body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Rekommenderade

Tester

Ett fel uppstod, försök igen senare!

eKurser /

( Ma 1b , Ma 1c ) /

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

Visa mindre Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

Videolektion

Mathleaks

Minispelare aktiv

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Faktorisering
Bryta ut
Största gemensamma faktor

Förkunskaper

Teori

Faktorisering

Att faktorisera ett tal eller uttryck betyder att man skriver det som en multiplikation. Detta kan innebära att man delar upp det i faktorer, t.ex.

30 = 2 \cdot 3 \cdot 5

eller

4 x^{3} = 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x .

Man kan också mena att man skriver om en summa som en produkt, t.ex.

2 + 2 + 2 = 3 \cdot 2

. Ett tal som har faktoriserats så att alla faktorer är primtal sägs ha primtalfaktoriserats.

Exempel

Faktorisera uttryck

Faktorisera uttrycket

20 x^{2} y^{3}

så långt det går.

Ledtråd

Skriv om varje term i uttrycket som en produkt av så små faktorer som möjligt.

Lösning

Uttrycket är en produkt som består av en koefficient och två olika typer av variabler. När vi faktoriserar detta delar vi upp koefficienterna och variablerna i så små faktorer som möjligt.

20 x^{2} y^{3}

PowToProdThreeFac

$a^{3} = a \cdot a \cdot a$

20 x^{2} \cdot y \cdot y \cdot y

PowToProdTwoFac

$a^{2} = a \cdot a$

20 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y

Rewrite

Skriv $20$ som $4 \cdot 5$

4 \cdot 5 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y

Rewrite

Skriv $4$ som $2 \cdot 2$

2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y

Teori

Största gemensamma faktor

Om två eller flera tal har faktorer som de delar med varandra så kallas de faktorerna för gemensamma faktorer. Den största av alla gemensamma faktorer kallas för den största gemensamma faktorn (SGF). Betrakta till exempel faktorerna av

4

och

8 .

Faktorer av 4 : Faktorer av 8 : 1, 2, 4 1, 2, 4, 8

De gemensamma faktorerna av

4

och

8

är

1,

2,

och

4 .

Eftersom

4

är den största av dessa så är det den största gemensamma faktorn av

4

och

8,

vilket kan skrivas på följande sätt.

SGF (4, 8) = 4 .

SGF kan också bestämmas genom att multiplicera de primtalsfaktorer som finns med i båda talens primtalsfaktoriseringar.

Primtalsfaktorisering av 4 och 8, samt deras största gemensamma faktor 4

Gemensamma faktorer kan också beräknas för uttryck som innehåller variabler. Till exempel kan man beräkna den största gemensamma faktorn av uttrycken

4 x

och

2 x .

Faktorer av 4 x : Faktorer av 2 x : 1, 2, 4, x, 2 x, 4 x 1, 2, x, 2 x

SGF (4 x, 2 x) = 2 x .

Notera även att den största gemensamma faktorn också kallas största gemensamma delare (SGD), eftersom man alltid kan dela ett tal jämnt med en faktor av talet.

Övning

SGF för slumpvist genererade tal

Hitta den största gemensamma faktorn (SGF) för de angivna talen.

Appletgenerator av slumptal. Den frågar efter GCF för de två talen

Teori

Bryta ut

Om alla termer i ett uttryck innehåller en gemensam faktor kan denna brytas ut. Detta innebär att faktorn plockas ut ur alla termerna och sätts framför en parentes som innehåller det som finns kvar av termerna. Exempelvis innehåller alla termer i uttrycket

x^{2} + 2 x

variabeln

x .

Bryts den ut får man resultatet

x (x + 2) .

Man kan se detta som motsatsen till att multiplicera in något i en parentes.

Ett applet som visar faktorisering av algebraiska uttryck: bryta ner termer i faktorer, identifiera största gemensamma faktor och skriva om uttrycket som en produkt av denna faktor och de återstående termerna inom parentes.

I de ovanstående exemplen bryts alla gemensamma faktorer ut ur uttrycken, men man måste inte göra det. Om den största gemensamma faktorn är

2 x

kan man bryta ut

2,

x

eller båda.

Exempel

Bryt ut given faktor

Bryt ut

2 x

ur uttrycket

4 x^{3} + 8 x^{2} .

Ledtråd

Bestäm vad som återstår av varje term i uttrycket efter att ha tagit ut $2 x$ som en faktor från varje term.

Lösning

Vi börjar med att bestämma vad som blir kvar av varje term i uttrycket om vi plockar ut $2 x$ ur dem. Det gör vi genom att faktorisera termerna på lämpligt sätt. I första termen finns en $4 : a,$ som kan skrivas $2 \cdot 2,$ samt $x^{3},$ som kan skrivas $x \cdot x^{2} .$ Vi resonerar på liknande sätt för den andra termen och sammanställer faktoriseringarna i tabellen.

Term	Faktorisera
$4 x^{3}$	$2 x \cdot 2 x^{2}$
$8 x^{2}$	$2 x \cdot 4 x$

Om vi bryter ut

2 x

ur termerna återstår alltså

2 x^{2}

respektive

4 x .

Det ger resultatet

2 x (2 x^{2} + 4 x) .

Exempel

Bryt ut största möjliga faktor

Bryt ut största möjliga faktor ur

4 x^{3} + 8 x^{2} .

Ledtråd

Faktorisera varje term i uttrycket och identifiera de gemensamma faktorerna bland dem. Produkten av dessa gemensamma faktorer är de största gemensamma faktorn för termerna.

Lösning

Vi faktoriserar termerna i uttrycket och identifierar de faktorer som är gemensamma. Produkten av dessa är den största möjliga faktorn som kan brytas ut.

Term	Faktorisera
$4 x^{3}$	$2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x$
$8 x^{2}$	$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x$

Båda termer innehåller två

2 : or

och två

x .

Den största möjliga faktorn som kan brytas ut är alltså

2 \cdot 2 \cdot x \cdot x

eller skrivet som en produkt:

4 x^{2} .

4 x^{3} + 8 x^{2}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x + 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x

RearrangeFac

Omarrangera faktorer

2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x + 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot 2

Multiply

Multiplicera faktorer

4 x^{2} \cdot x + 4 x^{2} \cdot 2

FactorOut

Bryt ut $4 x^{2}$

4 x^{2} (x + 2)

Avslut

Faktorisering av uttryck

Denna lektion fokuserade på faktorisering, vilket är processen att bryta ner ett tal eller ett uttryck till en produkt av faktorer.

50 = 2 \cdot 5 \cdot 5 12 x^{3} = 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x

Faktorisering används för att förenkla uttryck och lösa ekvationer. Den största gemensamma faktorn (SGF) hjälper till vid faktorisering av algebraiska uttryck. För att faktorisera ett uttryck bryts varje term ner i sina faktorer. Sedan identifieras och tas SGF ut, vilket ger en enklare faktoriserad form av uttrycket. Detta gör det lättare att arbeta med algebraiska uttryck och lösa problem.

Laddar innehåll

{{ article.displayTitle }}

Förkunskaper

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning