nu att det finns uttryck i täljare och nämnare som är lika men har motsatt tecken. Genom att bryta ut ett minustecken får nämnare och täljare en gemensam faktor som kan förkortas bort.

Vi vill förenkla R(x) och för att kunna göra det måste vi först faktorisera täljaren med andra kvadreringsregeln och nämnaren med konjugatregeln.

Det är nu möjligt att förkorta uttrycket med x - 3 eftersom den faktorn finns i både täljaren och nämnaren. Vi får då R(x) = x - 3/x + 3, alltså samma funktionsuttryck som för G(x).

Det kan verka som att det borde gå att sätta ett likhetstecken mellan R(x) och G(x) eftersom det går att förenkla funktionsuttrycket för R(x) så att det blir lika med G(x). Man måste dock tänka på mer än bara funktionsuttrycket. R(x) är inte definierad för x = - 3 och x = 3 och det gäller även efter förenklingen, så R(x) = x - 3/x + 3, (x ≠ - 3 och x ≠ 3). Tittar man istället på G(x) så har den samma funktionsuttryck men eftersom den har x + 3 i nämnaren är den bara odefinierad för x = - 3, så G(x) = x - 3/x + 3, (x ≠ - 3). Skillnaden ligger i definitionsmängden, där det förenklade uttrycket för R(x) är odefinierat för x = - 3 och x = 3 medan G(x) är odefinierat för x = 3.

Ett rationellt uttryck är odefinierat då dess nämnare är lika med 0. Det speciella här är att uttrycket har tre nämnare: x-8, x+3/x-5, och x-5. Nämnaren x-8 kommer vara 0 för x=8. Liknande resonemang ger att nämnarna x+3x-5 och x-5 är lika med 0 för x=-3 respektive 5. Uttrycket är alltså odefinierat för x-värdena -3, 5 och 8.

Vi resonerar på samma sätt igen. Uttrycket har de tre nämnarna x+7, x+19/x, och x. Dessa kommer vara lika med 0 för x-värdena -7, -19 respektive 0. Det är alltså dessa värden uttrycket är odefinierat för.

Vi provar att sätta in x=3 i uttrycket och ser vad som händer.

När vi sätter in x=3 i det rationella uttrycket får vi alltså nolldivision, vilket är otillåtet. Ulf har alltså rätt i sitt resonemang och Ulla måste ha gjort fel.

Hur kan då Ulla ha tänkt? Vi provar att förenkla det rationella uttrycket.

Nu står uttrycket på sin enklaste form och vi sätter in x=3 och förenklar.

Detta ger oss Ullas svar. Hon har alltså förenklat det rationella uttrycket innan hon satte in x=3. Notera dock att definitionsmängden för de två uttrycken 2x-6/x^2-9 och 2/x+3 är samma när man förenklar det ena till det andra. Annars kan man inte sätta ett likhetstecken mellan uttrycken. Så även om det inte ser ut som att det förenklade uttrycket är odefinierat för x= 3 kommer det att vara det eftersom det oförenklade uttrycket är det.