Exponentialfunktioner och Potensfunktioner: Förståelse och Användning

I koordinatsystemet finns graferna till följande potensfunktioner:

y = x^{2}, y = x^{- 2}, y = x

Vilken graf hör till vilken funktion? Lös uppgiften utan räknare.

Ett koordinatsystem med graferna till y=x^2, y=x^(-2) och y=sqrt(x).

Om vi inte direkt känner igen vilken graf som hör till vilken funktion kan vi undersöka deras funktionsvärde för något lämpligt x-värde. Väljer vi x-värdet väl räcker det med att undersöka ett enda, men vi kan även skapa en värdetabell med flera olika x-värden. Nedan har vi markerat punkter på graferna vid x= 2.

Vi sätter in x = 2 i den första och andra funktionen och bestämmer deras funktionsvärde. Därefter kan vi avgöra vilka grafer som hör till vilka funktionsuttryck.

Funktionsvärdet blev 4 när vi satte in x = 2 i den första funktionen. Jämför vi med koordinatsystemet ser vi att graf B har detta funktionsvärde. Vi fortsätter med nästa funktion.

Funktionsvärdet blev 0,25 för x = 2 i den andra funktionen. I koordinatsystemet ser vi att graf C har ett funktionsvärde mellan 0 och 0,5, så denna graf måste höra ihop med y=x^(-2). Då kan vi även para ihop graf A med y=sqrt(x). Sammanfattningsvis får vi:

A &→ y = sqrt(x) B &→ y = x^2 C &→ y = x^(-2)

För säkerhets skull kan vi även beräkna funktionsvärdet för den sista funktionen och kontrollera att det stämmer överens med graf A.

För den sista funktionen gäller att y ≈ 1,4 då x = 2 vilket vi ser verkar stämma med graf A.

En bil är värd

200000

kronor. Tre år senare är den värd

69000

kronor. Ställ upp en exponentialfunktion som beskriver bilens värde efter

x

år om den procentuella värdeförändringen är samma varje år.

Vi utgår från det allmänna fallet av en exponentialfunktion: y=C* a^x, där y är värdet och x är tiden. Vi vill hitta konstanterna C och a. Från början var bilen värd 200 000 kr så startvärdet är C = 200 000. Efter 3 år, dvs. när x=3, är värdet 69 000kr. Vi sätter in detta i formeln.

Nu har vi en potensekvation som vi kan lösa genom att dra tredje roten ur båda led, eller upphöja båda led till .1 /3..

Förändringsfaktorn a är alltså cirka 0,70. Det innebär att varje års värde är 70 % av det tidigare eller, annorlunda uttryckt, att värdet minskar med 30 % varje år. Det ger oss funktionen y = 200 000 * 0,70^x.

För fem år sedan var du på en konsert med en musikgrupp du gillar. Du köpte då en av deras CD-skivor för

100 kr

som alla gruppmedlemmar signerat. Sedan dess har musikgruppen slagit igenom stort och exakt fem år efter konserten säljer du den signerade CD-skivan på auktion för

1200 kr

. Beräkna den genomsnittliga prisökningen i procent per år. Avrunda svaret till hela procent.

Vi kallar den genomsnittliga årliga förändringsfaktorn för x och ställer upp exponentialfunktionen y = C * a^x, där y är CD-skivans pris efter x år, C är vad du betalade för CD-skivan och a är förändringsfaktorn. Priset du betalade för skivan var 100kr, så C = 100. Du sålde skivan för 1 200kr efter 5 år, vilket innebär att då y = 1 200 då x = 5. Sätter vi in dessa kända värden i funktionen kan vi lösa ut förändringsfaktorn a.

För att bli av med femman i exponenten upphöjer vi båda led till 15, vilket är samma sak som att dra femte roten ur.

Förändringsfaktorn a är alltså ungefär lika med 1,64, vilket innebär att den genomsnittliga årliga prisökningen var ca 64 %.

Mellan åren

2012

och

2016

sjönk priset på silver från

27 $ / oz .

till

14 $ / oz .

Beräkna den genomsnittliga procentuella förändringen i silverpriset per år. Avrunda till hela procent.

Vi ska beräkna en procentuell förändring vilket innebär att vi måste bestämma en förändringsfaktor. Vi gör det genom att ställa upp en exponentialfunktion på formen y=C * a^x, där y är priset i dollar och x är antal år efter 2012. Startvärdet C är priset år 2012, dvs. .27$ /oz., vilket ger oss ekvationen y=27* a^x. Vi vet även att priset 4 år senare är .14$ /oz., dvs. då x=4 är y=14. Vi sätter in det i funktionen och löser ut förändringsfaktorn a.

