En funktion med en enda term i form av en potens kan vara antingen en potensfunktion eller exponentialfunktion. Man avgör vilken typ av funktion det är genom att se var i potensen variabeln finns.
I båda fall kan potenserna ha en koefficient, C.
Potensfunktion
y=C⋅xa
Exponentialfunktion
y=C⋅ax
I en exponentialfunktion finns det vissa villkor som konstanterna C och a måste uppfylla.
Konstanten a får inte vara negativ eftersom funktionen då ger odefinierade resultat för vissa x-värden. Om a är negativt kan man t.ex. inte höja upp det till 21 eftersom man inte kan dra roten ur negativa tal. Det ger villkoret a≥0. Vidare ger a=0 och a=1 inte exponentialfunktioner utan vågräta linjer. När a=0 är funktionsuttrycket alltid 0, vilket ger linjen y=0, och när a=1 får man linje längs med startvärdet C eftersom 1x=1, oavsett exponentens värde. Det ger villkoren a=0ocha=1. Dessa villkor kan sammanfattas som a>0 och a=1.
Bestäm vilka av följande funktioner som är potens- respektive exponentialfunktioner.
Vi vet att en potensfunktion har variabeln i basen och att en exponentialfunktion har variabeln i exponenten. Vi börjar med att skriva om de två nedre funktionerna på potensform, för att lättare kunna se var variabeln finns. Näst sista funktionen kan skrivas om med sambandet a=a1/2 till y=x1/2. Sista funktionen kan skrivas om med potenslagen ab1=a-b som y=x-3. Nu ser vi att både de omskrivna funktionerna och y=x2 har variabeln i basen, och alltså är potensfunktioner. Funktionen y=15x har istället variabeln i exponenten och är en exponentialfunktion.
Exponentialfunktioner kan användas för att beskriva procentuella förändringar. Då tolkas koefficienten C som startvärdet och basen a som en förändringsfaktor. Grafiskt kan C tolkas som funktionsvärdet där grafen skär y-axeln.
Funktionen N(t)=1200⋅2t, beskriver antalet bakterier i en kultur efter t minuter. Hur många fanns det från början?
Vi kan välja att utgå ifrån formeln för en exponentialfunktion: y=C⋅at. När funktionen står på den här formen är C startvärdet. I vår funktion är C=1200, så det fanns 1200 bakterier från början.
På en ö nära Nya Zeeland bor idag 1250 tofspingviner. Tofspingvinen är utrotningshotad, och man beräknar att antalet på ön kommer att minska med 11.5 % varje år. Ställ upp en exponentialfunktion som beskriver hur antalet tofspingviner, y, kommer att minska, och låt x vara antal år efter idag.
En exponentialfunktion kan skrivas på formen y=C⋅ax, där C är startvärdet och a är förändringsfaktorn. Vårt startvärde är antalet tofspingviner idag, dvs. C=1250. Detta ger y=1250⋅ax. En minskning på 11.5% innebär att det varje år finns kvar 100−11.5=88.5% av pingvinerna från föregående år. Förändringsfaktorn är alltså a=0.885 vilket ger oss funktionen y=1250⋅0.885x, där y är antal tofspingviner x år efter idag.