Logga in
| 9 sidor teori |
| 16 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
När ett specifikt tal adderas till sig själv flera gånger, blir resultatet detsamma som multiplikation.
Men vad händer om talet i stället multipliceras med sig själv ett visst antal gånger?
Fundera över följande frågor.
En potens är produkten av en upprepad faktor. Ett potensuttryck består av två delar. Basen är faktorn som upprepas, och exponenten anger hur många gånger basen multipliceras med sig själv. Ta som exempel ett potensuttryck med basen 7 och exponenten 4.
Uttryck | Exempel 1 | Exempel 2 |
---|---|---|
22 | 2 upphöjt till 2 |
2 i kvadrat |
73 | 7 upphöjt till 3 |
7 i kubik |
54 | 5 upphöjt till 4 |
- |
m4 | m upphöjt till 4 |
- |
x9 | x upphöjt till 9 |
- |
i kvadrat, respektive
i kubik.
För att skriva potenser använder man knappen med det lilla taket
som ser ut så här: ∧. Man skriver först basen, sedan taket och sist exponenten.
Detta sätt att skriva en potens fungerar för alla exponenter, men det finns ett snabbare sätt att skriva just upphöjt till två
. Man skriver då talet man vill kvadrera, dvs. basen, och trycker sedan på knappen x2 för att upphöja det till 2.
Ur definitionen av potenser följer en del räkneregler som underlättar vid beräkningar. Dessa brukar kort och gott kallas potenslagar.
Dela upp i faktorer
Ta bort parentes
Skriv som potens
När potenser med samma bas divideras kan de skrivas som en enda potens där exponenten i nämnaren subtraherats från exponenten i täljaren. Enligt regeln blir t.ex. divisionen av 36 och 34 lika med 36−4=32. Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.
Dela upp i faktorer
Stryk faktorer
Förenkla kvot
Skriv som potens
Ur potenslagarna följer några vanliga fall som kanske inte är självklara, men som kan vara bra att komma ihåg.
Hur ska man tolka en potens med exponenten 0, t.ex. 40? Svaret är att ett tal upphöjt till 0 är 1. Motiveringen till detta är att ett tal dividerat med sig självt är just 1. I exemplet skrivs noll som 2−2.
Denna regel gäller för alla tal utom när basen är 0, dvs. om man har 00. Då hade man, på motsvarande sätt som i exemplet med 4 fått 0202, vilket ger nolldivision som inte är tillåtet.Beräkna värdet av uttrycket utan räknare.
Det börjar med att kvoten beräknas. Eftersom basen är densamma, subtraheras exponenterna.
Vi börjar med att beräkna kvoten. Eftersom det är samma bas subtraheras exponenterna.
acab=ab−c
Beräkna 9−5
ab⋅ac=ab+c
Addera och subtrahera termer
a0=1
Uttryckets värde är 1.
Omskriv det givna uttrycket enligt anvisningarna. I detta specifika fall, om exponenten är lika med 1, skriv ut den som 1 istället för att utelämna den.
En potens är produkten av en upprepad faktor och består av två delar: basen och exponenten. Basen är det tal som multipliceras med sig självt, och exponenten anger hur många gånger detta sker. Till exempel är 74 lika med 7⋅7⋅7⋅7.
Potenser kan uttryckas både numeriskt och algebraiskt, och de läses vanligtvis som upphöjt till
följt av exponentens värde. I vissa fall används specifika namn, som i kvadrat
för exponenten 2 och i kubik
för exponenten 3. Potenslagar gör det enklare att hantera beräkningar med potenser.
Regelbeskrivning | Matematisk representation |
---|---|
Multiplikation av potenser | ab⋅ac=ab+c |
Division av potenser | acab=ab−c |
Noll som exponent | a0=1 |
Exponent ett | a1=a |
Beräkna potensen utan räknare.
Vi tolkar potensen 5^3 som 5 multiplicerat med sig själv tre gånger, dvs. 5 * 5 * 5. Vi utför beräkningen.
Potensen har värdet 125.
2^5 är detsamma som 2 multiplicerat med sig själv fem gånger, dvs.
2*2*2*2*2.
Nu använder vi detta för att beräkna potensen värde. Om man vill kan man dela upp beräkningen i t.ex. (2*2)*(2*2*2)=4*8.
Potensen har värdet 32.
Bestäm värdet av potensen.
Vi kommer ihåg att en potens bara är ett enklare sätt att skriva en upprepad multiplikation, så 6^2 är detsamma som 6*6. Det innebär alltså att 6^2=6*6=36.
Vi tänker på samma sätt igen, dvs. skriver om potensen som en upprepad multiplikation för att lättare se vad det är vi ska beräkna.
4^3=4*4*4=64
Vi fortsätter på samma sätt.
2^4=2*2*2*2=16
Vi gör samma sak igen.
1^8=1*1*1*1*1*1*1*1=1
Skriv om talen som en potens med basen 5 genom att prova dig fram.
Från multiplikationstabellen vet vi att när man multiplicerar 5 med sig själv får man 25. Detta betyder att 25=5^2.
625 är lite svårare att direkt se vilken 5-potens det motsvarar. Vi provar att sätta större och större heltalsexponenter på basen 5, med hjälp av räknaren, tills vi når 625. Låt oss börja med exponenten 3 eftersom vi redan visat att 5^2=25.
x | 5^x | = |
---|---|---|
3 | 5^3 | 125 |
4 | 5^4 | 625 |
Från tabellen ser vi att 625=5^4.
Vi fortsätter tabellen tills vi når 78 125. Använd även här räknaren för att hitta rätt potens.
x | 5^x | = |
---|---|---|
5 | 5^5 | 3 125 |
6 | 5^6 | 15 625 |
7 | 5^7 | 78 125 |
Från tabellen ser vi att 78 125=5^7.
Från multiplikationstabellen kommer vi ihåg att 36 = 6 * 6. Sedan vet vi att 6 * 6 = 6^2, vilket ger oss vårt svar: 36 = 6^2.
27 är inte 3^2, eftersom 3 * 3 = 9, men om vi testar med högre exponenter ser vi att 3^3 = 3* 3 * 3 = 27. Svaret är alltså
27 = 3^3.
Vi testar 4^2 =16, medan 4^3=64. Svaret är alltså att
64=4^3.
Vi kan testa oss fram för att se vilken exponent som vi bör upphöja 2 till för att få 64. Vi anar att det behövs en något högre exponent, så vi prövar
2^4=16,
vilket inte var det vi var ute efter. 2^5 = 32, och dubbleras det ännu en gång genom att vi beräknar 2^6 ser vi att vi hittar det sökta svaret: 2^6 = 64.
Vi hade även kunnat utnyttja resultatet i deluppgift c. Där kom vi fram till att 64=4^3. Vi vill nu byta basen 4 till basen 2. Det kan vi göra genom att skriva om 4 som 2^2 och använda potenslagen för "potens av en potens".
Vi får alltså samma svar som då vi testade oss fram.
Förenkla uttrycket så långt det går.
När man multiplicerar potenser med samma bas adderas exponenterna.
Här har vi ett bråk i ett bråk: 2^5/2^3 delas på 2^2. Vi börjar med att förenkla täljaren med potenslagarna och kommer ihåg att när man delar två potenser med samma bas subtraheras exponenterna.
Vi använder potenslagarna för att multiplicera potenserna i täljaren och därefter dividerar vi.
Potensen 7^(- 2) är en korrekt förenkling men om man vill kan man skriva om detta som ett bråk istället.
Förenkla uttrycket utan räknare.
Ett tal upphöjt till noll är lika med 1. Vi använder detta för att beräkna produkten.
Nu står produkten innanför en parentes och enligt prioriteringsreglerna måste vi beräkna denna först.
En potens med negativ exponent kan skrivas om som ett bråk.
Vi förenklar potensen med samma regler som tidigare.
Att lösa ekvationen handlar om att hitta det värde på x som gör att uttrycken på båda sidor om likhetstecknet har samma värde. Så vad måste exponenten x vara för att potensen 5^x ska vara lika med 5^8? Om två potenser har samma bas måste även exponenterna vara likadana för att det ska vara samma tal. I det här fallet är båda baserna 5 och en av exponenterna är 8, och då gäller även x=8 för att potenserna ska vara likadana.