mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more Community
Community expand_more
menu_open Stäng
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
Expandera meny menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open
Icke-linjära funktioner

Potens- och exponentialfunktioner

En funktion med en enda term i form av en potens kan vara antingen en potensfunktion eller exponentialfunktion. Man avgör vilken typ av funktion det är genom att se var i potensen variabeln finns.

  • Om variabeln är i basen är det en potensfunktion.
  • Om variabeln är i exponenten är det en exponentialfunktion.

I båda fall kan potenserna ha en koefficient,

Potensfunktion

Exponentialfunktion

I en exponentialfunktion finns det vissa villkor som konstanterna och måste uppfylla.

Villkor

Om är blir funktionsuttrycket bara Då får man den räta linjen

Villkor

och

Konstanten får inte vara negativ eftersom funktionen då ger odefinierade resultat för vissa -värden. Om är negativt kan man t.ex. inte höja upp det till eftersom man inte kan dra roten ur negativa tal. Det ger villkoret Vidare ger och inte exponentialfunktioner utan vågräta linjer. När är funktionsuttrycket alltid vilket ger linjen och när får man linje längs med startvärdet eftersom , oavsett exponentens värde. Det ger villkoren Dessa villkor kan sammanfattas som och


fullscreen
Uppgift

Bestäm vilka av följande funktioner som är potens- respektive exponentialfunktioner.

Visa Lösning
Lösning

Vi vet att en potensfunktion har variabeln i basen och att en exponentialfunktion har variabeln i exponenten. Vi börjar med att skriva om de två nedre funktionerna på potensform, för att lättare kunna se var variabeln finns. Näst sista funktionen kan skrivas om med sambandet till Sista funktionen kan skrivas om med potenslagen som Nu ser vi att både de omskrivna funktionerna och har variabeln i basen, och alltså är potensfunktioner. Funktionen har istället variabeln i exponenten och är en exponentialfunktion.

Begrepp

Exponentialfunktioner som modeller

Exponentialfunktioner kan användas för att beskriva procentuella förändringar. Då tolkas koefficienten som startvärdet och basen som en förändringsfaktor. Grafiskt kan tolkas som funktionsvärdet där grafen skär -axeln.

Allmän exponentialfunktion
Genom att tolka och identifiera startvärde och förändringsfaktor kan många processer i naturen och vardagslivet beskrivas med exponentialfunktioner, t.ex. mängden av ett ämne som sönderfaller, pengar på banken och temperaturen hos något som svalnar. Om dessa fenomen beskrivs med exponentialfunktioner kan man göra förutsägelser om hur de kommer se ut i framtiden, men också hur de kan ha sett ut tidigare.
fullscreen
Uppgift

Funktionen , beskriver antalet bakterier i en kultur efter minuter. Hur många fanns det från början?

Visa Lösning
Lösning

Vi kan välja att utgå ifrån formeln för en exponentialfunktion: När funktionen står på den här formen är startvärdet. I vår funktion är så det fanns bakterier från början.

fullscreen
Uppgift

På en ö nära Nya Zeeland bor idag 1250 tofspingviner. Tofspingvinen är utrotningshotad, och man beräknar att antalet på ön kommer att minska med 11.5 % varje år. Ställ upp en exponentialfunktion som beskriver hur antalet tofspingviner, kommer att minska, och låt vara antal år efter idag.

Visa Lösning
Lösning

En exponentialfunktion kan skrivas på formen där är startvärdet och är förändringsfaktorn. Vårt startvärde är antalet tofspingviner idag, dvs. Detta ger En minskning på innebär att det varje år finns kvar av pingvinerna från föregående år. Förändringsfaktorn är alltså vilket ger oss funktionen där är antal tofspingviner år efter idag.

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward