Uttryck med parenteser

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Om uttryck innanför parenteser inte bara består av tal, utan även variabler, behöver man använda särskilda räkneregler för att förenkla dem. Dessa regler är olika beroende på om man ska addera, subtrahera eller multiplicera med parenteser.
Regel

Plustecken framför parentes

Om en parentes ska adderas till ett uttryck kan parentesen tas bort. Termerna innanför parentesen påverkas inte.

Regel

a+(bc)=a+bca+(b-c)=a+b-c


Exempelvis kan uttrycket 3+(x5)3+(x-5) tolkas som 3 adderat med hela parentesen. Varje term innanför parentesen ska alltså adderas till 3 så man kan skriva om det som 3+(x5)=3+x+(-5). 3+(x-5)=3+x+(\text{-} 5). Detta kan förenklas med teckenreglerna för addition.

3+x+(-5)3+x+(\text{-} 5)
3+x53+x-5

Alltså kan 3+(x5)3+(x-5) förenklas till 3+x5.3+x-5.

Regel

Minustecken framför parentes

Om en parentes ska subtraheras från ett uttryck ska termerna i parentesen byta tecken när parentesen tas bort.

Regel

a(bc)=ab+ca-(b-c)=a-b+c

Exempelvis kan uttrycket 3(x5)3-(x-5) tolkas som 3 subtraherat med hela parentesen. Varje term innanför parentesen ska alltså subtraheras från 33 så man kan skriva om det som 3(x5)=3(+x)(-5). 3-(x-5)=3-(+x)-(\text{-} 5). Detta kan förenklas med teckenreglerna för subtraktion.

3(+x)(-5)3-(+x)-(\text{-} 5)
3x(-5)3-x-(\text{-} 5)
3x+53-x+5

Uttrycket 3(x5)3-(x-5) förenklas till 3x+5.3-x+5. Ett minustecken framför parentesen innebär alltså att termerna byter tecken när parentesen tas bort.

Uppgift

Förenkla uttrycket 10+(x3)(92x).10+(x-3) -(9-2x).

Lösning

När en parentes föregås av ett plustecken kan parentesen tas bort utan att något händer. När en parentes föregås av ett minustecken ska samtliga termer inuti parentesen byta tecken när parentesen tas bort.

10+(x3)(92x)10+(x-3) -(9-2x)
10+x3(92x)10+x-3 -(9-2x)
10+x39+2x10+x-3 -9+2x
x+2x+1039x+2x+10-3-9
3x23x-2
Visa lösning Visa lösning
Regel

Distributiva lagen

Distributiva lagen används när man multiplicerar in ett tal eller uttryck, t.ex. 7 eller 5x5x, i en parentes. Det multipliceras då med alla termer inuti parentesen.

Law of distr 1a.svg
Uppgift

Förenkla uttrycket 4(37x+y)4(3-7x+y) genom att multiplicera in 4.

Lösning

När man multiplicerar in fyran ska den multipliceras med alla termer inuti parentesen.

4(37x+y)4(3-7x+y)
4347x+4y4\cdot3-4\cdot7x+4\cdot y
1228x+4y12-28x+4y

När man multiplicerat in 4 får man alltså 1228x+4y12-28x+4y.

Visa lösning Visa lösning
Regel

Utvidgade distributiva lagen

Utvidgade distributiva lagen används när man multiplicerar ihop parenteser. Alla termer i ena parentesen multipliceras då med alla termer i den andra.

Utv distr lagen 1.svg
Uppgift

Förenkla uttrycket (5+x)(3y)(5+x)(3-y) genom att multiplicera ihop parenteserna.

Lösning

När man multiplicerar ihop parenteser ska alla termer i den ena parentesen multipliceras med alla termer i den andra. Kom ihåg att ha koll på minustecknen.

(5+x)(3x)(5+x)(3-x)
535x+x3xx5\cdot3-5\cdot x+x\cdot3 -x\cdot x
155x+3xx215-5x+3x -x^2
152xx215-2x-x^2

Man får alltså 152xx2.15-2x-x^2.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla de algebraiska uttrycken.

a

3x+(42y)7+6y3x + (4 - 2y) - 7 + 6y

b

3y2+2x(5y+2x)+13y^2 + 2x - (5y + 2x) + 1

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Multiplicera in faktorn som står utanför parentesen och förenkla.


a

7(5a+2b)7(5a + 2b)

b

4x(8x3y+2)4x(8x - 3y + 2)

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla följande uttryck.


a

-5y(y3)\text{-} 5y(y-3)

b

2t+43t(t+8)2t+4-3t(t+8)

c

9x+10(0.2x+1.3y)13y9x+10(0.2x+1.3y)-13y

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Man har uttrycket 14(3x+9).14-(3x+9).


a

Förenkla uttrycket genom att använda reglerna för att ta bort parenteser.

b

Förenkla uttrycket genom att först skriva om det till 14+(-1)(3x+9)14+(\text{-} 1)(3x+9) och multiplicera in (-1).(\text{-} 1). Jämför resultaten.

