Potens- och exponentialfunktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

En funktion med en enda term i form av en potens kan vara antingen en potensfunktion eller exponentialfunktion. Man avgör vilken typ av funktion det är genom att se var i potensen variabeln finns.

  • Om variabeln är i basen är det en potensfunktion.
  • Om variabeln är i exponenten är det en exponentialfunktion.

I båda fall kan potenserna ha en koefficient, C.C.

Potensfunktion
y=Cxay=C\cdot x^a

Exponentialfunktion
y=Caxy=C\cdot a^x

I en exponentialfunktion finns det vissa villkor som konstanterna CC och aa måste uppfylla.

Villkor

C0C \neq 0

Om CC är 00 blir funktionsuttrycket bara 0.0. Då får man den räta linjen y=0.y=0.

Villkor

a>0a \gt 0 och a1a \neq 1

Konstanten aa får inte vara negativ eftersom funktionen då ger odefinierade resultat för vissa xx-värden. Om aa är negativt kan man t.ex. inte höja upp det till 12\frac{1}{2} eftersom man inte kan dra roten ur negativa tal. Det ger villkoret a0. a \geq 0. Vidare ger a=0a=0 och a=1a=1 inte exponentialfunktioner utan vågräta linjer. När a=0a=0 är funktionsuttrycket alltid 0,0, vilket ger linjen y=0,y=0, och när a=1a=1 får man linje längs med startvärdet CC eftersom 1x=11^x = 1, oavsett exponentens värde. Det ger villkoren a0ocha1. a \neq 0 \enspace \text{och} \enspace a \neq 1. Dessa villkor kan sammanfattas som a>0a \gt 0 och a1.a \neq 1.


Uppgift

Bestäm vilka av följande funktioner som är potens- respektive exponentialfunktioner.

  • y=15xy=15^x
  • y=x2y=x^2
  • y=xy=\sqrt{x}
  • y=1x3y=\dfrac{1}{x^3}
Lösning

Vi vet att en potensfunktion har variabeln i basen och att en exponentialfunktion har variabeln i exponenten. Vi börjar med att skriva om de två nedre funktionerna på potensform, för att lättare kunna se var variabeln finns. Näst sista funktionen kan skrivas om med sambandet a=a1/2\sqrt{a}=a^{1/2} till y=x1/2. y=x^{1/2}. Sista funktionen kan skrivas om med potenslagen 1ab=a-b\frac{1}{a^b}=a^{\text{-} b} som y=x-3. y=x^{\text{-} 3}. Nu ser vi att både de omskrivna funktionerna och y=x2y=x^2 har variabeln i basen, och alltså är potensfunktioner. Funktionen y=15xy=15^x har istället variabeln i exponenten och är en exponentialfunktion.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Exponentialfunktioner som modeller

Exponentialfunktioner kan användas för att beskriva procentuella förändringar. Då tolkas koefficienten CC som startvärdet och basen aa som en förändringsfaktor. Grafiskt kan CC tolkas som funktionsvärdet där grafen skär yy-axeln.

Allmän exponentialfunktion
Genom att tolka och identifiera startvärde och förändringsfaktor kan många processer i naturen och vardagslivet beskrivas med exponentialfunktioner, t.ex. mängden av ett ämne som sönderfaller, pengar på banken och temperaturen hos något som svalnar. Om dessa fenomen beskrivs med exponentialfunktioner kan man göra förutsägelser om hur de kommer se ut i framtiden, men också hur de kan ha sett ut tidigare.
Uppgift

Funktionen N(t)=12002tN(t)=1200\cdot 2^{t}, beskriver antalet bakterier i en kultur efter tt minuter. Hur många fanns det från början?

Lösning

Vi kan välja att utgå ifrån formeln för en exponentialfunktion: y=Cat. y=C \cdot a^t. När funktionen står på den här formen är CC startvärdet. I vår funktion är C=1200,C=1200, så det fanns 12001200 bakterier från början.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

På en ö nära Nya Zeeland bor idag 1250 tofspingviner. Tofspingvinen är utrotningshotad, och man beräknar att antalet på ön kommer att minska med 11.5 % varje år. Ställ upp en exponentialfunktion som beskriver hur antalet tofspingviner, y,y, kommer att minska, och låt xx vara antal år efter idag.

Lösning

En exponentialfunktion kan skrivas på formen y=Cax, y=C \cdot a^x, där CC är startvärdet och aa är förändringsfaktorn. Vårt startvärde är antalet tofspingviner idag, dvs. C=1250.C=1250. Detta ger y=1250ax. y=1250 \cdot a^x. En minskning på 11.5%11.5 \, \% innebär att det varje år finns kvar 10011.5=88.5%100-11.5=88.5 \, \% av pingvinerna från föregående år. Förändringsfaktorn är alltså a=0.885a=0.885 vilket ger oss funktionen y=12500.885x, y=1250 \cdot 0.885^x, där yy är antal tofspingviner xx år efter idag.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}