body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Rekommenderade

Tester

Ett fel uppstod, försök igen senare!

eKurser /

Matematik 2a /

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

Visa mindre Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Potens- och exponentialfunktioner
Exponentialfunktioner som modeller

Förkunskaper

Utforska

Investigating Function Families

Different types of functions have unique characteristics. These can be identified by investigating the functions using a table of values. The following tables of values belong to three different types of functions.

How do the

y -

values of each function change according to their corresponding

x -

values? What do the graph of these functions look like? Which type of function is represented in each table?

Koncept

Potens- och exponentialfunktioner

En funktion med en enda term i form av en potens kan vara antingen en potensfunktion eller exponentialfunktion. Man avgör vilken typ av funktion det är genom att se var i potensen variabeln finns.

Om variabeln är i basen är det en potensfunktion.
Om variabeln är i exponenten är det en exponentialfunktion.

I båda fall kan potenserna ha en koefficient, $C .$

Potensfunktion y = C \cdot x^{a}

Exponentialfunktion y = C \cdot a^{x}

I en exponentialfunktion finns det vissa villkor som konstanterna $C$ och $a$ måste uppfylla.

Villkor

C \neq = 0

C

är

0

blir funktionsuttrycket bara

0 .

Då får man den räta linjen

y = 0 .

Villkor

a > 0

och

a \neq = 1

Konstanten

a

får inte vara negativ eftersom funktionen då ger odefinierade resultat för vissa

x

-värden. Om

a

är negativt kan man t.ex. inte höja upp det till

\frac{1}{2}

eftersom man inte kan dra roten ur negativa tal. Det ger villkoret

a \geq 0 .

Vidare ger

a = 0

och

a = 1

inte exponentialfunktioner utan vågräta linjer. När

a = 0

är funktionsuttrycket alltid

0,

vilket ger linjen

y = 0,

och när

a = 1

får man linje längs med startvärdet

C

eftersom

1^{x} = 1,

oavsett exponentens värde. Det ger villkoren

a \neq = 0 och a \neq = 1 .

Dessa villkor kan sammanfattas som

a > 0

och

a \neq = 1 .

Exempel

Är funktionerna potens- eller exponentialfunktioner?

Bestäm vilka av följande funktioner som är potens- respektive exponentialfunktioner.

$y = 1 5^{x}$
$y = x^{2}$
$y = x$
$y = \frac{1}{x ^{3}}$

Svar

Potensfunktioner:
$y = x^{2},$ $y = x,$ $y = \frac{1}{x ^{3}}$
Exponentialfunktioner:
$y = 1 5^{x}$

Ledtråd

Är variabeln basen eller exponenten i funktionerna?

Lösning

Vi vet att en potensfunktion har variabeln i basen och att en exponentialfunktion har variabeln i exponenten. Vi börjar med att skriva om de två nedre funktionerna på potensform, för att lättare kunna se var variabeln finns. Näst sista funktionen kan skrivas om med sambandet

a = a^{1 / 2}

till

y = x^{1 / 2} .

Sista funktionen kan skrivas om med potenslagen

\frac{1}{a ^{b}} = a^{- b}

som

y = x^{- 3} .

Nu ser vi att både de omskrivna funktionerna och

y = x^{2}

har variabeln i basen, och alltså är potensfunktioner. Funktionen

y = 1 5^{x}

har istället variabeln i exponenten och är en exponentialfunktion.

Övning

Identifiera funktioner från en värdetabell

Välj det alternativ som bäst beskriver den givna värdetabellen.

Koncept

Exponentialfunktioner som modeller

Exponentialfunktioner kan användas för att beskriva procentuella förändringar. Då tolkas koefficienten $C$ som startvärdet och basen $a$ som en förändringsfaktor. Grafiskt kan $C$ tolkas som funktionsvärdet där grafen skär $y -$ axeln.

Genom att tolka och identifiera startvärde och förändringsfaktor kan många processer i naturen och vardagslivet beskrivas med exponentialfunktioner, t.ex. mängden av ett ämne som sönderfaller, pengar på banken och temperaturen hos något som svalnar. Om dessa fenomen beskrivs med exponentialfunktioner kan man göra förutsägelser om hur de kommer se ut i framtiden, men också hur de kan ha sett ut tidigare.

Exempel

Vad är startvärdet i exponentialfunktionen?

Funktionen

N (t) = 1200 \cdot 2^{t}

, beskriver antalet bakterier i en kultur efter

t

minuter. Hur många fanns det från början?

Ledtråd

Jämför den givna funktionen med den allmänna formen av en exponentiell funktion.

Lösning

Vi kan välja att utgå ifrån formeln för en exponentialfunktion:

y = C \cdot a^{t} .

När funktionen står på den här formen är

C

startvärdet. I vår funktion är

C = 1200,

så det fanns

1200

bakterier från början.

Exempel

Ställ upp en exponentialfunktion

På en ö nära Nya Zeeland bor idag

1250

tofspingviner. Tofspingvinen är utrotningshotad, och man beräknar att antalet på ön kommer att minska med

11, 5 %

varje år. Ställ upp en exponentialfunktion som beskriver hur antalet tofspingviner,

y,

kommer att minska, och låt

x

vara antal år efter idag.

Ledtråd

Hitta startvärdet och förändringsfaktorn. Sätt sedan in dem i den exponentiella modellen.

Lösning

En exponentialfunktion kan skrivas på formen

y = C \cdot a^{x},

där

C

är startvärdet och

a

är förändringsfaktorn. Vårt startvärde är antalet tofspingviner idag, dvs.

C = 1250 .

Detta ger

y = 1250 \cdot a^{x} .

En minskning på

11, 5 %

innebär att det varje år finns kvar

100 - 11, 5 = 88, 5 %

av pingvinerna från föregående år. Förändringsfaktorn är alltså

a = 0, 885

vilket ger oss funktionen

y = 1250 \cdot 0, 88 5^{x},

där

y

är antal tofspingviner

x

år efter idag.

Laddar innehåll

{{ article.displayTitle }}

Förkunskaper

Villkor

Villkor

Svar

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning