mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more Community
Community expand_more
menu_open Stäng
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
Expandera meny menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open
Aritmetik

Potenser


Begrepp

Potens

Potenser är ett enklare sätt att skriva upprepad multiplikation. Exempelvis kan produkten skrivas som potensen där sjuan och trean utgör potensens bas respektive exponent.

Potenser1.svg

utläses "sju upphöjt till tre" och exponenten betyder att basen multipliceras tre gånger. I tabellen syns ytterligare några exempel.

upphöjt till
upphöjt till
upphöjt till
När exponenten är utläser man den ibland som "i kvadrat". Till exempel som kan utläsas "åtta i kvadrat". På motsvarande sätt kan potensen utläsas "åtta i kubik".

Digitala verktyg

Potenser på räknare

unfold_more

För att skriva potenser använder man knappen med det lilla "taket" som ser ut så här: . Man skriver först basen, sedan taket och sist exponenten.

TI-beräkning som visar potens

Detta sätt att skriva en potens fungerar för alla exponenter, men det finns ett snabbare sätt att skriva just "upphöjt till två". Man skriver då talet man vill kvadrera, dvs. basen, och trycker sedan på knappen för att upphöja det till

TI-beräkning som visar kvadrering
info

Regel

Potenslagar

Ur definitionen av potenser följer en del räkneregler som underlättar vid beräkningar. Dessa brukar kort och gott kallas potenslagar.

Regel

Multiplikation och division av potenser

Regel

När potenser med samma bas multipliceras kan de skrivas som en potens genom att man adderar exponenterna. Enligt regeln är t.ex. lika med Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.
Regeln gäller för alla reella tal och

Regel

När potenser med samma bas divideras kan de skrivas som en enda potens där exponenten i nämnaren subtraherats från exponenten i täljaren. Enligt regeln blir t.ex. divisionen av och lika med . Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.

Regeln gäller för alla reella och , men inte om Då blir uttrycket odefinierat.

Regel

Specialfall

Ur potenslagarna följer några vanliga fall som kanske inte är självklara, men som kan vara bra att komma ihåg.

Regel

Hur ska man tolka en potens med exponenten 0, t.ex. ? Svaret är att ett tal upphöjt till 0 är 1. Motiveringen till detta är att ett tal dividerat med sig självt är just 1. I exemplet skrivs noll som

Denna regel gäller för alla tal utom när basen är 0, dvs. om man har . Då hade man, på motsvarande sätt som i exemplet med 4 fått vilket ger nolldivision som inte är tillåtet.

Regel

En potens med exponenten är alltid lika med sin bas. Det följer naturligt av definitionen av en potens som säger att en potens anger upprepad multiplikation av ett tal. Man kan intuitivt visa varför:

Detta är inget riktigt bevis, men ett enkelt sätt att förstå varför

Dessa regler kan motiveras med hjälp av potenslagarna.

fullscreen
Uppgift

Beräkna värdet av uttrycket utan räknare.

Visa Lösning
Lösning

Vi börjar med att beräkna kvoten. Eftersom det är samma bas subtraheras exponenterna.

Beräkna

Uttryckets värde är


{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward