Potens- och exponentialfunktioner

En minskning med 5 % ger förändringsfaktorn 0,95 och en ökning med 3 % ger förändringsfaktorn 1,03 eftersom 1-0,05=0,95 och 1+0,03=1,03.

Under två månader gör Oves vikt båda dessa förändringar. Om vikten i början på året är xkg, kommer den alltså vara x * 0,95 * 1,03 = 0,9785 x efter två månader. Det går 6 tvåmånadsperioder på ett år så om vi multiplicerar 0,9785 med sig själv 6 gånger får vi den totala förändringsfaktorn efter 1 år: 0,9785^6≈ 0,88. Efter 1 år väger Ove ca 88 % av sin ursprungliga vikt. Han har alltså gått ner ungefär 12 % efter 12 månader.

Om Ove går ner 25 % av sin vikt ska vi ta reda på för vilket x potensen 0,9785^x är lika med 0,75. Vi får alltså ekvationen 0,9785^x=0,75. Detta är en exponentialekvation. Vi löser den grafiskt med räknarens verktyg. Vi börjar då med att skriva in höger- och vänsterledet i ekvationen som två separata funktioner genom att trycka på Y=.

Vi ritar graferna genom att trycka på GRAPH.

Nu använder vi räknarens funktion intersect som hittar skärningspunkten mellan de två utritade graferna. Vi går in i CALC-menyn genom att trycka på 2nd och TRACE och väljer där alternativ 5.

När vi har valt intersect visas graferna igen och vi anger vilken av dem som är first curve respektive second curve (det spelar ingen roll hur vi väljer). Vi gissar också på den punkt vi tror är skärningspunkten.

Linjerna skär alltså varandra i x≈13. Men kom ihåg att x är tvåmånadsperioder så det tar ungefär 2* 13=26 månader (2 år och 2månader) för Ove att gå ner 25 % av sin vikt.

Displayen på räknaren måste vara inställd så att den visar en eventuell skärningspunkt, annars kan räknaren inte hitta skärningspunktens koordinater. För att ändra de x- och y-värden som koordinatsystemet ritas mellan trycker man på WINDOW, där det finns inställningar för hur koordinatsystemet ska visas.

Eftersom f(x) är en exponentialfunktion vet vi att den har formen f(x) = C * a^x. För att få hela funktionsuttrycket måste vi alltså bestämma konstanterna C och a. Vi kan börja med att sätta in x=2, vilket vi vet ska ge funktionsvärdet 180, och lösa ut C.

Än så länge vet vi inte vad a är lika med, så vi kan inte bestämma något värde för C. Vi ställer nu upp det andra sambandet som ges av att vi vet att f(4) = 1620: 1 620 = C * a^4. Eftersom det är samma C som ovan sätter vi in uttrycket för C som vi tog fram i förra steget, och kan då få fram ett värde på a.

Talet a kan inte vara negativt eftersom det är förändringsfaktorn i en exponentialfunktion, vilket innebär att endast a=3 kan vara korrekt. Vi sätter in detta i uttrycket för C som vi kom fram till tidigare.

Sätter vi in C=20 och a=3 i funktionsuttrycket får vi den sökta funktionen: f(x) = 20 * 3^x.

I vår exponentialfunktion är förändringsfaktorn a = 0,834. Det innebär att för varje dygn som går finns det endast 83,4 % kvar av mängden radon föregående dygn. Mängden minskar alltså med 100-83,4=16,6 % per dygn.

Mängden har minskat till hälften då hälften av N_0 finns kvar, dvs. då y = 0,5 N_0. Om vi sätter in detta i exponentialfunktionen får vi exponentialekvationen 0,5 N_0 = N_0 * 0,834^t. Nu dividerar vi bort N_0 i båda led och får ekvationen 0,5 = 0,834^t. Denna ekvation löser vi grafiskt, enklast med hjälp av grafritande räknare. Vi ritar då ekvationens led som två funktioner: y=0,5 och y=0,834^t och undersöker när de skär varandra.

Med räknarens verktyg kan vi bestämma skärningspunkten till t =3,81853 ... ≈ 3,8 dygn. Detta kan tolkas som att mängden radon har minskat till hälften efter ca 3,8 dygn. Detta är vad som kallas halveringstiden, eftersom hälften av den ursprungliga mängden återstår vid denna tidpunkt.

Vi vill veta med hur många procent som antalet bakterier ökar på en timme, dvs. vi söker förändringsfaktorn a. Vi får veta att efter 5 timmar, dvs. då t= 5, har antal bakterier fyrdubblats från y_0 till 4y_0. Det innebär alltså att vi kan ställa upp ekvationen 4y_0 = y_0 * a^5. Genom att dividera båda led med y_0 får vi en potensekvation som vi kan lösa algebraiskt.

Förändringsfaktorn är 1,32, vilket innebär att den genomsnittliga procentuella tillväxten är 32 %.

Vi använder oss av förändringsfaktorn a ≈ 1,32 som vi bestämde i förra deluppgiften. Detta ger oss y(t) = y_0 * 1,32^t, där y(t) anger antalet bakterier efter t timmar. Vi vill ta reda på den tid det tar för odlingen att växa från en bakterie till en miljon. Startvärdet y_0 är alltså 1 och vi vill hitta det t som ger att y(t) = 10^6. Sätter vi in detta i funktionen får vi ekvationen 10^6 = 1 * 1,32^t ⇔ 10^6 = 1,32^t. Denna ekvation löser vi grafiskt genom att rita ut VL respektive HL som separata funktioner i samma koordinatsystem och avläsa för vilket t som de skär varandra. Enklast är att använda grafritande räknare.

Grafritarens verktyg ger oss att graferna skär i t=49,76200 ... vilket betyder att det tar ca 50 timmar eller ungefär 2 dygn för antalet bakterier att nå en miljon.

För att bestämma med hur många procent datorns värde minskar varje år kan vi använda förändringsfaktorn. Den allmänna formen för en exponentialfunktion är y=C* a^x, där x är variabeln, C är startvärdet och a är förändringsfaktorn. För V(t)=10 000* 0,60^t är förändringsfaktorn 0,6. Det betyder att datorn ett år efter inköpet är värd 60 % av det ursprungliga priset, vilket motsvarar en värdeminskning med 40 %. Datorns värde minskar alltså med 40 % per år.

Vi kan kalla den nya funktionen W(t) och den nya förändringsfaktorn b. Det ger oss att W(t)=C* b^t, där t är tiden i månader. Startvärdet, dvs. datorns inköpspris, är fortfarande samma: C=10 000kr. För att bestämma förändringsfaktorn måste vi ta reda på något mer om datorns värde, t.ex. vad den är värd efter ett år. Det gör vi med hjälp av funktionen V(t) från föregående deluppgift.

Värdet efter ett år är alltså 6 000kr. Och eftersom ett år motsvarar 12 månader betyder det att W(12)=6 000. Vi använder detta för att bestämma förändringsfaktorn b.

Till sist sätter vi in detta värde på b i W(t).

Funktionen för datorns värde är alltså W(t)=10 000* 0,6^(t12), där t är antalet månader efter inköpet.