Faktorisering

Termerna 11b och b^2 delar faktorn b. Vi kan alltså bryta ut ett b i nämnaren och stryka ett b i täljaren.

Faktorn 10a^2 kan skrivas om som 5a* 2a. Vi kan alltså bryta ut 5a i täljaren och förkorta jämnt mot 5a i nämnaren.

Eftersom 64 kan skrivas som produkten 8* 8 kan vi bryta ut 8 i täljaren. I nämnaren kan första termen skrivas som produkten 2* 8 och därför kan 2 brytas ut.

Faktorn (8+x) finns i både täljaren och nämnaren så denna kan förkortas. Vi kan även förkorta 8 med 2.

Vi går igenom alla faktorer som vi vet måste finnas i de två termerna. Om man kan bryta ut 2z måste faktorerna 2 och z finnas, och på samma sätt måste de innehålla y om även det går att bryta ut. Utöver dessa faktorer innehåller den första termen x^3 och den andra x^2. Multiplicerar vi dessa faktorer får vi det enklaste uttrycket som passar in på beskrivningen. Term1: 2 * z * y * x^3 Term1: 2 * z * y * x^2 Lägger vi ihop termerna och multiplicerar faktorerna får vi uttrycket 2zyx^3 + 2zyx^2.

Från tidigare vet vi att båda termerna har faktorerna 2, z och y gemensamt, men vi ser även att faktorn x^2 finns i båda. Vi kan alltså bryta ut faktorn 2 * z * y * x^2 = 2zyx^2.

Om vi utgår från det uttryck vi fick i första deluppgiften kan vi lägga till vilka faktorer vi vill till vilken term som helst och beskrivningen kommer fortfarande att stämma. Exempelvis går det fortfarande att bryta ut faktorerna och första och andra termen innehåller fortfarande x^3 respektive x^2 i 13* u * 2zyx^3 + 5 * v * 2zyx^2.

Betänk att den givna modellen visar arean av varje del av en rektangel.

Vi kan använda denna modell för att hitta de saknade värdena i det givna uttrycket. 12+16= ( + ) För att göra det, låt oss hitta den största gemensamma faktorn mellan areorna genom att använda deras primtalsfaktorisering.

Den största gemensamma faktorn mellan areorna är 2^2=4. Då kan vi skriva om areorna som en produkt av den största gemensamma faktorn och den återstående faktorn. 12=4(3) 16=4(4) Eftersom arean är produkten av längden och bredden och bredden är densamma för båda rektanglarna, kan vi betrakta den största gemensamma faktorn som längden och den återstående faktorn som bredden.

Slutligen kan vi komplettera det givna uttrycket. Var medveten om att faktorn ut kommer att vara den största gemensamma faktorn, vilket är rektangelns bredd. 12+16=4(3+4)

Antag att vi säljer soppmixer för en insamling. För varje soppmix får företaget som tillverkar soppan x dollar, och vi får det återstående beloppet. Vi sålde 16 soppmixer för totalt 16x+96 dollar. För att beräkna hur mycket pengar vi får kan vi skriva primtalsfaktoriseringen av varje term i uttrycket. 16x=& x * 2 * 2 * 2* 2 96=& 2 * 2 * 2* 2 * 2 * 3 Observera att den största gemensamma primtalsfaktorn är 2 * 2 * 2 * 2=2^4. Då kan vi skriva om termerna med hjälp av den största gemensamma faktorn mellan termerna. 16x=2^4(x) 96=2^4(6) Vi kan sätta in detta i det givna uttrycket och faktorisera uttrycket. Låt oss göra det!

Eftersom x är pengarna som företaget får för varje soppmix, måste vår förtjänst vara den adderade kvantiteten. Därför får vi 6 dollar för varje soppmix som vi säljer.

Betrakta den givna primtalsfaktoriseringen av två tal. Tal 1:& 2* 11 * 5 * a Tal 2:& 7* b * 3 * 3 Här representerar a och b primtal. Vi vill skriva summan av de två talen som ett uttryck av följande form. 14( + ) Eftersom 14 multiplicerar de två talen, måste båda vara multiplar av 14. Detta betyder att a och b måste vara sådana att primtalsfaktoriseringen är en multipel av 14. Vi kan kontrollera detta genom att ersätta a och b med olika primtal. Låt oss börja med tal 1 och ersätta a= 2.

Nu kommer vi att göra samma sak för tal 2 och ersätta b= 2.

Talet 126 är en multipel av 14. Då är ett möjligt värde för b lika med 2. Eftersom vi har ett tal för b, kommer vi att fortsätta att ersätta primtal i primtalsfaktoriseringen av tal 1 tills vi får en multipel av 14. Låt oss göra detta i en tabell!

Värdet på a kan vara 7. Då är talparet 770 och 126. Nu måste vi hitta två tal som multiplicerade med 14 ger oss 770 och 126. För att göra det kommer vi att dividera varje tal med 14. 770/14=55, 126/14=9 Dessa tal multiplicerade med 14 ger oss summan av 770 och 126. 770+126=14(55)+14(9) Slutligen kan vi förenkla detta uttryck genom att faktorisera 14.

Tänk på att detta bara är ett möjligt svar. Det finns många tal vars summa kan skrivas som den givna formen.

Låt oss börja med att repetera definitionen av största gemensamma faktor (SGF). SGF är produkten av alla gemensamma primtalsfaktorer från en grupp av monom. Om talen p och q har en SGF på 7 kan vi skriva dem som produkten av 7 och ett annat tal. p = 7a q = 7b Eftersom SGF för p och q är 7 har a och b inga gemensamma primtalsfaktorer. Nu kan vi kvadrera båda ekvationerna. p^2 = (7a)^2 = 49a^2 q^2 = (7b)^2 = 49b^2 Eftersom a och b inte har några gemensamma primtalsfaktorer, har inte heller a^2 och b^2 det. Därför är SGF för p^2 och q^2 49.