Matematisk argumentation

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

För att argumentera inom matematiken använder man sig av logik. Genom att utgå ifrån axiom och definitioner, alltså saker som man vet är sanna, kan det dras nya slutsatser som då också måste vara sanna. Med hjälp av denna typ av matematisk argumentation kan man bevisa matematiska satser.
Begrepp

Axiom

Ett axiom är ett påstående som antas vara sant utan att bevisas. Matematiken bygger på bevisföring, men man kan bara bevisa något med hjälp av saker man redan vet. Därför måste beviskedjan börja någonstans, och axiomen utgör den här startpunkten. Några axiom som används i matematiken är:

  • Två punkter kan alltid förbindas med en rät linje.
  • Om a=ba=b är b=ab=a.
  • Talet efter ett naturligt tal är alltid ett naturligt tal.
Begrepp

Definition

För att kunna föra meningsfulla diskussioner måste man vara överens om vad orden eller symbolerna man använder betyder. En sådan överenskommen innebörd kallas en definition. Inom matematiken används definitioner för att föra in nya begrepp, som primtal vars definition är "ett heltal större än 1 som endast är delbart med 1 och sig självt". Definitioner kan också vara specifika för en viss situation, t.ex. att längden på en sida i en viss triangel är xx.
Begrepp

Sats

En sats är ett påstående som kan bevisas. Ett exempel på en sats är den som beskriver sambandet mellan sidlängderna i en rätvinklig triangel: a2+b2=c2, a^2 + b^2 = c^2,

dvs. Pythagoras sats. Det måste dock inte röra sig om ekvationer. Påståenden som "jämna tal är delbara med 2" är också satser så länge de kan bevisas.
Begrepp

Bevis

Inom matematiken är ett bevis ett logiskt resonemang som leder fram till en slutsats. Resonemanget ska vara så pass strikt att slutsatsen måste vara sann om premisserna, alltså det man utgår ifrån, är det. Det finns olika sätt att bevisa något matematisk:

  • Ett direkt bevis är ett konsekvensresonemang där man går rakt på det man vill visa: "Det där leder till det här". Vanlig ekvationslösning är uppbyggd på det här sättet.
  • Ett indirekt bevis går från andra hållet. Istället för att direkt visa att "talet 12 är jämnt" visar man att "om ett tal är udda, så är det inte 12", vilket har samma innebörd.
Pythagoras sats är ett exempel på en sats som kan bevisas med hjälp av dessa metoder. Av tradition brukar ett bevis avslutas med en förkortning som talar om att beviset är slut. Ett vanligt exempel är Q.E.D. som kommer från latinets "Quod Erat Demonstrandum", vilket betyder ungefär "vilket skulle bevisas". Ofta används även den svenska motsvarigheten V.S.B. som står för just Vilket Skulle Bevisas, eller en ruta: .\square.
Uppgift
Visa att om en mindre cirkel skrivs in mellan mittpunkten och randen på en större cirkel så att den mindre cirkelns mittpunkt ligger på den större cirkelns diameter, så är den större cirkelns area alltid 44 gånger så stor som den lilla cirkelns area.
Lösning

Börja med att rita en figur. Inskriven betyder att den lilla cirkeln precis ska nudda kanten. Vi kan också definiera den stora cirkelns radie som r.r. Observera att vi inte kan hitta på ett värde på radien, t.ex. 22 cm, för då kommer beviset inte gälla generellt utan endast för cirklar med radien 2.2.

Skills forhallande 1.svg

Vi inser då att den lilla cirkelns radie blir hälften av den stora cirkelns. Eftersom vi redan har definierat den stora radien följer att den lilla radien blir r2.\frac{r}{2}.

Skills forhallande 2.svg

Nu ska vi ställa upp uttryck för stora och lilla cirkelns areor. Det är praktiskt att definiera areorna som t.ex. AStorA_{\text{Stor}} och ALiten.A_{\text{Liten}}. Med formeln för cirkelns area får vi AStor=πr2. A_{\text{Stor}}=\pi r^2. För att uttrycka den lilla cirkelns area sätter vi in radien r2\frac{r}{2} i formeln och förenklar.

ALiten=π(r2)2A_{\text{Liten}}=\pi \cdot \left(\dfrac{r}{2}\right)^2
ALiten=πr24A_{\text{Liten}}=\pi \cdot \dfrac{r^2}{4}
ALiten=πr24A_{\text{Liten}}=\dfrac{\pi r^2}{4}

Nu beräknar vi hur många gånger större den stora cirkelns area är genom att använda andelsformeln.

Andel=AStorundefinedALiten\text{Andel}=\left.A_{\text{Stor}}\middle/A_{\text{Liten}}\right.
AStor=πr2A_{\text{Stor}}={\color{#0000FF}{\pi r^2}}, ALiten=πr24A_{\text{Liten}}={\color{#009600}{\dfrac{\pi r^2}{4}}}
Andel=πr2undefinedπr24\text{Andel}=\left.{\color{#0000FF}{\pi r^2}}\middle/{\color{#009600}{\dfrac{\pi r^2}{4}}}\right.
Andel=πr24πr2\text{Andel}=\dfrac{\pi r^2 \cdot 4}{\pi r^2}
Andel=4\text{Andel}=4

Den stora cirkelns area är alltså 44 gånger så stor.

