3. Faktorisering
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 3
3.
Faktorisering
Denna lektion fokuserar på att förklara konceptet faktorisering i matematik. Den beskriver hur man kan skriva ett tal eller uttryck som en produkt genom att dela upp det i faktorer. Den förklarar också hur man kan bryta ut en gemensam faktor ur alla termer i ett uttryck. Denna kunskap kan vara särskilt användbar för studenter som studerar matematik och behöver förstå och tillämpa dessa koncept.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 8 sidor teori |
| | 31 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Faktorisering
Sida av 8
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Faktorisering
- Bryta ut
- Största gemensamma faktor
Förkunskaper
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Faktorisering
Att faktorisera ett tal eller uttryck betyder att man skriver det som en multiplikation. Detta kan innebära att man delar upp det i faktorer, t.ex. 30 = 2 * 3 * 5 eller 4x^3 = 2 * 2 * x * x * x. Man kan också mena att man skriver om en summa som en produkt, t.ex. 2 + 2 + 2 = 3 * 2. Ett tal som har faktoriserats så att alla faktorer är primtal sägs ha primtalfaktoriserats.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Faktorisera uttryck
Faktorisera uttrycket 20x^2y^3 så långt det går.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x","y"],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2\\cdot 2\\cdot 5\\cdot x\\cdot x \\cdot y \\cdot y \\cdot y"]}}
Lösning
Uttrycket är en produkt som består av en koefficient och två olika typer av variabler. När vi faktoriserar detta delar vi upp koefficienterna och variablerna i så små faktorer som möjligt.
20x^2y^3
PowToProdThreeFac
a^3=a* a* a
20x^2 * y* y* y
PowToProdTwoFac
a^2=a* a
20 * x * x * y* y* y
Rewrite
Skriv 20 som 4* 5
4* 5* x* x * y* y* y
Rewrite
Skriv 4 som 2* 2
2* 2* 5* x* x * y* y* y
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Största gemensamma faktor
Om två eller flera tal har faktorer som de har gemensamt, kallas dessa för gemensamma faktorer. Den största av dem kallas för största gemensamma faktorn (SGF). Titta till exempel på faktorerna till 4 och 8.
Faktorer av4: & 1, 2, 4 Faktorer av8: & 1, 2, 4, 8
De gemensamma faktorerna för 4 och 8 är 1, 2 och 4. Eftersom 4 är den största av dem, är det den största gemensamma faktorn för 4 och 8. Det kan skrivas så här: SGF(4,8)= 4. Man kan också hitta SGF genom att multiplicera de primtalsfaktorer som finns i båda talens primtalsfaktoriseringar.
Gemensamma faktorer kan också beräknas för uttryck med variabler. Till exempel kan vi hitta den största gemensamma faktorn av uttrycken 4x och 2x.
Faktorer av4x: & 1, 2, 4, x, 2x, 4x Faktorer av2x: & 1, 2, x, 2x
SGF(4x, 2x) = 2x. Notera också att den största gemensamma faktorn ibland kallas för största gemensamma delare
(SGD), eftersom man alltid kan dela ett tal jämnt med en av dess faktorer.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
SGF för slumpvist genererade tal
Hitta den största gemensamma faktorn (SGF) för de angivna talen.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Bryta ut
Om alla termer i ett uttryck innehåller en gemensam faktor kan denna brytas ut. Detta innebär att faktorn plockas ut ur alla termerna och sätts framför en parentes som innehåller det som finns kvar av termerna. Exempelvis innehåller alla termer i uttrycket x^2 + 2x variabeln x. Bryts den ut får man resultatet x(x + 2). Man kan se detta som motsatsen till att multiplicera in något i en parentes.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bryt ut given faktor
Bryt ut 2x ur uttrycket 4x^3+8x^2.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2x(2x^2+4x)"]}}
Lösning
Vi börjar med att bestämma vad som blir kvar av varje term i uttrycket om vi plockar ut 2x ur dem. Det gör vi genom att faktorisera termerna på lämpligt sätt. I första termen finns en 4:a, som kan skrivas 2*2, samt x^3, som kan skrivas x* x^2. Vi resonerar på liknande sätt för den andra termen och sammanställer faktoriseringarna i tabellen.
| Term | Faktorisera |
|---|---|
| 4x^3 | 2x* 2x^2 |
| 8x^2 | 2x* 4x |
Om vi bryter ut 2x ur termerna återstår alltså 2x^2 respektive 4x. Det ger resultatet 2x(2x^2+4x).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bryt ut största möjliga faktor
Bryt ut största möjliga faktor ur 4x^3+8x^2.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["4x^2"]}}
Ledtråd
Faktorisera varje term i uttrycket och identifiera de gemensamma faktorerna bland dem. Produkten av dessa gemensamma faktorer är de största gemensamma faktorn för termerna.
Lösning
Vi faktoriserar termerna i uttrycket och identifierar de faktorer som är gemensamma. Produkten av dessa är den största möjliga faktorn som kan brytas ut.
| Term | Faktorisera |
|---|---|
| 4x^3 | 2* 2* x* x* x |
| 8x^2 | 2* 2* 2* x* x |
Båda termer innehåller två 2:or och två x. Den största möjliga faktorn som kan brytas ut är alltså 2* 2* x* x eller skrivet som en produkt: 4x^2.
4x^3+8x^2
SplitIntoFactors
Dela upp i faktorer
2* 2* x* x* x+2* 2* 2* x * x
RearrangeFac
Omarrangera faktorer
2* 2* x* x * x+2* 2* x* x * 2
Multiply
Multiplicera faktorer
4x^2 * x+4x^2* 2
FactorOut
Bryt ut 4x^2
4x^2(x+2)
Dela
Rapportera fel
Översätt
Faktorisering
Uppgift 4.1
Faktorisera 2x^2+2x+3x+3.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["(2x+3)*(x+1)","(x+1)*(2x+3)"]}}
security
report
code
security
report
code
Det finns ingen gemensam faktor som kan brytas ut från alla fyra termerna. Däremot kan vi notera att 2x^2 och 2x delar faktorn 2x. Vi ser även att 3x och 3 delar faktorn 3. Vi börjar med att faktorisera dessa.
Nu har vi endast två termer och då ser vi att dessa båda innehåller (x+1). Det betyder att vi kan bryta ut den.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Bryt ut 144 ur uttrycket 12v/7+6w/5+288.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["v"],"constants":["w"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["144(\\dfrac{v}{84}+ \\dfrac{w}{120}+ 2)","(\\dfrac{v}{84}+ \\dfrac{w}{120}+ 2)*144"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi vill på något sätt få fram faktorn 144. 288 är dubbelt så stort som 144 så det kan vi skriva som 144*2. För att få faktorn 144 i bråken måste vi förlänga dem. Det första bråket kan förlängas med 12 för att få 144 i täljaren.
Det är kanske inte uppenbart hur man får fram 144 det andra bråket, men börja med att förlänga med 2. Då får vi 12 i täljaren och kan sedan förlänga med 12.
Nu kan vi bryta ut 144.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Faktorisering
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll