Räkna med integraler: Lär dig att integrera effektivt

Ibland vill man bestämma värdet av en integral som inte enkelt kan beräknas genom att summera areor av kända figurer. Om man känner till funktionsuttrycket kan integralen beräknas algebraiskt med en av funktionens primitiva funktioner.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Samband mellan derivata och integral
Integralkalkylens huvudsats
Beräkna integral med primitiv funktion

Förkunskaper

Integral
Primitiva funktioner

Regel

Samband mellan derivata och integral

En integral kan tolkas som en area. T.ex. kan

\int_{0}^{5} f (t) d t

tolkas som arean av området mellan grafen till

f (t)

och koordinataxlarna upp till den övre gränsen

t = 5 .

Genom att ändra på den övre gränsen kommer områdets area att förändras. För en given funktion $f$ kommer arean på området mellan koordinataxlarna och $f (t)$ enbart att bero på den övre integrationsgränsen. Genom att låta den vara $x$ kan man definiera en areafunktion,

A (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

som beräknar arean av området mellan

f (t)

och

t -

axeln mellan

0

och

x .

Med hjälp av areaberäkningar och derivatans definition kan man visa att

A (x) = F (x) d \ddot{a} r F^{'} (x) = f (x),

dvs. att areafunktionen är en primitiv funktion till integranden.

Regel

Integralkalkylens huvudsats

Integralen av en funktion $f (x),$ på intervallet $a \leq x \leq b,$ kan beräknas med någon av funktionens primitiva funktioner $F (x) .$ För att beräkna integralen bestämmer man differensen av den primitiva funktionens värde för den övre integrationsgränsen och motsvarande värde för den undre gränsen.

Regel

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

Man kan motivera detta samband med ett exempel där

f (x) = 0, 5 x + 2 .

Integralen

\int_{2}^{6} (0, 5 x + 2) d x

representeras då av den markerade arean i figuren.

Integralen kan därför beräknas genom att bestämma arean av området. I det här fallet kan man dela upp det i en rektangel med arean

4 \cdot 3 = 12

och en triangel med arean

\frac{4 \cdot 2}{2} = 4 .

Den totala arean och därmed integralens värde blir alltså

\int_{2}^{6} (0, 5 x + 2) d x = 12 + 6 = 16 .

Nu kan man jämföra detta resultat med regeln om man använder

F (x) = 0, 25 x^{2} + 2 x,

en primitiv funktion till

f (x) .

Uttrycket

F (b) - F (a)

blir då

0, 25 b^{2} + 2 b - (0, 25 a^{2} + 2 a) .

För att beräkna värdet av detta sätter man in integrationsgränserna

a = 2

och

b = 6 .

0, 25 b^{2} + 2 b - (0, 25 a^{2} + 2 a)

SubstituteII

$b = 6$ och $a = 2$

0, 25 \cdot 6^{2} + 2 \cdot 6 - (0, 25 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2)

CalcPow

Beräkna potens

0, 25 \cdot 36 + 2 \cdot 6 - (0, 25 \cdot 4 + 2 \cdot 2)

Multiply

Multiplicera faktorer

9 + 12 - (1 + 4)

RemoveParSigns

Ta bort parentes & byt tecken

9 + 12 - 1 - 4

AddSubTerms

Addera och subtrahera termer

16

Integralens värde blir alltså samma i båda fallen och man kan även visa att detta samband alltid gäller. Om

F (x)

är primitiv funktion till

f (x)

och

a

och

b

är integrationsgränser kan man ställa upp integralkalkylens huvudsats:

\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a) .

Mittensteget

[F (x)]_{a}^{b}

kan användas för att förtydliga vilken primitiv funktion man använder.

Metod

Beräkna integral med primitiv funktion

När man beräknar integraler kan man använda sig av integralkalkylens huvudsats. T.ex. kan man beräkna integralen

\int_{1}^{3} (3 x^{2} + 2) d x,

på detta sätt.

Bestäm en primitiv funktion,

F (x)

Först bestämmer man en primitiv funktion till integranden, dvs. till den funktion som ska integreras.

f (x) = 3 x^{2} + 2

AntiderivativeOne

Bestäm en primitiv funktion

F (x) = D^{- 1} (3 x^{2}) + D^{- 1} (2)

AntideriveMonomCo

$D^{- 1} (a x^{n}) = \frac{a x ^{n + 1}}{n + 1}$

F (x) = \frac{3 x ^{3}}{3} + D^{- 1} (2)

AntideriveConst

$D^{- 1} (a) = a x$

F (x) = \frac{3 x ^{3}}{3} + 2 x

SimpQuot

Förenkla kvot

F (x) = x^{3} + 2 x

Beräkna

F (b) - F (a)

Nu sätts integrationsgränserna in i den primitiva funktionen och man beräknar differensen.

