Faktorisering

För att identfiera vad som kan brytas ut delar vi upp samtliga termer i faktorer och identifierar vilka som är gemensamma för alla termer. Det räcker alltså inte att en faktor återfinns i två av termerna utan den måste finnas i alla om den ska brytas ut.

Vi ser att 2, 3 och a är faktorer som finns i alla tre termer och dessa kan brytas ut. Men kombinationer av dessa kan också brytas ut: 2 * a=2a, 2* 3=6, 3 * a=3a, 2 * 3 * a=6a Svaret är alltså att faktorerna 2, 3, a, 2a, 6, 3a och 6a kan brytas ut ur uttrycket.

Vi gör samma sak igen och delar upp termerna i faktorer.

Tittar vi i tabellen ser vi att det inte finns någon faktor som är gemensam för alla tre termer och därför kan vi inte bryta ut något ur uttrycket.

För att bryta ut den största möjliga faktorn delar vi upp samtliga termer i faktorer och identifierar vilka som är gemensamma. Produkten av dessa är den största möjliga utbrytbara faktorn.

7, x och y finns i alla termer så vi kan bryta ut 7xy.

Samma sak en gång till. Vi delar upp termerna i faktorer och identifierar de som är gemensamma för alla.

Den största gemensamma faktorn är alltså 4n.

Vi vet inte vilka tal som variablerna representerar så den minsta uppdelningen vi kan göra är att skriva uttrycket som en multiplikation av faktorer. c^2 delar vi upp till c* c. 1 abc^2=a\cdot b\cdot c\cdot c. }

Samma sak här. Det enda vi kan göra är att skriva uttrycket som en multiplikation av faktorer så vi får a^2bc=a * a* b* c.

Om det första uttrycket är tre gånger större än det andra kan vi ställa upp ekvationen a* b* c* c/a * a* b* c=3 Vi förenklar vänsterledet genom att förkorta så många faktorer vi kan.

Delar vi c med a får vi alltså kvoten 3. Detta innebär att värdet som c representerar måste vara tre gånger större än det värde som a representerar.

Vi kan t.ex. bryta ut faktorn 2 vilket gör att både första och sista termen inuti parentesen blir heltal: 2x^2+5x+10=2(x^2+ +5). Men hur blir det med mittentermen 5x? Multiplicerar vi in 2 i parentesen ska vi få 5x. Låt oss då kalla parentesens mittenterm för m och ställa upp ekvationen 2* m=5x. Vi löser ut m för att bestämma mittentermen.

Mittentermen ska vara 52x. Nu kan vi färdigställa faktoriseringen: 2(x^2+5/2x+5). På samma sätt skulle vi kunna bryta ut 5, vilket skulle ge heltal framför den andra och tredje termen innanför parentesen. Om man löser ut den första termen på samma sätt som ovan får vi att det faktoriserade uttrycket då blir 5(2/5x^2+x+2).

I högerledet har vi ett faktoriserat uttryck som ska vara lika med summan i vänsterledet. Vi ser att faktorn 4 finns i alla termer i vänsterledet, så vi bryter ut den så att även vänsterledet är faktoriserat.

Vänster- och högerledet har nu samma form vi kan identifiera vad A och B måste vara med inspektionsmetoden. A står utanför parentesen och måste därför vara lika med 4, medan B står innanför, vilket betyder att det är lika med 2. Svaret är alltså A = 4.

Högerledet är en produkt där den ena faktorn är 3. Kan vi bryta ut en trea i vänsterledet? Ja, 9, 12 och 21 ingår alla i treans multiplikationstabell.

Med inspektionsmetoden kan vi genom att jämföra termerna som har med x att göra samt konstanttermerna dra slutsatsen att A=-4

Vi går igenom alla faktorer som vi vet måste finnas i de två termerna. Om man kan bryta ut 2z måste faktorerna 2 och z finnas, och på samma sätt måste de innehålla y om även det går att bryta ut. Utöver dessa faktorer innehåller den första termen x^3 och den andra x^2. Multiplicerar vi dessa faktorer får vi det enklaste uttrycket som passar in på beskrivningen. Term1: 2 * z * y * x^3 Term1: 2 * z * y * x^2 Lägger vi ihop termerna och multiplicerar faktorerna får vi uttrycket 2zyx^3 + 2zyx^2.

Från tidigare vet vi att båda termerna har faktorerna 2, z och y gemensamt, men vi ser även att faktorn x^2 finns i båda. Vi kan alltså bryta ut faktorn 2 * z * y * x^2 = 2zyx^2.

Om vi utgår från det uttryck vi fick i första deluppgiften kan vi lägga till vilka faktorer vi vill till vilken term som helst och beskrivningen kommer fortfarande att stämma. Exempelvis går det fortfarande att bryta ut faktorerna och första och andra termen innehåller fortfarande x^3 respektive x^2 i 13* u * 2zyx^3 + 5 * v * 2zyx^2.