{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
arrow_left {{ state.menu.current.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
{{ "ml-topbar-info-01" | message }} {{ "ml-topbar-info-02" | message }} {{ "ml-topbar-info-03" | message }}
Mathleaks
Använd offline
Expandera meny menu_open
close expand
Aritmetik

Potenser


Begrepp

Potens

Potenser är ett enklare sätt att skriva upprepad multiplikation. Exempelvis kan produkten 777 skrivas som potensen 73, där sjuan och trean utgör potensens bas respektive exponent.

Potenser1.svg

73 utläses "sju upphöjt till tre" och exponenten 3 betyder att basen 7 multipliceras tre gånger. I tabellen syns ytterligare några exempel.

121212=123 12 upphöjt till 3
2222=24 2 upphöjt till 4
66666=65 6 upphöjt till 5
När exponenten är 2 utläser man den ibland som "i kvadrat". Till exempel 82, som kan utläsas "åtta i kvadrat". På motsvarande sätt kan potensen 83 utläsas "åtta i kubik".

Digitala verktyg

Potenser på räknare

För att skriva potenser använder man knappen med det lilla "taket" som ser ut så här: . Man skriver först basen, sedan taket och sist exponenten.

TI-beräkning som visar potens

Detta sätt att skriva en potens fungerar för alla exponenter, men det finns ett snabbare sätt att skriva just "upphöjt till två". Man skriver då talet man vill kvadrera, dvs. basen, och trycker sedan på knappen x2 för att upphöja det till 2.

TI-beräkning som visar kvadrering

Regel

Potenslagar

Ur definitionen av potenser följer en del räkneregler som underlättar vid beräkningar. Dessa brukar kort och gott kallas potenslagar.

Regel

Multiplikation och division av potenser

Regel

När potenser med samma bas multipliceras kan de skrivas som en potens genom att man adderar exponenterna. Enligt regeln är t.ex. 2322 lika med Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.
2322
(222)(22)
22222
25
Regeln gäller för alla reella tal a, b och c.

Regel

När potenser med samma bas divideras kan de skrivas som en enda potens där exponenten i nämnaren subtraherats från exponenten i täljaren. Enligt regeln blir t.ex. divisionen av 36 och 34 lika med . Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.

33
32
Regeln gäller för alla reella a, b och c, men inte om a=0. Då blir uttrycket odefinierat.

Regel

Specialfall

Ur potenslagarna följer några vanliga fall som kanske inte är självklara, men som kan vara bra att komma ihåg.

Regel

Hur ska man tolka en potens med exponenten 0, t.ex. 40? Svaret är att ett tal upphöjt till 0 är 1. Motiveringen till detta är att ett tal dividerat med sig självt är just 1. I exemplet skrivs noll som 22.

40
1
Denna regel gäller för alla tal utom när basen är 0, dvs. om man har 00. Då hade man, på motsvarande sätt som i exemplet med 4 fått vilket ger nolldivision som inte är tillåtet.

Regel

En potens med exponenten 1 är alltid lika med sin bas. Det följer naturligt av definitionen av en potens som säger att en potens anger upprepad multiplikation av ett tal. Man kan intuitivt visa varför:
Detta är inget riktigt bevis, men ett enkelt sätt att förstå varför a1=a.

Dessa regler kan motiveras med hjälp av potenslagarna.

Exempel

Beräkna med potenslagarna

fullscreen
Beräkna värdet av uttrycket utan räknare.
Visa Lösning expand_more

Vi börjar med att beräkna kvoten. Eftersom det är samma bas subtraheras exponenterna.

Beräkna 95

60
1

Uttryckets värde är 1.


arrow_left
arrow_right
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward
arrow_left arrow_right
close
Community