Rationella uttryck

Ett rationellt uttryck är ett bråk som innehåller polynom i både täljare och nämnare. Vi måste alltså undersöka täljare och nämnare i uttrycken. Om någon av dessa inte är polynom är det inte rationellt.

Uttryck A

I ett polynom får variabeltermer endast ha positiva heltalsexponenter. Eftersom en variabelterm i täljaren har exponenten 2.6 som inte är ett heltal är det inte ett polynom. A är därför inte ett rationellt uttryck.

Uttryck B

I täljaren står 3-4x^2 vilket är ett andragradspolynom. I nämnaren står det 2x-5^(2.5) vilket är ett förstagradspolynom. Observera att det är konstanten och inte variabeltermen som har ett decimaltal i exponenten. Uttryck B har alltså polynom i täljare och nämnare och är då ett rationellt uttryck.

Uttryck C

Första variabeltermen i täljaren innehåller ett rottecken som kan skrivas om som en potens enligt regeln sqrt(a)=a^(12). Talet 12 är inte ett heltal så täljaren är inte ett polynom. C är därmed inte ett rationellt uttryck.

Uttryck D

Innan vi kan uttala oss om uttrycket är rationellt så förenklar vi det något så att vi blir av med exponenten.

Vi ser att både täljare och nämnare är andragradspolynom vilket betyder att uttrycket är rationellt. Sammanfattningsvis är alltså B och D rationella uttryck.

För att förenkla det rationella uttrycket bryter vi ut en gemensam faktor som därefter förkortas. Alla termer i både täljare och nämnare "innehåller" faktorn 5, så vi börjar med att bryta ut denna och förkorta.

Kan man hitta fler gemensamma faktorer? I täljaren har vi x^2-1 och genom att skriva om 1 som 1^2 kan vi faktorisera ytterligare en gång med konjugatregeln. Vi faktoriserar även nämnaren genom att bryta ut 2.

Samtliga termer i täljare och nämnare innehåller variabeln y. Vi kan alltså bryta ut denna faktor och förkorta den.

Även om nämnaren kan faktoriseras en gång till med konjugatregeln så kan vi inte stryka någon av dessa faktorer mot y^2+1. Bråket står alltså på sin enklaste form.

Täljaren är en differens mellan två kvadrater. Det betyder att vi kan faktorisera med konjugatregeln.

Nu ser vi att differensen x-y finns i både täljaren och nämnaren vilket innebär att den kan förkortas.

Uttrycket i täljaren står på formen a^2-2ab+b^2 och kan därför faktoriseras med andra kvadreringsregeln. I nämnaren har vi två termer som båda innehåller faktorn 2 så denna kan brytas ut.

I både täljaren och nämnaren har vi faktorn x-y så den kan förkortas bort.

Täljaren och nämnaren är ganska lika. Det enda som skiljer dem är att termerna är omkastade i differensen. Om man bryter ut ett minustecken kan man byta plats på dem så att man kan förkorta.

Det går att sätta in x = 3.99 direkt i uttrycket och beräkna vad det blir, men det är ganska krångligt att göra utan en räknare. Då är det lättare att först förenkla uttrycket. Nämnaren går inte att förenkla längre, men vi ser att det går att bryta ut en faktor 2 i täljaren.

Vi ser nu att uttrycket innanför parentesen kan faktoriseras med konjugatregeln, vilket gör att vi kommer kunna förkorta bort faktorn x + 4.

Det är nu mycket lättare att sätta in x = 3.99 och beräkna värdet för uttrycket.

Uttrycket blir alltså 0.02 när x = 3.99.

För att ett bråk ska vara ett rationellt uttryck måste både täljaren och nämnaren vara polynom. Polynom består av konstanttermer och variabeltermer där variablerna har heltal som exponenter, t.ex. x^2 + 4x + 9. Det finns dock inget krav att båda dessa sorters termer måste finnas i polynomet eller att det måste vara en summa. Täljaren i det rationella uttrycket är konstanttermen 1 och nämnaren är en variabeltermen 2x, där x har den underförstådda exponenten 1, så båda dessa är polynom. Svaret är alltså ja, 12x är ett rationellt uttryck.

Om det rationella uttrycket är odefinierat när x=3 eller x=- 6 innebär det att insättning av dessa värden ger nolldivision. De enklaste polynomen som ger 0 vid insättning av x= 3 respektive x= - 6 är &3-x: 3- 3=0 och &6+x: 6 - 6=0. Genom att multiplicera dessa uttryck och sätta dem i nämnaren på ett bråk har vi skapat ett rationellt uttryck som är odefinierat för x=3 och x=- 6. Det spelar ingen roll vad som står i täljaren. Vi väljer x, vilket ger x/(3-x)(6+x).

För att bestämma ett rationellt uttryck som är definierat för alla x måste vi skapa ett polynom som aldrig blir 0 och sätta det i nämnaren. Vi kan börja med x^2 som aldrig blir negativt oavsett vilket x-värde man sätter in. Insättning av x=0 ger dock x^2 = 0^2 = 0. Vi kan addera en konstant, t.ex. 1, för att få ett polynom som aldrig blir 0. Det ger x^2+1. Vi sätter in det i nämnaren på ett bråk och väljer en godtycklig täljare: 3x/x^2+1.

Vi kallar det okända polynomet för p(x) och ställer upp en ekvation där x^3 - 4x divideras med p(x) och är lika med x - 2: x^3 - 4x/p(x) = x - 2. På samma sätt som man kan använda balansmetoden för att lösa ut variabler ur ekvationer kan vi nu använda den för att lösa ut p(x) ur denna ekvation.

Vi har nu fått ett uttryck för p(x). Det är dock ett rationellt uttryck, inte ett polynom, så det måste gå att förenkla det. Vi ser att det är möjligt att först bryta ut ett x och sedan faktorisera med konjugatregeln.

Polynomet som man dividerade med var alltså x (x + 2) eller, skrivet på allmän form, x^2 + 2x.

Rationella uttryck kan förkortas om, och endast om, det finns gemensamma faktorer i täljare och nämnare. Det finns det i 9a+9ba+b.

9a+9ba+b kan alltså förenklas till 9 eftersom nämnare och täljare har den gemensamma faktorn (a+b). Vi kan inte göra motsvarande faktorisering för 9a+ba+b eftersom det endast finns en nia i den första termen i täljaren, och därför kan vi inte förkorta bråket.

Täljaren och nämnaren är relativt lika – det som skiljer dem åt är att termerna har olika tecken. Man kan dock byta plats på termerna i en differens genom att bryta ut ett minustecken.

Bråket är alltså lika med -1.

Vi förenklar bråket genom att först faktorisera nämnaren. Då kan vi förkorta bort en av faktorerna i täljaren.

Uttrycket förenklas till x+22.

Vi använder samma arbetsgång, dvs. vi faktoriserar täljare och nämnare tills de kan förkortas. Vi börjar med täljaren som kan faktoriseras med första kvadreringsregeln.

Genom att bryta ut en tvåa i nämnaren får vi en differens av två kvadrater vilket betyder att vi kan faktorisera den med konjugatregeln.

Nu har vi faktorn (x+4) i både nämnare och täljare så vi kan förkorta med den: (x+4)^2/2(x+4)(x-4) = x+4/2(x-4).