Potens- och exponentialfunktioner

$f(x)$ är en potensfunktion. Beräkna $f(5)$ om

$f(x) = 3x^2$.

$f(x) = 4\sqrt{x}$.

$f(x) = \dfrac{7}{4x^2}$.

För potensfunktionen $f(x) = C \cdot x^3$ gäller att $f(2) = 2$ och att $C$ är en konstant.

Bestäm konstanten $C.$

Beräkna funktionens värden då $x$ är 0, 1, 2 resp. 3. Sammanställ resultatet i en värdetabell.

Använd värdetabellen för att skissa funktionens graf i ett koordinatsystem.

Graferna till fyra exponentialfunktioner är inritade.

Identifiera vilken av graferna som hör till funktionen och läs av funktionsvärdet för $x= 3.$

$y = 400 \cdot {0.8}^x$

$y = 200 \cdot {0.7}^x$

$y = 400 \cdot {1.1}^x$

Du har graferna $f,$ $g,$ $h$ och $k.$

Para ihop dessa med rätt funktionsuttryck utan att använda räknare.

$\begin{aligned} &A \quad \quad y=6 \cdot 1.01^x \\ &B \quad \quad y=3 \cdot 1.1^x \\ &C \quad \quad y=3 \cdot 0.95^x \\ &D \quad \quad y=6 \cdot 1.4^x \\ \end{aligned}$

Du investerar i en fond i början av år 2016. Du skapar också en modell som visar hur du förväntar dig att din investering kommer öka i värde: $y = 20\,000 \cdot {1.02}^{x},$ där $y$ kr är beloppet i fonden och $x$ är antal år efter 2016.

Vad betyder 20 000 i modellen?

Vad betyder 1.02 i modellen?

Hur tolkar du att $y \approx 23\,000$ då $x = 7?$

Kommunen Kvidum har idag $3780$ invånare, men man förväntar sig att befolkningen kommer att minska med $2.3\,\%$ varje år. Ställ upp en funktion som beskriver invånarantalet i Kvidum om $x$ år.

I koordinatsystemet finns graferna till följande potensfunktioner: $y = x^2, \quad y = x^{\text{-}2} \quad \text{och} \quad y = \sqrt{x}$ Vilken graf hör till vilken funktion? Lös uppgiften utan räknare.

En bil är värd $200\,000$ kronor. Tre år senare är den värd $69\,000$ kronor. Ställ upp en exponentialfunktion som beskriver bilens värde efter $x$ år om den procentuella värdeförändringen är samma varje år.

För fem år sedan var du på en konsert med en musikgrupp du gillar. Du köpte då en av deras CD-skivor för 100 kr som alla gruppmedlemmar signerat. Sedan dess har musikgruppen slagit igenom stort och exakt fem år efter konserten säljer du den signerade CD-skivan på auktion för 1200 kr.

Beräkna den genomsnittliga prisökningen i procent per år. Avrunda svaret till hela procent.

Skissa CD-skivans prisutveckling de senaste fem åren för hand i ett koordinatsystem. Antag att den procentuella prisökningen var lika stor varje år.

Mellan åren $2012$ och $2016$ sjönk priset på silver från $27\$ \text{/oz.}$ till $14\$ \text{/oz.}$ Beräkna den genomsnittliga procentuella förändringen i silverpriset per år.

När ogräsmedlet Meklorprop används i naturen bryts det efter hand ned. Vid konstant jordtemperatur gäller att den kvarvarande mängden avtar exponentiellt med tiden. Den tid det tar tills hälften av ogräsmedlet är kvar (halveringstiden) beror på jordtemperaturen enligt nedanstående tabell.

En åker besprutades med $8$ kg Meklorprop. Marktemperaturen var $5 \, ^\circ$C vid besprutningstillfället och antas vara konstant under de följande veckorna. Hur många procent av den ursprungliga mängden ogräsmedel finns kvar efter $10$ dygn?

Sättet som atomerna i radioaktiva ämnen sönderfaller och sänder ut radioaktiv strålning kan beskrivas med en exponentialfunktion, där mängden radioaktivt material beror på tiden. Hur snabbt atomerna sönderfaller brukar mätas i halveringstid, $\lambda,$ som är tiden det tar för hälften av materialet att sönderfalla. Halveringstiden är konstant, det spelar ingen roll hur mycket man har av ämnet.

I en behållare finns $200$ mg torium-$234.$ Ställ upp en funktion som beskriver hur många milligram torium, $y,$ som återstår efter $t$ dygn om förändringsfaktorn är $b.$

Halveringstiden för torium-$234$ är $24$ dagar. Med hjälp av detta, bestäm $b.$ Svara med tre decimaler.

Hur många mg finns kvar av provet efter $80$ dygn?

Det är nyår och Ove lovar att gå ner $25\, \%$ av sin nuvarande vikt inom $1$ år. Ove är ambitiös och planerar att gå ner $5 \, \%$ av det han väger i början av varje månad tills han nått målet. Första månaden går Ove ner $5 \, \%.$ Tyvärr är han inte lika viljestark nästa månad och går då upp $3 \, \%.$

Hur mycket har Ove gått ner efter ett år om han fortsätter jojobanta på det här viset?

När når Ove sitt mål?

Man vet att en exponentialfunktion $f(x)$ har de två funktionsvärdena $f(2) = 180$ och $f(4) = 1620$. Bestäm funktionsuttrycket för $f(x)$.

Isotopen radon-$222$ sönderfaller snabbt. Sönderfallet beskrivs av exponentialfunktionen $y = N_0 \cdot {0.834}^{t},$ där $y$ är mängden radon-$222$ i $\mu$mol, $N_0$ är mängden radon från början och $t$ är tiden räknat i dygn.

Med hur många procent har mängden radon minskat efter ett dygn?

Hur lång tid tar det för mängden radon att halveras?

En exponentialfunktion beskriver antalet bakterier i en bakterieodling. Funktionen kan skrivas som $y(t) = y_0 \cdot a^t,$ där $y(t)$ anger antalet bakterier efter $t$ timmar, $y_0$ är antalet bakterier från början och $a$ är funktionens förändringsfaktor.

Efter fem timmar har antalet bakterier fyrdubblats. Hur stor är den genomsnittliga tillväxttakten per timme för bakterieodlingen i procent?

Med denna takt, om odlingen endast innehåller en bakterie från början, ungefär hur många dygn tar det innan det finns en miljon bakterier?

I början av år $2011$ köpte Matilda en dator för $10\,000$ kr. Datorns värde kan beskrivas med $V(t)=10\,000\cdot0.60^t$ där $V$ är datorns värde i kr och $t$ är tiden i år efter inköpet.

Med hur många procent minskar datorns värde per år?

Teckna en ny funktion som anger datorns värde $V$ i kr som funktion av tiden $t,$ där tiden nu istället ska räknas i månader efter inköpet.