Den negativa lösningen kan förkastas, eftersom en förändringsfaktor måste vara större än 0. Förändringsfaktorn är alltså 0,85 vilket betyder att priset i genomsnitt har sjunkit med 15 % varje år.

När ogräsmedlet Meklorprop används i naturen bryts det efter hand ned. Vid konstant jordtemperatur gäller att den kvarvarande mängden avtar exponentiellt med tiden. Den tid det tar tills hälften av ogräsmedlet är kvar (halveringstiden) beror på jordtemperaturen enligt nedanstående tabell.

Jordtemperatur $^{\circ} C$	Halveringstid i dygn
$5$	$20$
$10$	$12$
$20$	$3$

En åker besprutades med $8 kg$ Meklorprop. Marktemperaturen var $5^{\circ} C$ vid besprutningstillfället och antas vara konstant under de följande veckorna. Hur många procent av den ursprungliga mängden ogräsmedel finns kvar efter $10$ dygn? Svara i hela procent.

Nationella provet VT98 MaC

Från tabellen läser vi av att när jordtemperaturen är 5 ^(∘) C är halveringstiden 20 dygn. Då ämnet minskar exponentiellt kan mängden uttryckas med en exponentialfunktion, dvs. en funktion på formen y=C* a^x, där C är startvärdet 8 och a den procentuella förändringen uttryckt som en förändringsfaktor så funktionen beskrivs av y=8* a^x. Enligt tabellen halveras mängden av ämnet när x=20 , dvs. mängden minskar från 8kg till 4kg. Vi sätter in x=20 och y=4 i funktionen och löser ut a.

Då ser vi att a=0,5^(120). Vi sätter in det i funktionen och förenklar med potenslagen (a^b)^c=a^(b* c): y = 8 * (0,5^(120))^x ⇔ y = 8 * 0,5^(x20). Vi ska beräkna hur stor andel som finns kvar efter 10 dygn så vi ska beräkna den totala förändringsfaktorn när x är 10. Startvärdet 8 spelar alltså ingen roll utan vi fokuserar enbart på 0,5^(x20).

Den totala förändringsfaktorn 0,71 innebär att det finns 71 % kvar efter 10 dagar.

Sättet som atomerna i radioaktiva ämnen sönderfaller och sänder ut joniserande strålning kan beskrivas med en exponentialfunktion, där mängden radioaktivt material beror på tiden. Hur snabbt atomerna sönderfaller brukar mätas i halveringstid, $λ,$ som är tiden det tar för hälften av materialet att sönderfalla. Halveringstiden är konstant, det spelar ingen roll hur mycket man har av ämnet.

I en behållare finns

200 mg

torium-

234 .

Ställ upp en funktion som beskriver hur många milligram torium,

y,

som återstår efter

t

dygn om förändringsfaktorn är

b .

Halveringstiden för torium-

234

är

24

dagar. Med hjälp av detta, bestäm

b .

Svara med tre decimaler.

Hur många mg finns kvar av provet efter

80

dygn? Svara i hela mg.

Vi utgår från definitionen av en exponentialfunktion, alltså y = C * a^x där C är startvärdet och a är förändringsfaktorn. Vi börjar med 200mg torium-234, så startvärdet C är 200. Sedan vet vi att b är förändringsfaktorn, och att variabeln är t. Det ger oss y = 200 * b^t.

Det fanns från början 200mg torium-234. Efter en halveringstid bör hälften av detta finnas kvar, alltså 100mg. Sätter vi in t=24 i vår funktion från förra uppgiften ska vi alltså få ut y=100. Det ger oss en potensekvation vi kan lösa för att få värdet på b.

Vi kom fram till att b ≈ 0,972, vilket kan tolkas som att 97,2 % av atomerna finns kvar efter ett dygn, eller att 2,8 % sönderfaller per dygn.

Vi sätter in värdet på b i funktionen, och får då y = 200 * 0,972^t. Genom att sätta in t = 80 kan vi beräkna mängden torium-234 efter 80 dygn.

Det finns ungefär 21 gram kvar av provet efter 80 dygn.

Potens- och exponentialfunktioner

Förkunskaper

Investigating Function Families

Potens- och exponentialfunktioner

Villkor

Villkor

Är funktionerna potens- eller exponentialfunktioner?

Svar

Ledtråd

Lösning

Identifiera funktioner från en värdetabell

Exponentialfunktioner som modeller

Vad är startvärdet i exponentialfunktionen?

Ledtråd

Lösning

Ställ upp en exponentialfunktion

Ledtråd

Lösning

Potens- och exponentialfunktioner

Rekommenderade uppgifter

	8 sidor teori
	17 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.