Potenser

12⋅12⋅12=123 12\cdot 12\cdot 12=12^3 12⋅12⋅12=123	121212 upphöjt till 333
2⋅2⋅2⋅2=24 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^4 2⋅2⋅2⋅2=24	222 upphöjt till 444
6⋅6⋅6⋅6⋅6=65 6\cdot 6\cdot 6 \cdot 6 \cdot 6=6^5 6⋅6⋅6⋅6⋅6=65	666 upphöjt till 555

Begrepp

Potens

Potenser är ett enklare sätt att skriva upprepad multiplikation. Exempelvis kan produkten $7 \cdot 7 \cdot 7$ skrivas som potensen $7^3,$ där sjuan och trean utgör potensens bas respektive exponent.

$7^3$ utläses "sju upphöjt till tre" och exponenten $3$ betyder att basen $7$ multipliceras tre gånger. I tabellen syns ytterligare några exempel.

När exponenten är

2

utläser man den ibland som "i kvadrat". Till exempel

8^2,

som kan utläsas "åtta i kvadrat". På motsvarande sätt kan potensen

8^3

utläsas "åtta i kubik".

Potenser på räknare

För att skriva potenser använder man knappen med det lilla "taket" som ser ut så här: $\wedge$ . Man skriver först basen, sedan taket och sist exponenten.

Detta sätt att skriva en potens fungerar för alla exponenter, men det finns ett snabbare sätt att skriva just "upphöjt till två". Man skriver då talet man vill kvadrera, dvs. basen, och trycker sedan på knappen $x^2$ för att upphöja det till $2.$

Regel

Potenslagar

Ur definitionen av potenser följer en del räkneregler som underlättar vid beräkningar. Dessa brukar kort och gott kallas potenslagar.

Regel

Multiplikation och division av potenser

Regel
$a^b\cdot a^c=a^{b+c}$

När potenser med samma bas multipliceras kan de skrivas som en potens genom att man adderar exponenterna. Enligt regeln är t.ex.

2^3\cdot 2^2

lika med

2^{3+2}=2^5.

Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.

2^3 \cdot 2^2

Dela upp i faktorer

(2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2)

Ta bort parentes

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Skriv som potens

2^5

Regeln gäller för alla reella tal

a,

b

och

c.

Regel
$\dfrac{a^b}{a^c}=a^{b-c}$

När potenser med samma bas divideras kan de skrivas som en enda potens där exponenten i nämnaren subtraherats från exponenten i täljaren. Enligt regeln blir t.ex. divisionen av $3^6$ och $3^4$ lika med $3^{6-4}=3^2$ . Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.

\dfrac{3^6}{3^4}

Dela upp i faktorer

\dfrac{3\cdot 3\cdot 3\cdot3\cdot3\cdot3}{3\cdot3\cdot3\cdot3}

Stryk faktorer

\dfrac{3\cdot 3\cdot \cancel{3}\cdot\cancel{3}\cdot\cancel{3}\cdot\cancel{3}}{\cancel{3}\cdot\cancel{3}\cdot\cancel{3}\cdot\cancel{3}}

Förenkla kvot

3\cdot3

Skriv som potens

3^2

Regeln gäller för alla reella

a,

b

och

c

, men inte om

a=0.

Då blir uttrycket odefinierat.

Regel

Specialfall

Ur potenslagarna följer några vanliga fall som kanske inte är självklara, men som kan vara bra att komma ihåg.

Regel
$a^{0}=1$

Hur ska man tolka en potens med exponenten 0, t.ex. $4^0$ ? Svaret är att ett tal upphöjt till 0 är 1. Motiveringen till detta är att ett tal dividerat med sig självt är just 1. I exemplet skrivs noll som $2-2.$

4^0

Skriv 0 som

2-2

4^{2-2}

a^{b-c}= \dfrac{a^b}{a^c}

\dfrac{4^2}{4^2}

\dfrac{a}{a}=1

1

Denna regel gäller för alla tal utom när basen är 0, dvs. om man har

0^0

. Då hade man, på motsvarande sätt som i exemplet med 4 fått

\frac{0^2}{0^2},

vilket ger nolldivision som inte är tillåtet.

Regel
$a^{1}=a$

En potens med exponenten $1$ är alltid lika med sin bas. Det följer naturligt av definitionen av en potens som säger att en potens anger upprepad multiplikation av ett tal. Man kan intuitivt visa varför: $\begin{aligned} 7^5&=7\cdot 7\cdot 7\cdot 7\cdot 7\\ 7^4&=7\cdot 7\cdot 7\cdot 7\\ 7^3&=7\cdot 7\cdot 7\\ 7^2&=7\cdot 7\\ 7^1&=7 \end{aligned}$

Detta är inget riktigt bevis, men ett enkelt sätt att förstå varför

a^1=a.

Dessa regler kan motiveras med hjälp av potenslagarna.

Beräkna med potenslagarna

Uppgift

Beräkna värdet av uttrycket utan räknare. $6^3\cdot\dfrac{6^9}{6^5}\cdot6^{\text{-}7}$

Lösning

Vi börjar med att beräkna kvoten. Eftersom det är samma bas subtraheras exponenterna.

6^3\cdot\dfrac{6^9}{6^5}\cdot6^{\text{-}7}

\dfrac{a^b}{a^c}= a^{b-c}

6^3\cdot6^{9-5}\cdot6^{\text{-}7}

Beräkna

9-5

6^3\cdot6^{4}\cdot6^{\text{-}7}

a^{b}\cdot{a}^{c}=a^{b+c}

6^{3+4-7}

Förenkla termer

6^0

a^0=1

1

Uttryckets värde är $1.$

Visa lösning

$12\cdot 12\cdot 12=12^3$	$12$ upphöjt till $3$
$2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^4$	$2$ upphöjt till $4$
$6\cdot 6\cdot 6 \cdot 6 \cdot 6=6^5$	$6$ upphöjt till $5$

Videohandledningar

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

Formelsamling

Kurs 1

Kurs 2

Kurs 3

Kurs 4

Kurs 5

Potenser

Potens

Digitala verktyg

Potenslagar

Multiplikation och division av potenser

Regel

Regel

Specialfall

Regel

Regel

Exempel

Beräkna med potenslagarna