Faktorisering

Genom att dela uttrycket för det blå bandets längd med uttrycket för det gröna bandets längd kan vi bestämma förändringsfaktorn mellan längderna: 8a^2+40a/5a^2+25a. Hur kan vi beräkna detta utan att veta vad a är? Jo, vi kan faktorisera täljare och nämnare och förkorta. Faktorn a finns i alla termer så vi börjar med att bryta ut den.

Både 8 och 40 ingår i åttans multiplikationstabell, och 5 och 25 ingår femmans. Det betyder att vi kan bryta ut en åtta i täljaren och en femma i nämnaren.

Förändringsfaktorn är 1,6. Detta betyder att det blå bandet är 60 % längre än det gröna.

Nu vill vi veta vilken förändringsfaktor som det röda bandets längd ska multipliceras med för att ge det gröna bandet längd. Återigen använder vi formeln för att beräkna förändringsfaktorn. 5a^2+25a/9a^2+45a Vi förenklar högerledet i ekvationen.

Förändringsfaktorn är 0,56. Det gröna bandets längd är med andra ord 56 % av det röda, vilket är samma sak som att det gröna bandet är bandet 44 % kortare än det röda.

I högerledet har vi ett faktoriserat uttryck som ska vara lika med summan i vänsterledet. Vi ser att faktorn 4 finns i alla termer i vänsterledet, så vi bryter ut den så att även vänsterledet är faktoriserat.

Vänster- och högerledet har nu samma form vi kan identifiera vad A och B måste vara med inspektionsmetoden. A står utanför parentesen och måste därför vara lika med 4, medan B står innanför, vilket betyder att det är lika med 2. Svaret är alltså A = 4.

Högerledet är en produkt där den ena faktorn är 3. Kan vi bryta ut en trea i vänsterledet? Ja, 9, 12 och 21 ingår alla i treans multiplikationstabell.

Med inspektionsmetoden kan vi genom att jämföra termerna som har med x att göra samt konstanttermerna dra slutsatsen att A=-4

Vi bryter ut största möjliga faktor i både nämnare och täljare. Både 8 och 12 är delbara med 4 så vi kan bryta ut en fyra i täljaren. Vidare finns även x i båda termer, så den största gemensamma faktorn är 4x. Vi bryter ut den.

I nämnaren har vi ett x i båda termer så vi bryter ut det.

Nu ser vi att faktorerna x och (2x-3) finns både i täljaren och nämnaren, vilket innebär att de kan förkortas bort.

Uttrycket förenklades till 4.

Vi gör samma sak igen, dvs. bryter ut den största möjliga faktorn i täljare och nämnare och förkortar. I täljaren kan vi bryta ut 6ab och i nämnaren 4a^2b^2.

Uttrycket förenklades till 32ab.

Vi börjar med att multiplicera in 2x^2 i parentesen och förenkla täljaren.

Nu kan vi bryta ut x^3 i täljaren.

Om vi tittar på uttrycket ser vi att faktorerna innanför parenteserna påminner om varandra. 5b (a-b)+b (b-a). I första parentesen subtraheras b från a och i andra parentesen är det tvärtom. Hur kan vi skriva om en av parenteserna så att de matchar varandra? Vi försöker skriva om den andra parentesen.

Vi kan alltså byta plats på a och b, men då får vi ett minustecken framför parentesen. Vi sätter in det i uttrycket.

Nu har vi skrivit om den första parentesen så att den matchar den andra. Eftersom termerna delar faktorn (a-b) kan vi bryta ut denna.

Vi förenklade uttrycket till 4b(a-b). Vi hade också kunnat skriva om den första parentesen så att den såg ut som den andra. Då hade vi fått förenklingen - 4b(b-a), vilket är samma sak.

För att bryta ut 12 skriver vi om talen som bråk genom att förlänga dem med 2. Vi kan därefter faktorisera de tre termerna.

Nu innehåller alla tre termer faktorn 12. Vi bryter ut denna.

Vi gör samma sak igen men nu förlänger vi med 3. Då får vi ett bråk med nämnaren 3 och genom att skriva om täljaren som två faktorer där den ena är 2 kan vi bryta ut 23.

Vi skriver om termerna som bråk och förlänger så att de får nämnaren 8. Därefter bryter vi ut 18.

Vad vet vi om talen? I det första talet har X platsvärdet tio och Y platsvärdet ett. I det andra talet är det tvärtom. Y står nu på tiotalsplatsen och X på entalsplatsen. Vi kan använda detta för att skriva om summan som (X * 10+Y * 1)+(Y* 10 + X* 1). Om vi nu kan visa att det går att bryta ut ett tal från uttrycket kan vi alltid dividera med denna faktor. Vi förenklar och faktoriserar.

Eftersom vi kan bryta ut 11 från talet kan vi alltid dividera summan med detta tal oavsett värde på X och Y. Pröva gärna med ett eget exempel, t.ex. talet 23. Byter vi plats på siffrorna får vi 32. Summan 23+32 är 55, vilket ger heltalet 5 då det divideras med 11.

Vad vet vi om talen? I det första talet har X platsvärdet hundra, Y har värdet tio och Z är entalet. I nästa tal är det tvärtom. Z står nu på hundratalsplatsen och X på entalsplatsen. Vi kan använda detta för att skriva om differensen som (X * 100+Y * 10+Z * 1)-(Z* 100 + Y* 10+X* 1). Om vi nu kan visa att det går att bryta ut ett tal från uttrycket kan vi alltid dividera med denna faktor. Vi förenklar och faktoriserar.

Eftersom vi kan bryta ut 99 från talet kan vi alltid dividera differensen med detta tal oavsett värde på X, Y och Z. Prova gärna med ett eget tal, t.ex. talet 123. Byter vi plats på hundra- och entalssiffran får vi 321. Vi får då differensen 123-321=-198 som ger heltalet -2 då det divideras med 99. Observera alltså att även ett negativt tal kan vara delbart med 99.

Ett jämnt tal kan alltid skrivas om genom att bryta ut faktorn 2. Exempelvis kan vi skriva om 6 som 2* 3. Vi låter 2a vara ett jämnt tal och 2b ett annat jämnt tal där a och b är heltal. Vi adderar dem och skriver om summan något.

Eftersom både a och b är heltal måste summan av dem också vara ett heltal. Vi får alltså produkten 2*ett heltal vilket innebär att summan är jämn eftersom den innehåller faktorn 2.