{{ 'ml-label-choose-chapter' | message }} {{ courseTrack.signature }} {{ 'ml-label-choose-course' | message }}

Regler för derivator

Välj kurs
( Matte 3b , Matte 3c )
Regler för derivator
Exponentiell förändringshastighet

Exponentiell förändringshastighet

{{ 'ml-heading-theory' | message }}
Förklaring

Tolka derivata av exponentialfunktioner

Exponentialfunktioner, dvs. funktioner på formen y=Caxellery=Cekx y=Ca^x \quad \text{eller} \quad y=Ce^{kx} används för att beskriva procentuella förändringar. Exponentialfunktioner är alltid monotona, dvs. endast växande eller avtagande. Det medför att derivatan av en exponentialfunktion aldrig byter tecken utan alltid är positiv eller negativ.

En växande exponentialfunktion f(x)f(x) kan exempelvis beskriva antalet kaniner efter ett antal veckor x.x. Den positiva derivatan f′(6)=120f'(6)=120 kan då tolkas som en förändringshastighet. Man säger att "efter 66 veckor ökar antalet kaniner med 120120 st./vecka." Eftersom antalet kaniner ständigt ökar kommer derivatan alltid vara positiv, dvs. det gäller att f′(x)>0 fr alla o¨x. f'(x) \gt 0 \text{ för alla } x. Den avtagande exponentialfunktionen g(x)g(x) nedan skulle på ett liknande sätt kunna beskriva temperaturen g(x)g(x) på avsvalnande kamomillte efter xx minuter.

Om t.ex. g′(2)=-9g'(2)=\text{-} 9 minskar temperaturen med 9∘C9\, ^\circ \text{C}/min då det har gått 22 minuter från det att mätningen startades. Eftersom temperaturen minskar hela tiden kommer derivatan att vara negativ för hela g(x),g(x), dvs.

g′(x)<0 fr alla o¨x. g'(x) \lt 0 \ \text{för alla } x.
Uppgift

Summan pengar på ett sparkonto ökar enligt exponentialfunktionen S(x)=4000⋅1.03x, S(x)=4000 \cdot 1.03^x, där S(x)S(x) är totala summan i kronor och xx är tiden i år efter insättningen. Beräkna S′(10)S'(10) och beskriv med ord vad du har beräknat.

Lösning

Derivatans värde

Vi börjar med att derivera exponentialfunktionen genom att multiplicera funktionen med den naturliga logaritmen av basen, dvs. med ln⁡(1.03).\ln(1.03).

S(x)=4000⋅1.03xS(x)=4000 \cdot 1.03^x
Derivera funktion
S′(x)=D(4000⋅1.03x)S'(x)=D\left(4000 \cdot 1.03^x\right)
D(C⋅ax)=C⋅ax⋅ln⁡(a)D\left( C\cdot a^x \right) = C\cdot a^x \cdot \ln(a)
S′(x)=4000⋅1.03x⋅ln⁡(1.03)S'(x)=4000\cdot 1.03^x \cdot \ln(1.03)

Nu har vi deriverat funktionen, så x=10x=10 kan sättas in i S′(x).S'(x).

S′(x)=4000⋅1.03x⋅ln⁡(1.03)S'(x)=4000\cdot 1.03^x \cdot \ln(1.03)
x=10x={\color{#0000FF}{10}}
S′(10)=4000⋅1.0310⋅ln⁡(1.03)S'({\color{#0000FF}{10}})=4000\cdot 1.03^{{\color{#0000FF}{10}}} \cdot \ln(1.03)
Slå in på räknare
S′(10)=158.89823…S'(10)=158.89823 \ldots
Avrunda till närmaste heltal
S′(10)≈159S'(10) \approx 159

Tolkning

Funktionen har en positiv derivata, 159,159, då x=10.x=10. En positiv derivata innebär en ökning vid en viss tidpunkt. Eftersom S(x)S(x) anger hur många kronor det finns på kontot och xx är antal år efter insättningen innebär S′(10)≈159 S'(10) \approx 159 att summan på kontot ökar med 159159 kr/år efter 1010 år.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

För en viss radioaktiv isotop av polonium kan mängden av ämnet beskrivas av funktionen N(t)=N0⋅e-0.0067t, N(t)=N_0\cdot e^{\text{-}0.0067t}, där N0N_0 är startmängden och tt är antalet år. Vad är den årliga procentuella förändringen?

Lösning

För att bestämma den procentuella förändringen behöver vi förändringsfaktorn. Om funktionen står på formen N(t)=N0⋅at, N(t)=N_0\cdot a^t, är aa förändringsfaktorn. Vi kan använda en av potenslagarna för att skriva om funktionen.

N(t)=N0⋅e-0.0067tN(t)=N_0\cdot e^{\text{-}0.0067t}
ab⋅c=(ab)c a^{b\cdot c}=\left(a^{b}\right)^{c}
N(t)=N0⋅(e-0.0067)tN(t)=N_0\cdot \left(e^{\text{-}0.0067}\right)^t
Slå in på räknare
N(t)≈N0⋅0.993tN(t)\approx N_0\cdot 0.993^t
Nu ser vi att förändringsfaktorn är cirka 0.993.0.993. Det motsvarar en minskning med 0.7%0.7\,\% per år.
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Följande grafer visar prognosen för befolkningsutvecklingen i några olika länder 8080 år framåt.

a

Vilka av graferna har en positiv respektive negativ derivata?

b

Vilka av länderna har en ökande respektive minskande befolkning?

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Värdet på en bil tt år efter inköpet kan beskrivas av V(t)=350000⋅e-0.31t. V(t)=350\,000\cdot e^{\text{-} 0.31t}.

a

Vad är bilen värd efter 55 år?

b

Bestäm V′(t).V'(t).

a

Hur snabbt minskar bilens värde efter 33 år?

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En kommuns befolkning PP ökar enligt funktionen P(x)=350000⋅1.032x, P(x)=350\,000 \cdot 1.032^x, där xx är antal år.

a

Bestäm P′(x).P'(x). Svara exakt.

b

Beräkna tillväxthastigheten efter 33 år.

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En stekare har satt in sitt arv på ett sparkonto. Han räknar med att pengarna kan beskrivas av funktionen K(t)=3.4⋅1.025t K(t)=3.4 \cdot 1.025^t där K(t)K(t) är kapitalet i miljoner kr tt år efter insättningen.

a

Hur mycket pengar finns på kontot efter 10 år?

b

Med hur många kr/år ökar pengarna efter 10 år?

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Temperaturen i en ugn som stängts av kan beskrivas med funktionen f(t)=225⋅0.88t, f(t)=225 \cdot 0.88^t, där f(t)f(t) är temperaturen i ∘C^\circ\text{C} tiden tt minuter efter att ugnen har stängts av.

a
Vad är den procentuella temperaturminskningen per minut?
b
Vad är den procentuella temperaturminskningen efter 2020 minuter?
c
Vilken är temperaturens förändringshastighet efter tt minuter i enheten ∘C/min^\circ\text{C}/\text{min}?
d
Vilken är temperaturens förändringshastighet efter 2020 minuter i enheten ∘C/min^\circ\text{C}/\text{min}?
1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Aktieanalytikern Gordon har tagit fram en exponentialfunktion som beskriver hur ett företags aktiepris PP har förändrats efter tt månader. Prisets förändringshastighet beskrivs av derivatan P′(t)=-5.437⋅0.9t. P'(t)=\text{-} 5.437\cdot 0.9^t.

a

Bestäm aktieprisets procentuella förändring.

b

Bestäm aktieprisets startvärde. Avrunda till 11 decimal.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En myrstack har vid en viss tidpunkt en population på 110000110\,000 myror och växer med 0.20%0.20 \, \% varje dag.

a

Ställ upp en funktion P(t)P(t) som visar antalet myror i myrstacken efter tt dagar.

b

Beräkna och tolka P(100).P(100).

c

Beräkna och tolka P′(100).P'(100).

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I en bakterieodling kan antalet bakterier beskrivas med formeln f(t)=500⋅e1.1t, f(t)=500\cdot e^{1.1t}, där tt är tiden i timmar.

a

Hur många bakterier finns i odlingen efter 1010 timmar? Svara med en värdesiffra.

b

När växer antalet bakterier med 22 miljoner bakterier per timme? Avrunda svaret till en decimal.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I kommunen Bokvik kan invånartalet beskrivas av formeln f(x)=4900⋅e0.00995x, f(x)=4900\cdot e^{0.00995x}, där xx är antalet år efter år 3000.

a

Beräkna f′(40).f'(40).

b

När ökar befolkningen med 6262 personer/år?

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Är exponentialfunktionerna växande eller avtagande?

a

y=85⋅0.7xy = 85\cdot 0.7^x

b

y=500⋅e0.1xy = 500\cdot e^{0.1x}

c

y=4.8⋅e-0.02xy = 4.8\cdot e^{\text{-} 0.02x}

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Jerry spenderar varje vecka 500500 kr på den anrika nattklubben Kafé Såpopera. Hans kompisar är oroliga över Jerrys prioriteringar. Tillsammans pratar de med Jerry och kommer fram till att han gradvis ska förändra sina utgifter enligt funktionen f(t)=500⋅e0.05t,f(t)=500\cdot e^{0.05t}, där tt är tiden i veckor.

a
Är funktionen växande eller avtagande?
b
Tolka f(2)=553f(2)=553
c
Tolka f′(5)=32.1f'(5)=32.1
d
Betyder f′(5)=32.1f'(5)=32.1 att Jerry ökade sina kostnader med 32.132.1 kr mellan vecka 44 och 5?5?
Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Karolina häller upp en kopp kaffe i ett rum där temperaturen är 2020 ∘C^\circ\text{C}. Hon mäter kaffets temperatur direkt och därefter varje minut under de första 55 minuterna. Karolina anpassar sedan en matematisk modell till sina mätvärden: T(t)=95⋅e-0.039t, T(t)=95\cdot e^{\text{-}0.039t}, där TT är kaffets temperatur i ∘C^\circ \text{C} och tt är tiden i minuter efter att Karolina startade sin mätning av temperaturen.

a

Bestäm temperaturen hos kaffet då Karolina startade sin mätning.

b

Bestäm med hur många procent temperaturen hos kaffet minskar per minut.

c

Karolinas modell stämmer väl överens med verkligheten i början. Utvärdera hur väl hennes modell stämmer överens med verkligheten över tid.

Nationella provet HT12 3b/3c
3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Halveringstid är ett begrepp som bland annat används i samband med radioaktiva preparat. Det är den tiden det tar tills hälften av ämnet finns kvar. Den radioaktiva isotopen kalium-3838 har halveringstiden 7.6367.636 minuter.

a

Ställ upp en exponentialfunktion, y(t)y(t), med basen ee som beskriver mängden av ämnet i gram efter tt minuter. Anta att man startar med CC gram kalium-3838.

b

Hur snabbt minskar mängden kalium-3838 efter 33 halveringstider om man startar med 1515 g?

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Halveringstid är ett begrepp som bland annat används i samband med radioaktiva preparat. Det är den tiden det tar tills hälften av ämnet finns kvar. Den radioaktiva isotopen kalium-3838 har halveringstiden 7.6367.636 minuter.

a

Ställ upp en exponentialfunktion, y(t),y(t), med basen ee som beskriver mängden av ämnet i gram efter tt minuter. Anta att man startar med CC gram kalium-3838.

b

Hur snabbt minskar mängden kalium-3838 efter 33 halveringstider om man startar med 15 g?15 \text{ g}?

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Emma köper en 55 år gammal bil av Josephine. Bilen blir vid detta tillfälle värderad till 4500045\,000 kr. Tre år senare säljer Emma bilen, som då blir värderad till 2200022\,000 kr. Bilens värdeminskning är exponentiell.

a

När Josephine får höra detta säger hon "Du borde sålt den mycket dyrare! När den var ny köpte jag den för 400000400\,000 kr!" Talar hon sanning om inköpspriset? Motivera.

b

Josephine påstår också att det hade varit bättre att sälja den senare eftersom värdeminskningen är mindre då. "Värdeminskningen hade varit nästan 20002000 kr lägre per år om du sålt den när den var 1010 år gammal." Stämmer hennes påstående? Motivera.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace {{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}