Logga in
| 9 sidor teori |
| 16 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
När ett specifikt tal adderas till sig själv flera gånger, blir resultatet detsamma som multiplikation.
Men vad händer om talet i stället multipliceras med sig själv ett visst antal gånger?
Fundera över följande frågor.
En potens är produkten av en upprepad faktor. Ett potensuttryck består av två delar. Basen är faktorn som upprepas, och exponenten anger hur många gånger basen multipliceras med sig själv. Ta som exempel ett potensuttryck med basen 7 och exponenten 4.
Uttryck | Exempel 1 | Exempel 2 |
---|---|---|
22 | 2 upphöjt till 2 |
2 i kvadrat |
73 | 7 upphöjt till 3 |
7 i kubik |
54 | 5 upphöjt till 4 |
- |
m4 | m upphöjt till 4 |
- |
x9 | x upphöjt till 9 |
- |
i kvadrat, respektive
i kubik.
För att skriva potenser använder man knappen med det lilla taket
som ser ut så här: ∧. Man skriver först basen, sedan taket och sist exponenten.
Detta sätt att skriva en potens fungerar för alla exponenter, men det finns ett snabbare sätt att skriva just upphöjt till två
. Man skriver då talet man vill kvadrera, dvs. basen, och trycker sedan på knappen x2 för att upphöja det till 2.
Ur definitionen av potenser följer en del räkneregler som underlättar vid beräkningar. Dessa brukar kort och gott kallas potenslagar.
Dela upp i faktorer
Ta bort parentes
Skriv som potens
När potenser med samma bas divideras kan de skrivas som en enda potens där exponenten i nämnaren subtraherats från exponenten i täljaren. Enligt regeln blir t.ex. divisionen av 36 och 34 lika med 36−4=32. Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.
Dela upp i faktorer
Stryk faktorer
Förenkla kvot
Skriv som potens
Ur potenslagarna följer några vanliga fall som kanske inte är självklara, men som kan vara bra att komma ihåg.
Hur ska man tolka en potens med exponenten 0, t.ex. 40? Svaret är att ett tal upphöjt till 0 är 1. Motiveringen till detta är att ett tal dividerat med sig självt är just 1. I exemplet skrivs noll som 2−2.
Denna regel gäller för alla tal utom när basen är 0, dvs. om man har 00. Då hade man, på motsvarande sätt som i exemplet med 4 fått 0202, vilket ger nolldivision som inte är tillåtet.Beräkna värdet av uttrycket utan räknare.
Det börjar med att kvoten beräknas. Eftersom basen är densamma, subtraheras exponenterna.
Vi börjar med att beräkna kvoten. Eftersom det är samma bas subtraheras exponenterna.
acab=ab−c
Beräkna 9−5
ab⋅ac=ab+c
Addera och subtrahera termer
a0=1
Uttryckets värde är 1.
Omskriv det givna uttrycket enligt anvisningarna. I detta specifika fall, om exponenten är lika med 1, skriv ut den som 1 istället för att utelämna den.
En potens är produkten av en upprepad faktor och består av två delar: basen och exponenten. Basen är det tal som multipliceras med sig självt, och exponenten anger hur många gånger detta sker. Till exempel är 74 lika med 7⋅7⋅7⋅7.
Potenser kan uttryckas både numeriskt och algebraiskt, och de läses vanligtvis som upphöjt till
följt av exponentens värde. I vissa fall används specifika namn, som i kvadrat
för exponenten 2 och i kubik
för exponenten 3. Potenslagar gör det enklare att hantera beräkningar med potenser.
Regelbeskrivning | Matematisk representation |
---|---|
Multiplikation av potenser | ab⋅ac=ab+c |
Division av potenser | acab=ab−c |
Noll som exponent | a0=1 |
Exponent ett | a1=a |
Exponenten visar antalet (- 1):or som multipliceras ihop, så till exempel är (- 1)^(10) tio (- 1) multiplicerade med varandra. Vi vet att om vi multiplicerar talet 1 eller - 1 med sig själv upprepade gånger, får vi aldrig något annat än 1 eller - 1. Exempelvis är 1 * 1 * 1 * 1=1 och (-1) * (-1) * (-1) =-1. Generellt gäller att om man multiplicerar ett jämnt antal negativa tal med varandra blir resultatet positivt, och om man multiplicerar ett udda antal negativa tal med varandra är resultatet negativt. Sammanfattningsvis gäller alltså för negativa ettor: \begin{gathered} (- 1)^\text{jämnt tal} = 1 \quad \text{och} \quad (- 1)^\text{udda tal} = (- 1). \end{gathered} När vi använder detta på vårt uttryck är det viktigt att komma ihåg att det står ett minustecken framför den sista termen som måste stå kvar.
Summan är 2.
I potenser med positiv exponent anger exponenten antalet gånger basen ska multipliceras. Exempelvis kan 10^3 skrivas som 10^3=10* 10* 10. Är exponenten negativ placeras faktorerna i nämnaren i ett bråk med täljaren 1: 10^(-3)= 110* 10* 10. Vi använder detta för att visa likheten.
Det stämmer alltså.
Förenkla uttrycket utan räknare.
En negativ bas med udda exponent blir alltid negativt. Vi använder det för att förenkla nämnaren.
Uttryckets värde är alltså 8.
I nämnaren har vi en potens med en negativ exponent. Vi skriver om den med positiv exponent genom att placera potensen i nämnaren på ett bråk.
Uttrycket förenklades till -8.
b ska vara större än c , och båda ska vara positiva. Vi väljer b = 7 och c = 5. a kan vara 2. Vi börjar med att sätta in detta i lagens vänsterled, VL=a^b/a^c, och förenkla så långt som möjligt. Sedan ska vi undersöka om vi får samma sak ifall vi ersätter a, b och c med samma tal i vänsterledet. I förenklingen utnyttjar vi att en potens är en upprepad multiplikation och att gemensamma faktorer i täljare och nämnare kan strykas.
Vänsterledet blir 2^2. Vad blir högerledet?
Även HL är 2^2, så regeln stämmer för vårt exempel!
Vi ska bestämma för vilket värde på x som potensen 7^(3x) är lika med 49. Det första vi kan göra är att skriva om 49 som 7^2. Då kommer vi lättare kunna se vad den okända exponenten bör vara. 7^(3x) = 7^2. Två potenser är lika om de har samma bas och samma exponent. Detta innebär alltså att 3x=2. Nu behöver vi bara dividera med 3 i båda led för att ta reda på x.
Ekvationen har alltså lösningen x≈0.67.
Vi vet att det var 3 sjuka barn första dagen och att antalet sedan dubbleras för varje dag. Det innebär att det andra dagen var 3*2=6sjuka barn. Tredje dagen var det 3*2*2=12sjuka barn. Vi kan se ett mönster i hur antalet sjuka barn beräknas: 3 multiplicerat med ett antal 2:or. Frågan är hur många 2:or vi behöver multiplicera med för att resultatet ska bli just 96? Denna fråga kan formuleras matematisk som en ekvation: 3*2^x=96, där x är antal dagar efter att de första barnen insjuknade. Vi provar oss fram till rätt svar. Två 2:or var inte tillräckligt så vi provar med något högre värde, t.ex. x=5. 3*2^5=3*2*2*2*2*2=96 Det var rätt! Vi kan alltså konstatera att alla barn är sjuka 5 dagar efter att de första insjuknade.