3. Faktorisering
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 3
3.
Faktorisering
Denna lektion fokuserar på att förklara konceptet faktorisering i matematik. Den beskriver hur man kan skriva ett tal eller uttryck som en produkt genom att dela upp det i faktorer. Den förklarar också hur man kan bryta ut en gemensam faktor ur alla termer i ett uttryck. Denna kunskap kan vara särskilt användbar för studenter som studerar matematik och behöver förstå och tillämpa dessa koncept.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 8 sidor teori |
| | 27 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Faktorisering
Sida av 8
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Faktorisering
- Bryta ut
- Största gemensamma faktor
Förkunskaper
Teori
Faktorisering
Att faktorisera ett tal eller uttryck betyder att man skriver det som en multiplikation. Detta kan innebära att man delar upp det i faktorer, t.ex. 30=2⋅3⋅5 eller 4x3=2⋅2⋅x⋅x⋅x. Man kan också mena att man skriver om en summa som en produkt, t.ex. 2+2+2=3⋅2. Ett tal som har faktoriserats så att alla faktorer är primtal sägs ha primtalfaktoriserats.
Exempel
Faktorisera uttryck
Faktorisera uttrycket 20x2y3 så långt det går.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x","y"],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2\\cdot 2\\cdot 5\\cdot x\\cdot x \\cdot y \\cdot y \\cdot y"]}}
Lösning
Uttrycket är en produkt som består av en koefficient och två olika typer av variabler. När vi faktoriserar detta delar vi upp koefficienterna och variablerna i så små faktorer som möjligt.
20x2y3
PowToProdThreeFac
a3=a⋅a⋅a
20x2⋅y⋅y⋅y
PowToProdTwoFac
a2=a⋅a
20⋅x⋅x⋅y⋅y⋅y
Rewrite
Skriv 20 som 4⋅5
4⋅5⋅x⋅x⋅y⋅y⋅y
Rewrite
Skriv 4 som 2⋅2
2⋅2⋅5⋅x⋅x⋅y⋅y⋅y
Teori
Största gemensamma faktor
Om två eller flera tal har faktorer som de har gemensamt, kallas dessa för gemensamma faktorer. Den största av dem kallas för största gemensamma faktorn (SGF). Titta till exempel på faktorerna till 4 och 8.
Faktorer av 4:Faktorer av 8: 1,2,4 1,2,4,8
De gemensamma faktorerna för 4 och 8 är 1, 2 och 4. Eftersom 4 är den största av dem, är det den största gemensamma faktorn för 4 och 8. Det kan skrivas så här: SGF(4,8)=4. Man kan också hitta SGF genom att multiplicera de primtalsfaktorer som finns i båda talens primtalsfaktoriseringar.
Gemensamma faktorer kan också beräknas för uttryck med variabler. Till exempel kan vi hitta den största gemensamma faktorn av uttrycken 4x och 2x.
Faktorer av 4x:Faktorer av 2x: 1,2,4,x,2x,4x 1,2,x,2x
SGF(4x,2x)=2x. Notera också att den största gemensamma faktorn ibland kallas för största gemensamma delare(SGD), eftersom man alltid kan dela ett tal jämnt med en av dess faktorer.
Övning
SGF för slumpvist genererade tal
Hitta den största gemensamma faktorn (SGF) för de angivna talen.
Teori
Bryta ut
Om alla termer i ett uttryck innehåller en gemensam faktor kan denna brytas ut. Detta innebär att faktorn plockas ut ur alla termerna och sätts framför en parentes som innehåller det som finns kvar av termerna. Exempelvis innehåller alla termer i uttrycket x2+2x variabeln x. Bryts den ut får man resultatet x(x+2). Man kan se detta som motsatsen till att multiplicera in något i en parentes.
I de ovanstående exemplen bryts alla gemensamma faktorer ut ur uttrycken, men man måste inte göra det. Om den största gemensamma faktorn är 2x kan man bryta ut 2, x eller båda.
Exempel
Bryt ut given faktor
Bryt ut 2x ur uttrycket 4x3+8x2.
Om vi bryter ut 2x ur termerna återstår alltså 2x2 respektive 4x. Det ger resultatet
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2x(2x^2+4x)"]}}
Lösning
Vi börjar med att bestämma vad som blir kvar av varje term i uttrycket om vi plockar ut 2x ur dem. Det gör vi genom att faktorisera termerna på lämpligt sätt. I första termen finns en 4:a, som kan skrivas 2⋅2, samt x3, som kan skrivas x⋅x2. Vi resonerar på liknande sätt för den andra termen och sammanställer faktoriseringarna i tabellen.
| Term | Faktorisera |
|---|---|
| 4x3 | 2x⋅2x2 |
| 8x2 | 2x⋅4x |
2x(2x2+4x).
Exempel
Bryt ut största möjliga faktor
Bryt ut största möjliga faktor ur 4x3+8x2.