\int_{1}^{3} (3 x^{2} + 2) d x

FundCalc

$\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b}$

[x^{3} + 2 x]_{1}^{3}

EnterIntLimitsFx

$[F (x)]_{1}^{3} = F (3) - F (1)$

3^{3} + 2 \cdot 3 - (1^{3} + 2 \cdot 1)

SimpPowProd

Förenkla potens & produkt

27 + 6 - (1 + 2)

RemoveParSigns

Ta bort parentes & byt tecken

27 + 6 - 1 - 2

AddSubTerms

Addera och subtrahera termer

30

Integralen

\int_{1}^{3} (3 x^{2} + 2) d x

är alltså lika med

30 .

Exempel

Beräkna integralen

\int_{0}^{5} (e^{2 x} - 8) d x

algebraiskt. Avrunda till heltal.

Ledtråd

Börja med att hitta en primitiv funktion till funktionen inuti integranden. Använd den för att beräkna integralen.

Lösning

Vi börjar med att bestämma en primitiv funktion till

f (x) = e^{2 x} - 8 .

f (x) = e^{2 x} - 8

AntiderivativeOne

Bestäm en primitiv funktion

F (x) = D^{- 1} (e^{2 x}) - D^{- 1} (8)

AntideriveECo

$D^{- 1} (e^{k x}) = \frac{e ^{k x}}{k}$

F (x) = \frac{e ^{2 x}}{2} - D^{- 1} (8)

AntideriveConst

$D^{- 1} (a) = a x$

F (x) = \frac{e ^{2 x}}{2} - 8 x

Nu använder vi integralkalkylens huvudsats för att beräkna integralen.

\int_{0}^{5} (e^{2 x} - 8 x) d x

FundCalc

$\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b}$

[\frac{e ^{2 x}}{2} - 8 x]_{0}^{5}

EnterIntLimitsFx

$[F (x)]_{0}^{5} = F (5) - F (0)$

\frac{e ^{2 \cdot 5}}{2} - 8 \cdot 5 - (\frac{e ^{2 \cdot 0}}{2} - 8 \cdot 0)

Multiply

Multiplicera faktorer

\frac{e ^{10}}{2} - 40 - \frac{e ^{0}}{2}

ExponentZero

$a^{0} = 1$

\frac{e ^{10}}{2} - 40 - \frac{1}{2}

UseCalc

Slå in på räknare

10972, 73289 \dots

RoundInt

Avrunda till närmaste heltal

\sim 10973

Integralens värde är alltså ungefär lika med

10973 .

Digitala verktyg

Integralens värde på räknare

Man kan använda räknaren för att numeriskt beräkna en bestämd integral på ett intervall. Man trycker då på knappen $M A T H$ och bläddrar ner till 9:fnInt(. Tryck $E N T E R .$

Texas instruments TI-82, meny med integralverktyg fnInt valt

Därefter skriver man, separerat med kommatecken, i följande ordning.

Funktionsuttrycket för integranden
Variabeln man ska integrera med avseende på
$x -$ värdet för undre integrationsgränsen
$x -$ värdet för övre integrationsgränsen

Avsluta med $E N T E R .$ Räknaren ger då integralens värde.

Texas instruments TI-82, beräkna integral på räknare

Regel

Area mellan två kurvor

Arean mellan två kurvor kan beräknas genom att man subtraherar integralen av den övre funktionen med den undre. Om integralerna har samma gränser kan de läggas ihop till en enda integral.

Subtrahera integraler

Om man kallar den övre funktionen

f (x),

den undre funktionen

g (x)

och integrationsgränserna

a

och

b

får man

\int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{a}^{b} g (x) d x = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x .

f (x) \geq g (x)

mellan gränserna kan arean

A

alltså beräknas som integralen av differensen mellan

f (x)

och

g (x) .

$A = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x$

Den här regeln gäller alltid, men härledningen ser lite olika ut beroende på hur kurvorna befinner sig i förhållande till $x -$ axeln. Det beror på att man måste ta hänsyn till att integraler för funktioner under $x -$ axeln är negativa.

Härledning

En eller båda kurvor är under

x -

axeln

Kurvorna på vardera sida om $x -$ axeln

När kurvorna är på vardera sida om $x -$ axeln kan man inte direkt se på området som differensen mellan två integraler. Istället kan man se det sökta området som summan av areorna mellan kurvorna och $x -$ axeln.

Kurvan till funktionen

g (x)

är dock under

x -

axeln, så integralen blir negativ. Därför måste man byta tecken för att få arean.

A = \int_{a}^{b} f (x) d x + (- \int_{a}^{b} g (x) d x)

AddNeg

$a + (- b) = a - b$

A = \int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{a}^{b} g (x) d x

CombIntSameLimits

Slå ihop integraler

A = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x

Arean mellan kurvorna beräknas alltså på samma sätt när de är på vardera sida om

x -

axeln.

Båda kurvorna under $x -$ axeln

Det sista fallet är om båda kurvorna befinner sig under $x -$ axeln. Här motsvarar istället det sökta området arean mellan $g (x)$ och $x -$ axeln subtraherat med arean mellan $f (x)$ och $x -$ axeln.

Eftersom kurvorna för

g (x)

och

f (x)

är under

x -

axeln motsvarar deras integraler respektive areor under kurvan, men med omvänt tecken. Alltså måste man byta tecken på båda integralerna innan de subtraheras.