Q.E.D.
Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Implikation

En implikation är ett samband av typen "Om ..., så ...". T.ex. råder en implikation mellan påståendena A: "Figuren är en kvadrat" och B: "Figuren är en fyrhörning". Man brukar använda en pil för att visa att ett påstående implicerar, eller leder till, ett annat.

Implikation wordlist.svg

Notera att implikationen, i det här fallet, inte gäller åt andra hållet: Att figuren är en fyrhörning betyder inte nödvändigtvis att den är en kvadrat. Det finns ju många typer av fyrhörningar.

Implikation Wordlist 1.svg
Begrepp

Ekvivalens

Ordet ekvivalens kan tolkas som likvärdig. Om två uttryck har samma värde, som 2+52+5 och 3+43+4, eller om två påståenden har samma innebörd säger man att de är ekvivalenta. Påstående A: "Triangeln är rätvinklig" är helt likvärdigt (ekvivalent) med påstående B: "Pythagoras sats gäller", eftersom detta är en implikation som gäller åt båda håll.

Ekvivalens wordlist.svg

Man kan därför kombinera pilarna för att få tecknet för ekvivalens, vilket är en dubbelpil.

ABA \Leftrightarrow B

Uppgift

Avgör om det råder implikation (\Rightarrow eller \Leftarrow) eller ekvivalens (\Leftrightarrow) mellan följande par av påståenden.

A. Mariah r 17 r a¨a˚& B. Mariah r en tonring.a¨a˚C. Polygonens vinkelsumma r  a¨360&D. Polygonen r en fyrhrning.a¨o¨E. Det r natt a¨& F. Man kan se mnen.a˚\begin{aligned} &A. \text{ Mariah är 17 år } \& \ B. \text{ Mariah är en tonåring.} \\ \\ &C. \text{ Polygonens vinkelsumma är $360^\circ$ } \&\\ &D. \text{ Polygonen är en fyrhörning.} \\ \\ &E. \text{ Det är natt } \& \ F. \text{ Man kan se månen.} \\ \end{aligned}

Lösning

Vi undersöker paren av påståenden, ett i taget.

  • Om... Mariah är 1717 år så... är hon också en tonåring. Alltså gäller AB.A \Rightarrow B. Men om Mariah är tonåring måste hon inte vara just 17.17. Hon kanske är 1313 eller 1919 år. Implikationen gäller alltså bara åt höger.

AB A \Rightarrow B

  • Om vi stöter på en polygon med vinkelsumman 360360^\circ är det per definition en fyrhörning. Och om polygonen är en fyrhörning har den alltid vinkelsumman 360.360^\circ. Påståendena är likvärdiga dvs. ekvivalenta.

CD C \Leftrightarrow D

  • Bara för att det är natt är det inte säkert att månen syns. Det kan t.ex. vara molnigt. Om månen är synlig, är det då med säkerhet natt? Nej, för ibland syns månen även på dagen. Det råder ingen implikation.
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Avgör om implikationerna och ekvivalenserna gäller.

a

AA: En människa föds.
BB: Människan dör.
ABA \Leftrightarrow B


b

CC: Vatten faller från molnen.
DD: Det regnar.
CDC \Rightarrow D


c

EE: Göran har en fru.
FF: Göran är gift.
EFE \Leftrightarrow F

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att arean av en rektangel blir fyra gånger så stor om man dubblar sidlängderna.

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Avgör om det råder implikation (\Rightarrow eller \Leftarrow) eller ekvivalens (\Leftrightarrow) mellan A och B.

a
AA: Maria äter godis.

B:B: Maria äter sura nappar.


b

AA: Ungdomar över 18 år får ta körkort.
B:B: Ungdomar som inte fyllt 18 år får inte ta körkort.


c

AA: Ahmed är i Spanien.
B:B: Ahmed är i Europa.

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilken implikation eller ekvivalens är korrekt? A.  x=3x2=9B.  x=3x2=9C.  x=3x2=9\begin{aligned} &\text{A.} \ \ x = 3 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 9 \\ &\text{B.} \ \ x = 3 \quad \Leftarrow \quad x^2 = 9 \\ &\text{C.} \ \ x = 3 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 = 9 \end{aligned}

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Avgör om det är ekvivalens mellan A och B eller inte.

a

AA: -3x=12\text{-} 3x = 12
BB: x=4 x = 4


b

AA: 2x=82x = 8
BB: x=4x = 4


c

AA: x2=9x^2 = 9
BB: x=3x = 3

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att hälften (50 %) av figuren är blå.

