body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Mitt konto

Kurs 1b Visa detaljer

Innehållsförteckning

Lektion

Övningar

Tester

eKurser /

( Ma 1a , Ma 1b , Ma 1c ) /

Kapitel 3

Faktorisering

Denna lektion fokuserar på att förklara konceptet faktorisering i matematik. Den beskriver hur man kan skriva ett tal eller uttryck som en produkt genom att dela upp det i faktorer. Den förklarar också hur man kan bryta ut en gemensam faktor ur alla termer i ett uttryck. Denna kunskap kan vara särskilt användbar för studenter som studerar matematik och behöver förstå och tillämpa dessa koncept.

Inställningar & verktyg för lektion

	8 sidor teori
	27 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Faktorisering
Bryta ut
Största gemensamma faktor

Förkunskaper

Teori

Faktorisering

Att faktorisera ett tal eller uttryck betyder att man skriver det som en multiplikation. Detta kan innebära att man delar upp det i faktorer, t.ex.

30 = 2 \cdot 3 \cdot 5

eller

4 x^{3} = 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x .

Man kan också mena att man skriver om en summa som en produkt, t.ex.

2 + 2 + 2 = 3 \cdot 2 .

Ett tal som har faktoriserats så att alla faktorer är primtal sägs ha primtalfaktoriserats.

Exempel

Faktorisera uttryck

Faktorisera uttrycket

20 x^{2} y^{3}

så långt det går.

Ledtråd

Skriv om varje term i uttrycket som en produkt av så små faktorer som möjligt.

Lösning

Uttrycket är en produkt som består av en koefficient och två olika typer av variabler. När vi faktoriserar detta delar vi upp koefficienterna och variablerna i så små faktorer som möjligt.

20 x^{2} y^{3}

PowToProdThreeFac

$a^{3} = a \cdot a \cdot a$

20 x^{2} \cdot y \cdot y \cdot y

PowToProdTwoFac

$a^{2} = a \cdot a$

20 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y

Rewrite

Skriv $20$ som $4 \cdot 5$

4 \cdot 5 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y

Rewrite

Skriv $4$ som $2 \cdot 2$

2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y

Teori

Största gemensamma faktor

Om två eller flera tal har faktorer som de har gemensamt, kallas dessa för gemensamma faktorer. Den största av dem kallas för största gemensamma faktorn (SGF). Titta till exempel på faktorerna till $4$ och $8 .$

Faktorer av 4 : Faktorer av 8 : 1, 2, 4 1, 2, 4, 8

De gemensamma faktorerna för $4$ och $8$ är $1,$ $2$ och $4 .$ Eftersom $4$ är den största av dem, är det den största gemensamma faktorn för $4$ och $8 .$ Det kan skrivas så här: $SGF (4, 8) = 4 .$ Man kan också hitta SGF genom att multiplicera de primtalsfaktorer som finns i båda talens primtalsfaktoriseringar.

Gemensamma faktorer kan också beräknas för uttryck med variabler. Till exempel kan vi hitta den största gemensamma faktorn av uttrycken $4 x$ och $2 x .$

Faktorer av 4 x : Faktorer av 2 x : 1, 2, 4, x, 2 x, 4 x 1, 2, x, 2 x

SGF (4 x, 2 x) = 2 x .

Notera också att den största gemensamma faktorn ibland kallas för största gemensamma delare (SGD), eftersom man alltid kan dela ett tal jämnt med en av dess faktorer.

Övning

SGF för slumpvist genererade tal

Hitta den största gemensamma faktorn (SGF) för de angivna talen.

Appletgenerator av slumptal. Den frågar efter GCF för de två talen

Teori

Bryta ut

Om alla termer i ett uttryck innehåller en gemensam faktor kan denna brytas ut. Detta innebär att faktorn plockas ut ur alla termerna och sätts framför en parentes som innehåller det som finns kvar av termerna. Exempelvis innehåller alla termer i uttrycket

x^{2} + 2 x

variabeln

x .

Bryts den ut får man resultatet

x (x + 2) .

Man kan se detta som motsatsen till att multiplicera in något i en parentes.

Ett applet som visar faktorisering av algebraiska uttryck: bryta ner termer i faktorer, identifiera största gemensamma faktor och skriva om uttrycket som en produkt av denna faktor och de återstående termerna inom parentes.

I de ovanstående exemplen bryts alla gemensamma faktorer ut ur uttrycken, men man måste inte göra det. Om den största gemensamma faktorn är

2 x

kan man bryta ut

2,

x

eller båda.

Exempel

Bryt ut given faktor

Bryt ut

2 x

ur uttrycket

4 x^{3} + 8 x^{2} .

Ledtråd

Bestäm vad som återstår av varje term i uttrycket efter att ha tagit ut $2 x$ som en faktor från varje term.

Lösning

Vi börjar med att bestämma vad som blir kvar av varje term i uttrycket om vi plockar ut $2 x$ ur dem. Det gör vi genom att faktorisera termerna på lämpligt sätt. I första termen finns en $4 : a,$ som kan skrivas $2 \cdot 2,$ samt $x^{3},$ som kan skrivas $x \cdot x^{2} .$ Vi resonerar på liknande sätt för den andra termen och sammanställer faktoriseringarna i tabellen.

Term	Faktorisera
$4 x^{3}$	$2 x \cdot 2 x^{2}$
$8 x^{2}$	$2 x \cdot 4 x$

Om vi bryter ut

2 x

ur termerna återstår alltså

2 x^{2}

respektive

4 x .

Det ger resultatet

2 x (2 x^{2} + 4 x) .

Exempel

Bryt ut största möjliga faktor

Bryt ut största möjliga faktor ur

4 x^{3} + 8 x^{2} .

Ledtråd

Faktorisera varje term i uttrycket och identifiera de gemensamma faktorerna bland dem. Produkten av dessa gemensamma faktorer är de största gemensamma faktorn för termerna.

Lösning

Vi faktoriserar termerna i uttrycket och identifierar de faktorer som är gemensamma. Produkten av dessa är den största möjliga faktorn som kan brytas ut.