Exponentiell förändringshastighet

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Förklaring

Tolka derivata av exponentialfunktioner

Exponentialfunktioner, dvs. funktioner på formen y=Caxellery=Cekx y=Ca^x \quad \text{eller} \quad y=Ce^{kx} används för att beskriva procentuella förändringar. Exponentialfunktioner är alltid monotona, dvs. endast växande eller avtagande. Det medför att derivatan av en exponentialfunktion aldrig byter tecken utan alltid är positiv eller negativ.

En växande exponentialfunktion f(x)f(x) kan exempelvis beskriva antalet kaniner efter ett antal veckor x.x. Den positiva derivatan f(6)=120f'(6)=120 kan då tolkas som en förändringshastighet. Man säger att "efter 66 veckor ökar antalet kaniner med 120120 st./vecka." Eftersom antalet kaniner ständigt ökar kommer derivatan alltid vara positiv, dvs. det gäller att f(x)>0 fr alla o¨x. f'(x) \gt 0 \text{ för alla } x. Den avtagande exponentialfunktionen g(x)g(x) nedan skulle på ett liknande sätt kunna beskriva temperaturen g(x)g(x) på avsvalnande kamomillte efter xx minuter.

Om t.ex. g(2)=-9g'(2)=\text{-} 9 minskar temperaturen med 9C9\, ^\circ \text{C}/min då det har gått 22 minuter från det att mätningen startades. Eftersom temperaturen minskar hela tiden kommer derivatan att vara negativ för hela g(x),g(x), dvs.

g(x)<0 fr alla o¨x. g'(x) \lt 0 \ \text{för alla } x.
Uppgift

Summan pengar på ett sparkonto ökar enligt exponentialfunktionen S(x)=40001.03x, S(x)=4000 \cdot 1.03^x, där S(x)S(x) är totala summan i kronor och xx är tiden i år efter insättningen. Beräkna S(10)S'(10) och beskriv med ord vad du har beräknat.

Lösning

Derivatans värde

Vi börjar med att derivera exponentialfunktionen genom att multiplicera funktionen med den naturliga logaritmen av basen, dvs. med ln(1.03).\ln(1.03).

S(x)=40001.03xS(x)=4000 \cdot 1.03^x
S(x)=D(40001.03x)S'(x)=D\left(4000 \cdot 1.03^x\right)
D(Cax)=Caxln(a)D\left( C\cdot a^x \right) = C\cdot a^x \cdot \ln(a)
S(x)=40001.03xln(1.03)S'(x)=4000\cdot 1.03^x \cdot \ln(1.03)

Nu har vi deriverat funktionen, så x=10x=10 kan sättas in i S(x).S'(x).

S(x)=40001.03xln(1.03)S'(x)=4000\cdot 1.03^x \cdot \ln(1.03)
S(10)=40001.0310ln(1.03)S'({\color{#0000FF}{10}})=4000\cdot 1.03^{{\color{#0000FF}{10}}} \cdot \ln(1.03)
S(10)=158.89823S'(10)=158.89823 \ldots
Avrunda till närmaste heltal
S(10)159S'(10) \approx 159

Tolkning

Funktionen har en positiv derivata, 159,159,x=10.x=10. En positiv derivata innebär en ökning vid en viss tidpunkt. Eftersom S(x)S(x) anger hur många kronor det finns på kontot och xx är antal år efter insättningen innebär S(10)159 S'(10) \approx 159 att summan på kontot ökar med 159159 kr/år efter 1010 år.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

För en viss radioaktiv isotop av polonium kan mängden av ämnet beskrivas av funktionen N(t)=N0e-0.0067t, N(t)=N_0\cdot e^{\text{-}0.0067t}, där N0N_0 är startmängden och tt är antalet år. Vad är den årliga procentuella förändringen?

Lösning

För att bestämma den procentuella förändringen behöver vi förändringsfaktorn. Om funktionen står på formen N(t)=N0at, N(t)=N_0\cdot a^t, är aa förändringsfaktorn. Vi kan använda en av potenslagarna för att skriva om funktionen.

N(t)=N0e-0.0067tN(t)=N_0\cdot e^{\text{-}0.0067t}
abc=(ab)c a^{b\cdot c}=\left(a^{b}\right)^{c}
N(t)=N0(e-0.0067)tN(t)=N_0\cdot \left(e^{\text{-}0.0067}\right)^t
N(t)N00.993tN(t)\approx N_0\cdot 0.993^t
Nu ser vi att förändringsfaktorn är cirka 0.993.0.993. Det motsvarar en minskning med 0.7%0.7\,\% per år.
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}