Faktorisering: Hur Faktoriserar Man i Matte

Term	Faktorisera
$4 x^{3}$	$2 x \cdot 2 x^{2}$
$8 x^{2}$	$2 x \cdot 4 x$

Term	Faktorisera
$4 x^{3}$	$2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x$
$8 x^{2}$	$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x$

Förenkla bråket så långt som möjligt genom att faktorisera.

\frac{9 9 b ^{2}}{1 1 b + b ^{2}}

\frac{1 0 a ^{2} + 5 a}{5 a}

\frac{6 4 + 8 x}{1 6 + 2 x}

Termerna 11b och b^2 delar faktorn b. Vi kan alltså bryta ut ett b i nämnaren och stryka ett b i täljaren.

Faktorn 10a^2 kan skrivas om som 5a* 2a. Vi kan alltså bryta ut 5a i täljaren och förkorta jämnt mot 5a i nämnaren.

Eftersom 64 kan skrivas som produkten 8* 8 kan vi bryta ut 8 i täljaren. I nämnaren kan första termen skrivas som produkten 2* 8 och därför kan 2 brytas ut.

Faktorn (8+x) finns i både täljaren och nämnaren så denna kan förkortas. Vi kan även förkorta 8 med 2.

Du har uttrycket

6 (a - b + 8) - 40 - 5 a + 5 b .

Förenkla uttrycket genom att multiplicera in sexan.

Vi kommer att distribuera faktorn 6 till varje term inom parentesen. Därefter kommer vi att kombinera termer av samma slag för att förenkla uttrycket.

Uttrycket förenklades till a-b+8.

Faktorisera uttrycket

5 + 5 + 5

Bryt ut

x z

x z - x z .

5 kan skrivas som 5 * 1. Vi gör det och bryter ut 5.

Detta är samma sak som 5 * 3, vilket är lika med 15, alltså summan 5 + 5 + 5 uppdelad i faktorer.

För att kunna bryta ut sqrt(x) och sqrt(y) måste vi inse att x och y kan skrivas om som sqrt(x) * sqrt(x) och sqrt(y) * sqrt(y).

Nedanstående band är av olika längd. Till höger om banden står uttryck som beskriver bandens längd.

Beräkna hur många procent längre det gröna bandet är jämfört med det blå.

Beräkna hur många procent kortare det blå bandet är jämfört med det röda.

Genom att dela uttrycket för det blå bandets längd med uttrycket för det gröna bandets längd kan vi bestämma förändringsfaktorn mellan längderna: 8a^2+40a/5a^2+25a. Hur kan vi beräkna detta utan att veta vad a är? Jo, vi kan faktorisera täljare och nämnare och förkorta. Faktorn a finns i alla termer så vi börjar med att bryta ut den.

Både 8 och 40 ingår i åttans multiplikationstabell, och 5 och 25 ingår femmans. Det betyder att vi kan bryta ut en åtta i täljaren och en femma i nämnaren.

Förändringsfaktorn är 1,6. Detta betyder att det blå bandet är 60 % längre än det gröna.

Nu vill vi veta vilken förändringsfaktor som det röda bandets längd ska multipliceras med för att ge det gröna bandet längd. Återigen använder vi formeln för att beräkna förändringsfaktorn. 5a^2+25a/9a^2+45a Vi förenklar högerledet i ekvationen.

Förändringsfaktorn är 0,56. Det gröna bandets längd är med andra ord 56 % av det röda, vilket är samma sak som att det gröna bandet är bandet 44 % kortare än det röda.

Förkorta bråket så långt det går.

\frac{8 x ^{2} - 1 2 x}{2 x ^{2} - 3 x}

\frac{1 8 a ^{3} b - 1 2 a b ^{2}}{1 2 a ^{4} b ^{2} - 8 a ^{2} b ^{3}}

Vi bryter ut största möjliga faktor i både nämnare och täljare. Både 8 och 12 är delbara med 4 så vi kan bryta ut en fyra i täljaren. Vidare finns även x i båda termer, så den största gemensamma faktorn är 4x. Vi bryter ut den.

I nämnaren har vi ett x i båda termer så vi bryter ut det.

Nu ser vi att faktorerna x och (2x-3) finns både i täljaren och nämnaren, vilket innebär att de kan förkortas bort.

Uttrycket förenklades till 4.

Vi gör samma sak igen, dvs. bryter ut den största möjliga faktorn i täljare och nämnare och förkortar. I täljaren kan vi bryta ut 6ab och i nämnaren 4a^2b^2.

Uttrycket förenklades till 32ab.

Förenkla följande bråk så långt det är möjligt.

\frac{2 x ^{2} ( x + 2 ) - ( 4 x ^{2} + x ^{5} )}{2 - x ^{2}}

Vi börjar med att multiplicera in 2x^2 i parentesen och förenkla täljaren.

Nu kan vi bryta ut x^3 i täljaren.

Vi byter plats på siffrorna i ett godtyckligt tvåsiffrigt tal och adderar det ursprungliga talet med det nya talet, dvs.

X Y + Y X

där

X

och

Y

är siffror

0 - 9 .

Vilket tal kan vi alltid dela denna summa med oavsett vilka siffror som gömmer sig bakom

X

och

Y ?

Vad vet vi om talen? I det första talet har X platsvärdet tio och Y platsvärdet ett. I det andra talet är det tvärtom. Y står nu på tiotalsplatsen och X på entalsplatsen. Vi kan använda detta för att skriva om summan som (X * 10+Y * 1)+(Y* 10 + X* 1). Om vi nu kan visa att det går att bryta ut ett tal från uttrycket kan vi alltid dividera med denna faktor. Vi förenklar och faktoriserar.

Eftersom vi kan bryta ut 11 från talet kan vi alltid dividera summan med detta tal oavsett värde på X och Y. Pröva gärna med ett eget exempel, t.ex. talet 23. Byter vi plats på siffrorna får vi 32. Summan 23+32 är 55, vilket ger heltalet 5 då det divideras med 11.

Vi har ett godtyckligt tresiffrigt tal

X Y Z .

Om vi byter plats på hundratalssiffran och entalssiffran får vi ett nytt tal

Z Y X .

Differensen mellan dessa tal är

X Y Z - Z Y X .

Vilket tal kan vi alltid dela denna differens med oavsett vilka siffror vi sätter in?

Vad vet vi om talen? I det första talet har X platsvärdet hundra, Y har värdet tio och Z är entalet. I nästa tal är det tvärtom. Z står nu på hundratalsplatsen och X på entalsplatsen. Vi kan använda detta för att skriva om differensen som (X * 100+Y * 10+Z * 1)-(Z* 100 + Y* 10+X* 1). Om vi nu kan visa att det går att bryta ut ett tal från uttrycket kan vi alltid dividera med denna faktor. Vi förenklar och faktoriserar.

Eftersom vi kan bryta ut 99 från talet kan vi alltid dividera differensen med detta tal oavsett värde på X, Y och Z. Prova gärna med ett eget tal, t.ex. talet 123. Byter vi plats på hundra- och entalssiffran får vi 321. Vi får då differensen 123-321=-198 som ger heltalet -2 då det divideras med 99. Observera alltså att även ett negativt tal kan vara delbart med 99.

Visa att summan av två jämna tal alltid är jämn.

Ett jämnt tal kan alltid skrivas om genom att bryta ut faktorn 2. Exempelvis kan vi skriva om 6 som 2* 3. Vi låter 2a vara ett jämnt tal och 2b ett annat jämnt tal där a och b är heltal. Vi adderar dem och skriver om summan något.

Eftersom både a och b är heltal måste summan av dem också vara ett heltal. Vi får alltså produkten 2*ett heltal vilket innebär att summan är jämn eftersom den innehåller faktorn 2.

Faktorisering

Förkunskaper

Faktorisering

Faktorisera uttryck

Ledtråd

Lösning

Största gemensamma faktor

SGF för slumpvist genererade tal

Bryta ut

Bryt ut given faktor

Ledtråd

Lösning

Bryt ut största möjliga faktor

Ledtråd

Lösning

Faktorisering

Rekommenderade uppgifter

	8 sidor teori
	27 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.