3. Faktorisering
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 3
3.
Faktorisering
Denna lektion fokuserar på att förklara konceptet faktorisering i matematik. Den beskriver hur man kan skriva ett tal eller uttryck som en produkt genom att dela upp det i faktorer. Den förklarar också hur man kan bryta ut en gemensam faktor ur alla termer i ett uttryck. Denna kunskap kan vara särskilt användbar för studenter som studerar matematik och behöver förstå och tillämpa dessa koncept.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 8 sidor teori |
| | 27 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Faktorisering
Sida av 8
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Faktorisering
- Bryta ut
- Största gemensamma faktor
Förkunskaper
Teori
Faktorisering
Att faktorisera ett tal eller uttryck betyder att man skriver det som en multiplikation. Detta kan innebära att man delar upp det i faktorer, t.ex. 30=2⋅3⋅5 eller 4x3=2⋅2⋅x⋅x⋅x. Man kan också mena att man skriver om en summa som en produkt, t.ex. 2+2+2=3⋅2. Ett tal som har faktoriserats så att alla faktorer är primtal sägs ha primtalfaktoriserats.
Exempel
Faktorisera uttryck
Faktorisera uttrycket 20x2y3 så långt det går.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x","y"],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2\\cdot 2\\cdot 5\\cdot x\\cdot x \\cdot y \\cdot y \\cdot y"]}}
Lösning
Uttrycket är en produkt som består av en koefficient och två olika typer av variabler. När vi faktoriserar detta delar vi upp koefficienterna och variablerna i så små faktorer som möjligt.
20x2y3
PowToProdThreeFac
a3=a⋅a⋅a
20x2⋅y⋅y⋅y
PowToProdTwoFac
a2=a⋅a
20⋅x⋅x⋅y⋅y⋅y
Rewrite
Skriv 20 som 4⋅5
4⋅5⋅x⋅x⋅y⋅y⋅y
Rewrite
Skriv 4 som 2⋅2
2⋅2⋅5⋅x⋅x⋅y⋅y⋅y
Teori
Största gemensamma faktor
Om två eller flera tal har faktorer som de delar med varandra så kallas de faktorerna för gemensamma faktorer. Den största av alla gemensamma faktorer kallas för den största gemensamma faktorn (SGF). Betrakta till exempel faktorerna av 4 och 8.
Gemensamma faktorer kan också beräknas för uttryck som innehåller variabler. Till exempel kan man beräkna den största gemensamma faktorn av uttrycken 4x och 2x.
Faktorer av 4:Faktorer av 8: 1,2,4 1,2,4,8
De gemensamma faktorerna av 4 och 8 är 1, 2, och 4. Eftersom 4 är den största av dessa så är det den största gemensamma faktorn av 4 och 8, vilket kan skrivas på följande sätt. SGF(4,8)=4. SGF kan också bestämmas genom att multiplicera de primtalsfaktorer som finns med i båda talens primtalsfaktoriseringar. Faktorer av 4x:Faktorer av 2x: 1,2,4,x,2x,4x 1,2,x,2x
SGF(4x,2x)=2x. Notera även att den största gemensamma faktorn också kallas största gemensamma delare(SGD), eftersom man alltid kan dela ett tal jämnt med en faktor av talet.
Övning
SGF för slumpvist genererade tal
Hitta den största gemensamma faktorn (SGF) för de angivna talen.
Teori
Bryta ut
Om alla termer i ett uttryck innehåller en gemensam faktor kan denna brytas ut. Detta innebär att faktorn plockas ut ur alla termerna och sätts framför en parentes som innehåller det som finns kvar av termerna. Exempelvis innehåller alla termer i uttrycket x2+2x variabeln x. Bryts den ut får man resultatet x(x+2). Man kan se detta som motsatsen till att multiplicera in något i en parentes.
I de ovanstående exemplen bryts alla gemensamma faktorer ut ur uttrycken, men man måste inte göra det. Om den största gemensamma faktorn är 2x kan man bryta ut 2, x eller båda.
Exempel
Bryt ut given faktor
Bryt ut 2x ur uttrycket 4x3+8x2.
Om vi bryter ut 2x ur termerna återstår alltså 2x2 respektive 4x. Det ger resultatet
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2x(2x^2+4x)"]}}
Lösning
Vi börjar med att bestämma vad som blir kvar av varje term i uttrycket om vi plockar ut 2x ur dem. Det gör vi genom att faktorisera termerna på lämpligt sätt. I första termen finns en 4:a, som kan skrivas 2⋅2, samt x3, som kan skrivas x⋅x2. Vi resonerar på liknande sätt för den andra termen och sammanställer faktoriseringarna i tabellen.
| Term | Faktorisera |
|---|---|
| 4x3 | 2x⋅2x2 |
| 8x2 | 2x⋅4x |
2x(2x2+4x).
Exempel
Bryt ut största möjliga faktor
Bryt ut största möjliga faktor ur 4x3+8x2.
Båda termer innehåller två 2:or och två x. Den största möjliga faktorn som kan brytas ut är alltså 2⋅2⋅x⋅x eller skrivet som en produkt: 4x2.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["4x^2"]}}
Ledtråd
Faktorisera varje term i uttrycket och identifiera de gemensamma faktorerna bland dem. Produkten av dessa gemensamma faktorer är de största gemensamma faktorn för termerna.
Lösning
Vi faktoriserar termerna i uttrycket och identifierar de faktorer som är gemensamma. Produkten av dessa är den största möjliga faktorn som kan brytas ut.
| Term | Faktorisera |
|---|---|
| 4x3 | 2⋅2⋅x⋅x⋅x |
| 8x2 | 2⋅2⋅2⋅x⋅x |
4x3+8x2
SplitIntoFactors
Dela upp i faktorer
2⋅2⋅x⋅x⋅x+2⋅2⋅2⋅x⋅x
RearrangeFac
Omarrangera faktorer
2⋅2⋅x⋅x⋅x+2⋅2⋅x⋅x⋅2
Multiply
Multiplicera faktorer
4x2⋅x+4x2⋅2
FactorOut
Bryt ut 4x2
4x2(x+2)
Faktorisering
Övningar
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["a"],"constants":["b"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2*2*5*5*a*b"]}}
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
security
report
code
security
report
code
Delar vi upp uttrycket i konstanter och variabler får vi 100ab=100* a* b. Vi fortsätter uppdelningen genom att primtalsfaktorisera 100.
Nej, det är inte en primtalsfaktorisering. Även om 100 inte kan delas upp i mindre faktorer så vet vi inte vilka tal som gömmer sig bakom variablerna. De kan vara primtal eller så kan de vara sammansatta tal. Därför kan man inte säga talet har primtalsfaktoriserats.
security
report
code
Vi har uttrycket 12x3+28x. Faktorisera båda termerna så långt som möjligt. Bryt ut den största möjliga faktorn.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["4x(3x^2+ 7)","(3x^2+ 7)4x"]}}
security
report
code
security
report
code
Faktorisera så långt som möjligt innebär att vi delar upp talen i så små faktorer som möjligt. Talen primtalsfaktoriserar vi och potenserna skriver vi som upprepad multiplikation: 2 * 2 * 3* x * x * x+2 * 2 * 7 * x. Den största möjliga faktorn är 4x. Låt oss bryta ut detta.
security
report
code
Bryt ut den största gemensamma faktorn.
4x+10
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2(2x + 5)","(2x + 5)2"]}}
20x2+12x
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["4x(5x + 3)","(5x + 3)4x"]}}
5x2−2x+3xy
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["y"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["x(5x - 2 + 3y)","(5x - 2 + 3y)x"]}}
security
report
code
security
report
code
Eftersom både 4 och 10 är jämna tal kan vi bryta ut faktorn 2.
2x och 5 delar inga faktorer så inget mer kan brytas ut.
20 och 12 är jämna tal så faktorn 2 kan brytas ut från båda. De innehåller också faktorn x så vi börjar med att bryta ut termen 2x.
Vi kan faktorisera ytterligare. 10 och 6 också är jämna tal, så vi kan bryta ut ytterligare en tvåa.
5x och 3 delar inga faktorer så inget mer kan brytas ut.
Termerna i uttrycket har delar faktorn x. Vi bryter ut det.
Ingen av termerna i parentesen har någon gemensam faktor så nu kommer vi inte längre.
security
report
code
Bryt ut största möjliga faktor i uttrycken.
5x+25
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["5(x+5)","(x+5)5"]}}
4a+4b
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["a"],"constants":["b"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["4(a+b)","(a+b)4"]}}
81x−27y
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["y"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["27(3x-y)","(3x-y)27"]}}
security
report
code
security
report
code
För att hitta den största möjliga faktorn som kan brytas ut faktoriserar vi båda termer och identifierar vilka faktorer som är gemensamma.
| Term | Dela upp i faktorer |
|---|---|
| 5x | 5* x |
| 25 | 5* 5 |
När båda termer har brutits ner i faktorer ser vi att båda innehåller en 5:a så vi kan bryta ut denna ur uttrycket.
Vi gör på samma sätt igen och börjar med att bryta ner termerna i faktorer.
| Term | Dela upp i faktorer |
|---|---|
| 4a | 2* 2* a |
| 4b | 2* 2* b |
När båda termer har brutits ner i faktorer ser vi att båda innehåller två 2:or som vi kan bryta ut ur uttrycket. Vi multiplicerar dock ihop dem först så att vi bryter ut talet 4.
Vi bryter ner termerna i faktorer.
| Term | Dela upp i faktorer |
|---|---|
| 81x | 3 * 3 * 3 * 3 * x |
| 27y | 3 * 3 * 3 * y |
När båda termer bryts ner i faktorer ser vi att båda innehåller tre 3:or så vi kan bryta ut dessa i uttrycket. För att göra saker lite enklare att hantera multiplicerar först vi ihop dem till talet 27.
security
report
code
Bryt ut största möjliga faktor.
x3−5x
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["x(x^2-5)","(x^2-5)x"]}}
9x−6y+12
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["y"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3(3x - 2y + 4)","(3x - 2y + 4)3"]}}
security
report
code
security
report
code
Båda termer innehåller faktorn x, så vi bryter ut den.
När vi ska faktorisera ett uttryck börjar vi med att undersöka termerna för att se om de har någon faktor gemensam. 9, 6 och 12 är alla delbara med 3 så vi kan bryta ut en trea.
security
report
code
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3x(-x +3)","(-x +3)3x","3x(3-x)","(3-x)3x"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["-120"]}}
security
report
code
security
report
code
För att hitta den största möjliga faktorn som kan brytas ut delar vi upp båda termer i faktorer och identifierar vilka som är gemensamma. Vi ser minustecknet som faktorn - 1.
| Term | Dela upp i faktorer |
|---|---|
| - 3x^2 | - 1 * 3 * x * x |
| 9x | 3* 3 * x |
Vi ser att de gemensamma faktorerna är 3 och x, så vi bryter ut 3x.
Nu sätter vi in x=- 5 i uttrycket och förenklar.
security
report
code
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["5(2x + 1)","(2x + 1)5"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["x(1 - x)","(1 - x)x"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att dela upp termerna i faktorer. För talet 5 kan det verka som att 5 är den enda faktorn, men det finns även en faktor 1 i alla tal. Oftast brukar man inte skriva ut den när man delar upp tal och uttryck i faktorer, men i det här fallet måste vi göra det för att se vad som blir kvar när vi bryter ut femman.
Det faktoriserade uttrycket blir 5(2x + 1) och vi kan se att det blir en etta kvar där femman fanns tidigare.
Nu när vi bryter ut x ur x - x^2 måste vi tänka på samma sätt som i förra uppgiften, alltså att faktorn 1 finns i termen x.
Vi ser igen att när vi bryter ut en hel term blir 1 kvar, och det faktoriserad uttrycket är x(1-x).
security
report
code
Man vet att 29,2⋅1,3=37,96. Vad är då 2,92⋅13?
Nationella provet VT12 1b
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["37,96"]}}
security
report
code
security
report
code
Om decimaltecknet i ett tal flyttas ett steg åt vänster innebär det att man delar talet med 10. Flyttar vi decimaltecknet ett steg åt höger innebär det istället att man multiplicerar talet med 10, dvs. 29,2/10=2,92 och 1,3* 10=13. Detta innebär att talet 2,92* 13 kan skrivas som 29,210* 1,3* 10 . Eftersom vi multiplicerar och dividerar med 10 i samma tal så tar dessa tior ut varandra.
Vi ser att 2,92* 13 kan skrivas om som 29,2* 1,3, vilket vi från uppgiftstexten vet är lika med 37,96. Alltså är 2,92* 13 också lika med 37,96.
security
report
code
Faktorisering
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll