mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
Expandera meny menu_open Minimera
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open
Regler för derivator

Exponentiell förändringshastighet

Förklaring

Tolka derivata av exponentialfunktioner

Exponentialfunktioner, dvs. funktioner på formen används för att beskriva procentuella förändringar. Exponentialfunktioner är alltid monotona, dvs. endast växande eller avtagande. Det medför att derivatan av en exponentialfunktion aldrig byter tecken utan alltid är positiv eller negativ.

En växande exponentialfunktion kan exempelvis beskriva antalet kaniner efter ett antal veckor Den positiva derivatan kan då tolkas som en förändringshastighet. Man säger att "efter veckor ökar antalet kaniner med st./vecka." Eftersom antalet kaniner ständigt ökar kommer derivatan alltid vara positiv, dvs. det gäller att Den avtagande exponentialfunktionen nedan skulle på ett liknande sätt kunna beskriva temperaturen på avsvalnande kamomillte efter minuter.

Om t.ex. minskar temperaturen med /min då det har gått minuter från det att mätningen startades. Eftersom temperaturen minskar hela tiden kommer derivatan att vara negativ för hela dvs.

fullscreen
Uppgift

Summan pengar på ett sparkonto ökar enligt exponentialfunktionen där är totala summan i kronor och är tiden i år efter insättningen. Beräkna och beskriv med ord vad du har beräknat.

Visa Lösning
Lösning

Derivatans värde

Vi börjar med att derivera exponentialfunktionen genom att multiplicera funktionen med den naturliga logaritmen av basen, dvs. med

Nu har vi deriverat funktionen, så kan sättas in i

Tolkning

Funktionen har en positiv derivata, En positiv derivata innebär en ökning vid en viss tidpunkt. Eftersom anger hur många kronor det finns på kontot och är antal år efter insättningen innebär att summan på kontot ökar med kr/år efter år.

fullscreen
Uppgift

För en viss radioaktiv isotop av polonium kan mängden av ämnet beskrivas av funktionen där är startmängden och är antalet år. Vad är den årliga procentuella förändringen?

Visa Lösning
Lösning

För att bestämma den procentuella förändringen behöver vi förändringsfaktorn. Om funktionen står på formen är förändringsfaktorn. Vi kan använda en av potenslagarna för att skriva om funktionen.

Nu ser vi att förändringsfaktorn är cirka Det motsvarar en minskning med per år.
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward