Potenser

12⋅12⋅12=123	12 upphöjt till 3
2⋅2⋅2⋅2=24	2 upphöjt till 4
6⋅6⋅6⋅6⋅6=65	6 upphöjt till 5

Begrepp

Potens

Potenser är ett enklare sätt att skriva upprepad multiplikation. Exempelvis kan produkten 7⋅7⋅7 skrivas som potensen 73, där sjuan och trean utgör potensens bas respektive exponent.

73 utläses "sju upphöjt till tre" och exponenten 3 betyder att basen 7 multipliceras tre gånger. I tabellen syns ytterligare några exempel.

När exponenten är 2 utläser man den ibland som "i kvadrat". Till exempel 82, som kan utläsas "åtta i kvadrat". På motsvarande sätt kan potensen 83 utläsas "åtta i kubik".

Digitala verktyg

Potenser på räknare

För att skriva potenser använder man knappen med det lilla "taket" som ser ut så här: $\land$ . Man skriver först basen, sedan taket och sist exponenten.

Detta sätt att skriva en potens fungerar för alla exponenter, men det finns ett snabbare sätt att skriva just "upphöjt till två". Man skriver då talet man vill kvadrera, dvs. basen, och trycker sedan på knappen x2 för att upphöja det till 2.

Regel

Potenslagar

Ur definitionen av potenser följer en del räkneregler som underlättar vid beräkningar. Dessa brukar kort och gott kallas potenslagar.

Regel

Multiplikation och division av potenser

Regel

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

När potenser med samma bas multipliceras kan de skrivas som en potens genom att man adderar exponenterna. Enligt regeln är t.ex. 23⋅22 lika med

2^{3 + 2} = 2^{5} .

Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.

23⋅22

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

(2⋅2⋅2)⋅(2⋅2)

RemovePar

Ta bort parentes

2⋅2⋅2⋅2⋅2

WritePow

Skriv som potens

25

Regeln gäller för alla reella tal a, b och c.

Regel

\frac{a ^{b}}{a ^{c}} = a^{b - c}

När potenser med samma bas divideras kan de skrivas som en enda potens där exponenten i nämnaren subtraherats från exponenten i täljaren. Enligt regeln blir t.ex. divisionen av 36 och 34 lika med $3^{6 - 4} = 3^{2}$ . Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.

\frac{3 ^{6}}{3 ^{4}}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

\frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}

CrossCommonFac

Stryk faktorer

\frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}

SimpQuot

Förenkla kvot

3⋅3

WritePow

Skriv som potens

32

Regeln gäller för alla reella a, b och c, men inte om a=0. Då blir uttrycket odefinierat.

Regel

Specialfall

Ur potenslagarna följer några vanliga fall som kanske inte är självklara, men som kan vara bra att komma ihåg.

Regel

a^{0} = 1

Hur ska man tolka en potens med exponenten 0, t.ex. 40? Svaret är att ett tal upphöjt till 0 är 1. Motiveringen till detta är att ett tal dividerat med sig självt är just 1. I exemplet skrivs noll som 2−2.

40

ZeroToDiff

Skriv 0 som 2−2

4^{2 - 2}

DiffInExponent

$a^{b - c} = \frac{a ^{b}}{a ^{c}}$

\frac{4 ^{2}}{4 ^{2}}

QuotOne

$\frac{a}{a} = 1$

1

Denna regel gäller för alla tal utom när basen är 0, dvs. om man har 00. Då hade man, på motsvarande sätt som i exemplet med 4 fått

\frac{0 ^{2}}{0 ^{2}},

vilket ger nolldivision som inte är tillåtet.

Regel

a^{1} = a

En potens med exponenten 1 är alltid lika med sin bas. Det följer naturligt av definitionen av en potens som säger att en potens anger upprepad multiplikation av ett tal. Man kan intuitivt visa varför:

Detta är inget riktigt bevis, men ett enkelt sätt att förstå varför a1=a.

Dessa regler kan motiveras med hjälp av potenslagarna.