Uppgift754 1.svg
1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Följande samband är ekvivalenser eller implikationer. Markera ekvivalens med ekvivalenspil \Leftrightarrow och enbart implikation med korrekt implikationspil \Rightarrow eller .\Leftarrow.

Påståenden
Nationella provet VT16 1b/1c
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa för en godtycklig triangel att x=y+z.x=y+z.

Exercise717 1.svg
2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Julia har fått i uppgift att sätta ut en logisk symbol mellan ekvationerna x=2x=2 och x2=4x^2=4 så att hon får ett sant påstående. Hon väljer felaktigt att sätta ut en ekvivalenspil mellan ekvationerna.

Vilken logisk symbol borde Julia använda istället? Motivera ditt svar.

Nationella provet VT15 2a
2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

De jämna talen kan definieras som Alla tal som kan skrivas på formen 2k, där k är ett heltal. Dogge definierar alla udda tal som Alla tal som inte är jämna. Vilka av följande tal är udda enligt Dogge? 4138.44382-44π. 4\quad 13\quad 8.4\quad \dfrac{4}{3}\quad 82 \quad \text{-}44 \quad \pi.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En parallellogram är en fyrhörning där motstående sidor är parallella och lika långa.

Exercise753 1.svg

Visa att arean är A=bh.A=bh.

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Implikationen/ekvivalensen stämmer inte för följande par av påståenden. Ändra antingen på påståendet eller implikationen/ekvivalensen så att de blir så korrekta som möjligt.

a

AA: Fyrhörningens sidor är lika långa.
BB: Fyrhörningen är en kvadrat.
ABA \Leftrightarrow B

b

CC: Triangeln är rätvinklig.
DD: Pythagoras sats gäller.
CDC \Rightarrow D

c

EE: Triangeln är liksidig.
FF: Alla triangelns vinklar är 90.90^\circ.
EFE \Leftarrow F

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

De två kvadraterna i figuren är lika stora. Visa att de blå områdena i kvadraterna har samma area.

Exercise774 1.svg
2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Den streckade linjen delar figurens höjd mitt itu. Visa att det färgade områdets area är 9a2.9a^2.

Uppgift751 1.svg
Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att det gröna områdets area kan skrivas r2(4π)2.\frac{r^2\left(4-\pi\right)}{2}.

Exercise727 1.svg
3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Sigvard säger att han kan visa att 1=0,1=0, och ställer upp följande bevis.

Exercise757 1.svg

Vad har Sigvard gjort för fel?

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Två parallella linjer, L1L_{1} och L2L_{2}, som skärs av en rät linje bildar lika stora inre alternatvinklar, röda i figuren

Uppgift755 0.svg

Använd detta för att bevisa följande sats: Vinkelsumman i en triangel är 180.180 ^\circ.

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du vet att både produkten och summan av två heltal alltid är ett heltal. En definition av jämna tal är Alla tal som kan skrivas på formen 2k2k, där kk är ett heltal. Visa att ett jmnt tal gnger ett heltal alltid r jmnt.a¨a˚a¨a¨ \text{ett jämnt tal gånger ett heltal alltid är jämnt.}

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En cirkel med radien rr är inskriven i en liksidig triangel. Den röda linjen delar vinkeln i hörn BB mitt itu. Visa att arean av triangeln är 3r23.3r^2\sqrt{3}.

Exercise712 1.svg

Du får använda att tan(30)=13.\tan(30^\circ)=\frac{1}{\sqrt{3}}.

3.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Två cirklar med radierna rr och RR är inskrivna i en kvadrat.

Exercise750 1.svg

Visa att kvadratens sida kan skrivas r+R+r+R2.r+R+\frac{r+R}{\sqrt{2}}.

3.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att en pyramid med en kvadratisk bas och en höjd som är hälften av basytans sida har volymen V=Bh3, V=\dfrac{B h}{3}, där BB är pyramidens basyta och hh dess höjd. Du kan utgå från kuben i ditt resonemang.

Exercise829 1.svg
3.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att den stora cirkeln har dubbelt så stor area som den lilla cirkeln. MM är mittpunkten i den stora cirkeln och mm är mittpunkten i den lilla cirkeln.

Cirklar
Nationella provet HT16 1b/1c
3.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Figuren visar en likbent rätvinklig triangel. Två av triangelns sidor är delade i fyra lika stora delar. Hur stor del av triangelns area är skuggad? Motivera ditt svar.

Nationella provet VT05 MaA
Nivå 4
4.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att de färgade ytorna i kvadraten är lika stora.

Exercise714 1.svg
4.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att 2\sqrt{2} är ett irrationellt tal.

4.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa utan räknare att 12544\sqrt{12\,544} är ett rationellt tal om du vet att 3136=562. 3136=56^2.

4.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Den röda fyrhörningen står inskriven i en vit cirkel. Fyrhörningen har även delats upp i två identiska rätvinkliga trianglar. Vi vet även att de blå områdena är lika stora och att de gröna områdena är lika stora.

Exercise749 1.svg

Visa att det röda området är lika stort som summan av de blå och gröna områdena.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}