Exponentiell förändringshastighet

Följande grafer visar prognosen för befolkningsutvecklingen i några olika länder $80$ år framåt.

Vilka av graferna har en positiv respektive negativ derivata?

Vilka av länderna har en ökande respektive minskande befolkning?

Värdet på en bil $t$ år efter inköpet kan beskrivas av $V(t)=350\,000\cdot e^{\text{-} 0.31t}.$

Vad är bilen värd efter $5$ år?

Bestäm $V'(t).$

Hur snabbt minskar bilens värde efter $3$ år?

En kommuns befolkning $P$ ökar enligt funktionen $P(x)=350\,000 \cdot 1.032^x,$ där $x$ är antal år.

Bestäm $P'(x).$ Svara exakt.

Beräkna tillväxthastigheten efter $3$ år.

En stekare har satt in sitt arv på ett sparkonto. Han räknar med att pengarna kan beskrivas av funktionen $K(t)=3.4 \cdot 1.025^t$ där $K(t)$ är kapitalet i miljoner kr $t$ år efter insättningen.

Hur mycket pengar finns på kontot efter 10 år?

Med hur många kr/år ökar pengarna efter 10 år?

Temperaturen i en ugn som stängts av kan beskrivas med funktionen $f(t)=225 \cdot 0.88^t,$ där $f(t)$ är temperaturen i $^\circ\text{C}$ tiden $t$ minuter efter att ugnen har stängts av.

Vad är den procentuella temperaturminskningen per minut? Vad är den procentuella temperaturminskningen efter $20$ minuter? Vilken är temperaturens förändringshastighet efter $t$ minuter i enheten $^\circ\text{C}/\text{min}$? Vilken är temperaturens förändringshastighet efter $20$ minuter i enheten $^\circ\text{C}/\text{min}$?

Aktieanalytikern Gordon har tagit fram en exponentialfunktion som beskriver hur ett företags aktiepris $P$ har förändrats efter $t$ månader. Prisets förändringshastighet beskrivs av derivatan $P'(t)=\text{-} 5.437\cdot 0.9^t.$

Bestäm aktieprisets procentuella förändring.

Bestäm aktieprisets startvärde. Avrunda till $1$ decimal.

En myrstack har vid en viss tidpunkt en population på $110\,000$ myror och växer med $0.20 \, \%$ varje dag.

Ställ upp en funktion $P(t)$ som visar antalet myror i myrstacken efter $t$ dagar.

Beräkna och tolka $P(100).$

Beräkna och tolka $P'(100).$

I en bakterieodling kan antalet bakterier beskrivas med formeln $f(t)=500\cdot e^{1.1t},$ där $t$ är tiden i timmar.

Hur många bakterier finns i odlingen efter $10$ timmar? Svara med en värdesiffra.

När växer antalet bakterier med $2$ miljoner bakterier per timme? Avrunda svaret till en decimal.

I kommunen Bokvik kan invånartalet beskrivas av formeln $f(x)=4900\cdot e^{0.00995x},$ där $x$ är antalet år efter år 3000.

Beräkna $f'(40).$

När ökar befolkningen med $62$ personer/år?

Är exponentialfunktionerna växande eller avtagande?

$y = 85\cdot 0.7^x$

$y = 500\cdot e^{0.1x}$

$y = 4.8\cdot e^{\text{-} 0.02x}$

Jerry spenderar varje vecka $500$ kr på den anrika nattklubben Kafé Såpopera. Hans kompisar är oroliga över Jerrys prioriteringar. Tillsammans pratar de med Jerry och kommer fram till att han gradvis ska förändra sina utgifter enligt funktionen $f(t)=500\cdot e^{0.05t},$ där $t$ är tiden i veckor.

Är funktionen växande eller avtagande? Tolka $f(2)=553$ Tolka $f'(5)=32.1$ Betyder $f'(5)=32.1$ att Jerry ökade sina kostnader med $32.1$ kr mellan vecka $4$ och $5?$

Karolina häller upp en kopp kaffe i ett rum där temperaturen är $20$ $^\circ\text{C}$. Hon mäter kaffets temperatur direkt och därefter varje minut under de första $5$ minuterna. Karolina anpassar sedan en matematisk modell till sina mätvärden: $T(t)=95\cdot e^{\text{-}0.039t},$ där $T$ är kaffets temperatur i $^\circ \text{C}$ och $t$ är tiden i minuter efter att Karolina startade sin mätning av temperaturen.

Bestäm temperaturen hos kaffet då Karolina startade sin mätning.

Bestäm med hur många procent temperaturen hos kaffet minskar per minut.

Karolinas modell stämmer väl överens med verkligheten i början. Utvärdera hur väl hennes modell stämmer överens med verkligheten över tid.

Halveringstid är ett begrepp som bland annat används i samband med radioaktiva preparat. Det är den tiden det tar tills hälften av ämnet finns kvar. Den radioaktiva isotopen kalium-$38$ har halveringstiden $7.636$ minuter.

Ställ upp en exponentialfunktion, $y(t)$, med basen $e$ som beskriver mängden av ämnet i gram efter $t$ minuter. Anta att man startar med $C$ gram kalium-$38$.

Hur snabbt minskar mängden kalium-$38$ efter $3$ halveringstider om man startar med $15$ g?

Halveringstid är ett begrepp som bland annat används i samband med radioaktiva preparat. Det är den tiden det tar tills hälften av ämnet finns kvar. Den radioaktiva isotopen kalium-$38$ har halveringstiden $7.636$ minuter.

Ställ upp en exponentialfunktion, $y(t),$ med basen $e$ som beskriver mängden av ämnet i gram efter $t$ minuter. Anta att man startar med $C$ gram kalium-$38$.

Hur snabbt minskar mängden kalium-$38$ efter $3$ halveringstider om man startar med $15 \text{ g}?$

Emma köper en $5$ år gammal bil av Josephine. Bilen blir vid detta tillfälle värderad till $45\,000$ kr. Tre år senare säljer Emma bilen, som då blir värderad till $22\,000$ kr. Bilens värdeminskning är exponentiell.

När Josephine får höra detta säger hon "Du borde sålt den mycket dyrare! När den var ny köpte jag den för $400\,000$ kr!" Talar hon sanning om inköpspriset? Motivera.

Josephine påstår också att det hade varit bättre att sälja den senare eftersom värdeminskningen är mindre då. "Värdeminskningen hade varit nästan $2000$ kr lägre per år om du sålt den när den var $10$ år gammal." Stämmer hennes påstående? Motivera.