{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
arrow_left {{ state.menu.current.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
{{ "ml-topbar-info-01" | message }} {{ "ml-topbar-info-02" | message }} {{ "ml-topbar-info-03" | message }}
Mathleaks
Använd offline
Expandera meny menu_open
close expand
Icke-linjära funktioner

Potens- och exponentialfunktioner

En funktion med en enda term i form av en potens kan vara antingen en potensfunktion eller exponentialfunktion. Man avgör vilken typ av funktion det är genom att se var i potensen variabeln finns.

  • Om variabeln är i basen är det en potensfunktion.
  • Om variabeln är i exponenten är det en exponentialfunktion.

I båda fall kan potenserna ha en koefficient, C.

Potensfunktion

Exponentialfunktion

I en exponentialfunktion finns det vissa villkor som konstanterna C och a måste uppfylla.

Villkor

C0

Om C är 0 blir funktionsuttrycket bara 0. Då får man den räta linjen y=0.

Villkor

och a1
Konstanten a får inte vara negativ eftersom funktionen då ger odefinierade resultat för vissa x-värden. Om a är negativt kan man t.ex. inte höja upp det till eftersom man inte kan dra roten ur negativa tal. Det ger villkoret
a0.
Vidare ger a=0 och a=1 inte exponentialfunktioner utan vågräta linjer. När a=0 är funktionsuttrycket alltid 0, vilket ger linjen y=0, och när a=1 får man linje längs med startvärdet C eftersom , oavsett exponentens värde. Det ger villkoren
Dessa villkor kan sammanfattas som och a1.


Exempel

Är funktionerna potens- eller exponentialfunktioner?

fullscreen

Bestäm vilka av följande funktioner som är potens- respektive exponentialfunktioner.

  • y=x2
Visa Lösning expand_more
Vi vet att en potensfunktion har variabeln i basen och att en exponentialfunktion har variabeln i exponenten. Vi börjar med att skriva om de två nedre funktionerna på potensform, för att lättare kunna se var variabeln finns. Näst sista funktionen kan skrivas om med sambandet till
Sista funktionen kan skrivas om med potenslagen som
Nu ser vi att både de omskrivna funktionerna och y=x2 har variabeln i basen, och alltså är potensfunktioner. Funktionen har istället variabeln i exponenten och är en exponentialfunktion.

Begrepp

Exponentialfunktioner som modeller

Exponentialfunktioner kan användas för att beskriva procentuella förändringar. Då tolkas koefficienten C som startvärdet och basen a som en förändringsfaktor. Grafiskt kan C tolkas som funktionsvärdet där grafen skär y-axeln.

Allmän exponentialfunktion
Genom att tolka och identifiera startvärde och förändringsfaktor kan många processer i naturen och vardagslivet beskrivas med exponentialfunktioner, t.ex. mängden av ett ämne som sönderfaller, pengar på banken och temperaturen hos något som svalnar. Om dessa fenomen beskrivs med exponentialfunktioner kan man göra förutsägelser om hur de kommer se ut i framtiden, men också hur de kan ha sett ut tidigare.

Exempel

Vad är startvärdet i exponentialfunktionen?

fullscreen

Funktionen , beskriver antalet bakterier i en kultur efter t minuter. Hur många fanns det från början?

Visa Lösning expand_more
Vi kan välja att utgå ifrån formeln för en exponentialfunktion:
När funktionen står på den här formen är C startvärdet. I vår funktion är C=1200, så det fanns 1200 bakterier från början.

Exempel

Ställ upp en exponentialfunktion

fullscreen

På en ö nära Nya Zeeland bor idag 1250 tofspingviner. Tofspingvinen är utrotningshotad, och man beräknar att antalet på ön kommer att minska med 11.5 % varje år. Ställ upp en exponentialfunktion som beskriver hur antalet tofspingviner, y, kommer att minska, och låt x vara antal år efter idag.

Visa Lösning expand_more
En exponentialfunktion kan skrivas på formen
där C är startvärdet och a är förändringsfaktorn. Vårt startvärde är antalet tofspingviner idag, dvs. C=1250. Detta ger
En minskning på innebär att det varje år finns kvar av pingvinerna från föregående år. Förändringsfaktorn är alltså a=0.885 vilket ger oss funktionen
där y är antal tofspingviner x år efter idag.
arrow_left
arrow_right
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward
arrow_left arrow_right
close
Community