Logga in
| 9 sidor teori |
| 16 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
När ett specifikt tal adderas till sig själv flera gånger, blir resultatet detsamma som multiplikation.
Men vad händer om talet i stället multipliceras med sig själv ett visst antal gånger?
Fundera över följande frågor.
En potens är produkten av en upprepad faktor. Ett potensuttryck består av två delar. Basen är faktorn som upprepas, och exponenten anger hur många gånger basen multipliceras med sig själv. Ta som exempel ett potensuttryck med basen 7 och exponenten 4.
Uttryck | Exempel 1 | Exempel 2 |
---|---|---|
22 | 2 upphöjt till 2 |
2 i kvadrat |
73 | 7 upphöjt till 3 |
7 i kubik |
54 | 5 upphöjt till 4 |
- |
m4 | m upphöjt till 4 |
- |
x9 | x upphöjt till 9 |
- |
i kvadrat, respektive
i kubik.
För att skriva potenser använder man knappen med det lilla taket
som ser ut så här: ∧. Man skriver först basen, sedan taket och sist exponenten.
Detta sätt att skriva en potens fungerar för alla exponenter, men det finns ett snabbare sätt att skriva just upphöjt till två
. Man skriver då talet man vill kvadrera, dvs. basen, och trycker sedan på knappen x2 för att upphöja det till 2.
Ur definitionen av potenser följer en del räkneregler som underlättar vid beräkningar. Dessa brukar kort och gott kallas potenslagar.
Dela upp i faktorer
Ta bort parentes
Skriv som potens
När potenser med samma bas divideras kan de skrivas som en enda potens där exponenten i nämnaren subtraherats från exponenten i täljaren. Enligt regeln blir t.ex. divisionen av 36 och 34 lika med 36−4=32. Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.
Dela upp i faktorer
Stryk faktorer
Förenkla kvot
Skriv som potens
Ur potenslagarna följer några vanliga fall som kanske inte är självklara, men som kan vara bra att komma ihåg.
Hur ska man tolka en potens med exponenten 0, t.ex. 40? Svaret är att ett tal upphöjt till 0 är 1. Motiveringen till detta är att ett tal dividerat med sig självt är just 1. I exemplet skrivs noll som 2−2.
Denna regel gäller för alla tal utom när basen är 0, dvs. om man har 00. Då hade man, på motsvarande sätt som i exemplet med 4 fått 0202, vilket ger nolldivision som inte är tillåtet.Beräkna värdet av uttrycket utan räknare.
Det börjar med att kvoten beräknas. Eftersom basen är densamma, subtraheras exponenterna.
Vi börjar med att beräkna kvoten. Eftersom det är samma bas subtraheras exponenterna.
acab=ab−c
Beräkna 9−5
ab⋅ac=ab+c
Addera och subtrahera termer
a0=1
Uttryckets värde är 1.
Omskriv det givna uttrycket enligt anvisningarna. I detta specifika fall, om exponenten är lika med 1, skriv ut den som 1 istället för att utelämna den.
En potens är produkten av en upprepad faktor och består av två delar: basen och exponenten. Basen är det tal som multipliceras med sig självt, och exponenten anger hur många gånger detta sker. Till exempel är 74 lika med 7⋅7⋅7⋅7.
Potenser kan uttryckas både numeriskt och algebraiskt, och de läses vanligtvis som upphöjt till
följt av exponentens värde. I vissa fall används specifika namn, som i kvadrat
för exponenten 2 och i kubik
för exponenten 3. Potenslagar gör det enklare att hantera beräkningar med potenser.
Regelbeskrivning | Matematisk representation |
---|---|
Multiplikation av potenser | ab⋅ac=ab+c |
Division av potenser | acab=ab−c |
Noll som exponent | a0=1 |
Exponent ett | a1=a |
När en potens har en negativ exponent kan den skrivas om som ett bråk med täljaren 1.
Uttryckets värde är 40.
Om nämnare och täljare i ett bråk är lika förenklas det till 1, t.ex. kan ett bråk med a^b i nämnare och täljare förkortas till 1. a^b/a^b=1. Divideras två potenser med samma bas subtraheras exponenterna.
Då har vi visat att a^0=1. Detta gäller dock inte när a=0. Detta skulle leda till att man delar med 0, vilket är otillåtet.
Vi beräknar 2^n för några värden på n och noterar slutsiffran. Sedan försöker vi hitta ett mönster.
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2^n | 2^1 | 2^2 | 2^3 | 2^4 | 2^5 | 2^6 | 2^7 | 2^8 |
Produkt | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 |
Slutsiffra | 2 | 4 | 8 | 6 | 2 | 4 | 8 | 6 |
De fyra första potensernas slutsiffra är 2, 4, 8 och 6, varpå siffermönstret upprepar sig. För att hitta siffran som 2^(202) slutar på, utgår vi från den sista siffran i mönstret, dvs. 6. Denna siffra upprepar sig efter vart fjärde n. Exponenter som kan delas jämnt med 4 har alltså en slutsiffra på 6. Exempelvis kan exponenterna 4, 8 och 12 delas jämnt med 4: 4/4=1, 8/4=2, 12/4=3, och därför slutar 2^4, 2^8 och 2^(12) på siffran 6. Delas 2^(202) är det inte delbart med 4 så 2^(202) slutar inte på en 6:a. Däremot delas 200 jämnt med 4 så 2^(200) slutar på en 6:a. 2^(202) befinner sig två steg längre fram och slutar därför på en 4.