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla uttrycken.

a

7x3x(x+8x)7x-3x-(x+8x)

b

7x(3xx)+8x7x-(3x-x)+8x

c

7x(3xx+8x)7x-(3x-x+8x)

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla följande uttryck.


a

2x(3+x5y)2x22x(3+x-5y)-2x^2

b

(2a+6b+10)7b(2a+6b+10)\cdot7b

c

(54x)(x+8)(5-4x)(x+8)

d

(2y4)(2y3)(2y-4)(2y-3)

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm värdet av (x+10)(x+11)11(x+10)(x+10)(x+11)-11(x+10) när x=4x=4 genom att

a
sätta in x=4x=4 och beräkna.
b
först förenkla uttrycket och sedan sätta in x=4.x=4.
1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Arthur har fått uppgiften att förenkla uttrycket 4(3x+2)+84(3x+2)+8 och fått svaret 3x+4.3x+4. Vad kan ha gått fel?

1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Multiplicera in och förenkla uttrycken så långt det går.


a

4(2y3)+(y6)34(2y-3)+(y-6)\cdot3

b

3(4x+10y)6\dfrac{3(4x+10y)}{6}

1.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla följande uttryck.

a

124(x+b)+(x13)12-4(x+b)+(x-13)

a

(x+8)216x(x+8)^2-16x

1.11
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla uttrycket 3(x+5)(x+1)3(x+5)-(x+1) så långt som möjligt.

Nationella provet HT16 1b/1c
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt.


a

3(xy+5)(2y3x)3(xy+5)(2y-3x)

b

2a(3+b)3a2(5a6b)2a(3+b)-3a^2(5a-6b)

c

6t(t24t6)t2(2t25)4t36t\left(t^2-4t-6\right)-t^2(2t-25)-4t^3

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Multiplicera ihop parenteserna och förenkla.


a

(x2y3+xy)(x4y3x3y)\left(x^2y^3+xy\right)\left(x^4y^3-x^3y\right)

b

(2a34b2)(a53b3)\left(2a^3-4b^2\right)\left(a^5-3b^3\right)

c

(5+q)(3q+2r15)(5+q)(3q+2r-15)

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Donald har gjort följande förenkling.

Exercise941 1.svg


a

Vad har Donald gjort för fel?

b

Utför förenklingen korrekt.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla uttrycken så långt som möjligt.


a

a2(a+5a3)\dfrac{a}{2}\left(a+\dfrac{5a}{3}\right)

b

ab(1b+12b+12)\dfrac{a}{b}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{2}\right)

c

3a4(4+a2)+23(4x35x6)\dfrac{3a}{4}\left(4+\dfrac{a}{2}\right)+\dfrac23\left(\dfrac{4x}{3}-\dfrac{5x}{6}\right)

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla uttrycken så långt som möjligt.

a

(x2+x3)(3x+9x)\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{3}\right)\left(\dfrac{3}{x}+\dfrac{9}{x}\right)

b

(2b3+5a7)(a75b6)\left(\dfrac{2b}{3}+\dfrac{5a}{7}\right)\left(\dfrac{a}{7}-\dfrac{5b}{6}\right)

c

(3s22t9)2\left(\dfrac{3s}{2}-\dfrac{2t}{9}\right)^2

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ställ upp ett uttryck för arean av det gröna området och utveckla det.

Exercise545 1.svg
2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att (x+x)(y+y)=4xy(x+x)(y+y)=4xy genom att multiplicera ihop parenteserna.

2.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla uttrycket -(4(7+y)(y(x+3))).\text{-}(4-(7+y)-(y-(x+3))).

2.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

x+3=ax+3=a och x3=b.x-3=b. Skriv ett uttryck för aba-b och förenkla uttrycket.

Nationella provet VT12 1a
Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm värdet av uttrycket 8x+4y58x+4y-5 om du vet att


a

2x+y=20.2x+y=20.

b

12y+24x+6=60.12y+24x+6=60.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Summan av kvadraterna av två tal är 61.61. Produkten av dem är 30.30. Vad är kvadraten av summan av talen?

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För att multiplicera ihop två likadana parenteser med två termer brukar man använda sig av första kvadreringsregeln som säger att (a+b)(a+b)=a2+2ab+b2.(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2. Visa med hjälp av areaberäkningar i nedanstående figur att denna regel stämmer.

Exercise559 1.svg
3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Tindra bor i radhus och har en kvadratisk uteplats bestående av kvadratiska plattor. Hennes kompis Jannike som bor i samma område vill bygga om uteplatsen genom att göra ena sidan lika många plattor kortare som den andra blir längre. Tindra påstår att hon kommer att få kakelplattor över om hon gör på detta sätt. Har Tindra rätt? Och i så fall, hur många plattor kommer att bli över om hon gör sidorna XX plattor längre respektive kortare?

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla så långt som möjligt. (x2y2x3y3)(xy+x4y4)(x4y4x2y2)2x6y6(xy3x3y3+3x5y5x7y7) \dfrac{\left(x^2y^2-x^3y^3\right)\left(xy+x^4y^4\right)\left(x^4y^4-x^2y^2\right)^2}{x^6y^6\left(xy-3x^3y^3+3x^5y^5-x^7y^7\right)}

3.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Under vilka omständigheter gäller likheten (ab)c=a(bc)? (a-b)-c=a-(b-c)?

3.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Tänk dig att jorden har formen av ett klot (egentligen är den lite tillplattad vid polerna). Då kan dess begränsningsarea beräknas med formeln A=4πr2. A=4\pi r^2. Anta att jordens radie ökar med m meter.


a

Skriv ett algebraiskt uttryck som beskriver hur mycket begränsningsarean ökar.

b

Hur många gånger större blir jordens begränsningsarea om radien fördubblas?

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}