Potens- och exponentialfunktioner

En funktion med en enda term i form av en potens kan vara antingen en potensfunktion eller exponentialfunktion. Man avgör vilken typ av funktion det är genom att se var i potensen variabeln finns.

Om variabeln är i basen är det en potensfunktion.
Om variabeln är i exponenten är det en exponentialfunktion.

I båda fall kan potenserna ha en koefficient, $C .$

Potensfunktion
$y = C \cdot x^{a}$

Exponentialfunktion
$y = C \cdot a^{x}$

I en exponentialfunktion finns det vissa villkor som konstanterna $C$ och $a$ måste uppfylla.

Villkor

C \neq = 0

Om $C$ är $0$ blir funktionsuttrycket bara $0 .$ Då får man den räta linjen $y = 0 .$

Villkor

a > 0

och

a \neq = 1

Konstanten $a$ får inte vara negativ eftersom funktionen då ger odefinierade resultat för vissa $x$ -värden. Om $a$ är negativt kan man t.ex. inte höja upp det till $\frac{1}{2}$ eftersom man inte kan dra roten ur negativa tal. Det ger villkoret $a \geq 0 .$ Vidare ger $a = 0$ och $a = 1$ inte exponentialfunktioner utan vågräta linjer. När $a = 0$ är funktionsuttrycket alltid $0,$ vilket ger linjen $y = 0,$ och när $a = 1$ får man linje längs med startvärdet $C$ eftersom $1^{x} = 1$ , oavsett exponentens värde. Det ger villkoren $a \neq = 0 och a \neq = 1 .$ Dessa villkor kan sammanfattas som $a > 0$ och $a \neq = 1 .$

Är funktionerna potens- eller exponentialfunktioner?

fullscreen

Uppgift

Bestäm vilka av följande funktioner som är potens- respektive exponentialfunktioner.

$y = 1 5^{x}$
$y = x^{2}$
$y = x$
$y = \frac{1}{x ^{3}}$

Visa Lösning

Lösning

Vi vet att en potensfunktion har variabeln i basen och att en exponentialfunktion har variabeln i exponenten. Vi börjar med att skriva om de två nedre funktionerna på potensform, för att lättare kunna se var variabeln finns. Näst sista funktionen kan skrivas om med sambandet $a = a^{1 / 2}$ till $y = x^{1 / 2} .$ Sista funktionen kan skrivas om med potenslagen $\frac{1}{a ^{b}} = a^{- b}$ som $y = x^{- 3} .$ Nu ser vi att både de omskrivna funktionerna och $y = x^{2}$ har variabeln i basen, och alltså är potensfunktioner. Funktionen $y = 1 5^{x}$ har istället variabeln i exponenten och är en exponentialfunktion.

Begrepp

Exponentialfunktioner som modeller

Exponentialfunktioner kan användas för att beskriva procentuella förändringar. Då tolkas koefficienten $C$ som startvärdet och basen $a$ som en förändringsfaktor. Grafiskt kan $C$ tolkas som funktionsvärdet där grafen skär $y$ -axeln.

Genom att tolka och identifiera startvärde och förändringsfaktor kan många processer i naturen och vardagslivet beskrivas med exponentialfunktioner, t.ex. mängden av ett ämne som sönderfaller, pengar på banken och temperaturen hos något som svalnar. Om dessa fenomen beskrivs med exponentialfunktioner kan man göra förutsägelser om hur de kommer se ut i framtiden, men också hur de kan ha sett ut tidigare.

Vad är startvärdet i exponentialfunktionen?

fullscreen

Uppgift

Funktionen $N (t) = 1200 \cdot 2^{t}$ , beskriver antalet bakterier i en kultur efter $t$ minuter. Hur många fanns det från början?

Visa Lösning

Lösning

Vi kan välja att utgå ifrån formeln för en exponentialfunktion: $y = C \cdot a^{t} .$ När funktionen står på den här formen är $C$ startvärdet. I vår funktion är $C = 1200,$ så det fanns $1200$ bakterier från början.

Ställ upp en exponentialfunktion

fullscreen

Uppgift

På en ö nära Nya Zeeland bor idag 1250 tofspingviner. Tofspingvinen är utrotningshotad, och man beräknar att antalet på ön kommer att minska med 11.5 % varje år. Ställ upp en exponentialfunktion som beskriver hur antalet tofspingviner, $y,$ kommer att minska, och låt $x$ vara antal år efter idag.

Visa Lösning

Lösning

En exponentialfunktion kan skrivas på formen $y = C \cdot a^{x},$ där $C$ är startvärdet och $a$ är förändringsfaktorn. Vårt startvärde är antalet tofspingviner idag, dvs. $C = 1250 .$ Detta ger $y = 1250 \cdot a^{x} .$ En minskning på $11.5 %$ innebär att det varje år finns kvar $100 - 11.5 = 88.5 %$ av pingvinerna från föregående år. Förändringsfaktorn är alltså $a = 0.885$ vilket ger oss funktionen $y = 1250 \cdot 0.88 5^{x},$ där $y$ är antal tofspingviner $x$ år efter idag.

Potens- och exponentialfunktioner

Villkor

Villkor

Exempel

Är funktionerna potens- eller exponentialfunktioner?

Exponentialfunktioner som modeller

Exempel

Vad är startvärdet i exponentialfunktionen?

Exempel

Ställ upp en exponentialfunktion