Båda termer innehåller två 2:or och två x. Den största möjliga faktorn som kan brytas ut är alltså 2⋅2⋅x⋅x eller skrivet som en produkt: 4x2.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["4x^2"]}}
Ledtråd
Faktorisera varje term i uttrycket och identifiera de gemensamma faktorerna bland dem. Produkten av dessa gemensamma faktorer är de största gemensamma faktorn för termerna.
Lösning
Vi faktoriserar termerna i uttrycket och identifierar de faktorer som är gemensamma. Produkten av dessa är den största möjliga faktorn som kan brytas ut.
| Term | Faktorisera |
|---|---|
| 4x3 | 2⋅2⋅x⋅x⋅x |
| 8x2 | 2⋅2⋅2⋅x⋅x |
4x3+8x2
SplitIntoFactors
Dela upp i faktorer
2⋅2⋅x⋅x⋅x+2⋅2⋅2⋅x⋅x
RearrangeFac
Omarrangera faktorer
2⋅2⋅x⋅x⋅x+2⋅2⋅x⋅x⋅2
Multiply
Multiplicera faktorer
4x2⋅x+4x2⋅2
FactorOut
Bryt ut 4x2
4x2(x+2)
Faktorisering
Övningar
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["a","b"],"constants":["c"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["a*b*c*c"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["a","b"],"constants":["c"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["a*a*b*c"]}}
{"type":"choice","form":{"alts":["<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">c<\/span><\/span><\/span><\/span> \u00e4r tre g\u00e5nger st\u00f6rre \u00e4n <span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">a<\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.69444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">b<\/span><\/span><\/span><\/span> \u00e4r tre g\u00e5nger st\u00f6rre \u00e4n <span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">a<\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">a<\/span><\/span><\/span><\/span> \u00e4r tre g\u00e5nger st\u00f6rre \u00e4n <span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">c<\/span><\/span><\/span><\/span>"],"noSort":false},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
Vi vet inte vilka tal som variablerna representerar så den minsta uppdelningen vi kan göra är att skriva uttrycket som en multiplikation av faktorer. c^2 delar vi upp till c* c. 1 abc^2=a\cdot b\cdot c\cdot c. }
Samma sak här. Det enda vi kan göra är att skriva uttrycket som en multiplikation av faktorer så vi får
a^2bc=a * a* b* c.
Om det första uttrycket är tre gånger större än det andra kan vi ställa upp ekvationen
a* b* c* c/a * a* b* c=3
Vi förenklar vänsterledet genom att förkorta så många faktorer vi kan.
Delar vi c med a får vi alltså kvoten 3. Detta innebär att värdet som c representerar måste vara tre gånger större än det värde som a representerar.
security
report
code
Förenkla bråket så långt som möjligt genom att faktorisera.
11b+b299b2
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["b"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{99b}{11+b}"]}}
5a10a2+5a
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["a"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2a+1"]}}
16+2x64+8x
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["4"]}}
security
report
code
security
report
code
Termerna 11b och b^2 delar faktorn b. Vi kan alltså bryta ut ett b i nämnaren och stryka ett b i täljaren.
Faktorn 10a^2 kan skrivas om som 5a* 2a. Vi kan alltså bryta ut 5a i täljaren och förkorta jämnt mot 5a i nämnaren.
Eftersom 64 kan skrivas som produkten 8* 8 kan vi bryta ut 8 i täljaren. I nämnaren kan första termen skrivas som produkten 2* 8 och därför kan 2 brytas ut.
Faktorn (8+x) finns i både täljaren och nämnaren så denna kan förkortas. Vi kan även förkorta 8 med 2.
security
report
code
I ett uttryck med två termer där den första termen innehåller faktorn x3 och den andra innehåller faktorn x2. Vi vet även att man kan bryta ut faktorerna 2z och y ur uttrycket.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x","y"],"constants":["z"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2zyx^3 + 2zyx^2"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x","y"],"constants":["z"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2zyx^2(x+1)","(x+1)2zyx^2"]}}
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
Vi går igenom alla faktorer som vi vet måste finnas i de två termerna. Om man kan bryta ut 2z måste faktorerna 2 och z finnas, och på samma sätt måste de innehålla y om även det går att bryta ut. Utöver dessa faktorer innehåller den första termen x^3 och den andra x^2. Multiplicerar vi dessa faktorer får vi det enklaste uttrycket som passar in på beskrivningen. Term1: 2 * z * y * x^3 Term1: 2 * z * y * x^2 Lägger vi ihop termerna och multiplicerar faktorerna får vi uttrycket 2zyx^3 + 2zyx^2.
Från tidigare vet vi att båda termerna har faktorerna 2, z och y gemensamt, men vi ser även att faktorn x^2 finns i båda. Vi kan alltså bryta ut faktorn 2 * z * y * x^2 = 2zyx^2.
Om vi utgår från det uttryck vi fick i första deluppgiften kan vi lägga till vilka faktorer vi vill till vilken term som helst och beskrivningen kommer fortfarande att stämma. Exempelvis går det fortfarande att bryta ut faktorerna och första och andra termen innehåller fortfarande x^3 respektive x^2 i 13* u * 2zyx^3 + 5 * v * 2zyx^2.
security
report
code
Faktorisering
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll