Exponentiell förändringshastighet

Exponentialfunktioner, dvs. funktioner på formen $y=Ca^x \quad \text{eller} \quad y=Ce^{kx}$ används för att beskriva procentuella förändringar. Exponentialfunktioner är alltid monotona, dvs. endast växande eller avtagande. Det medför att derivatan av en exponentialfunktion aldrig byter tecken utan alltid är positiv eller negativ.

En växande exponentialfunktion $f(x)$ kan exempelvis beskriva antalet kaniner efter ett antal veckor $x.$ Den positiva derivatan $f'(6)=120$ kan då tolkas som en förändringshastighet. Man säger att "efter $6$ veckor ökar antalet kaniner med $120$ st./vecka." Eftersom antalet kaniner ständigt ökar kommer derivatan alltid vara positiv, dvs. det gäller att $f'(x) \gt 0 \text{ för alla } x.$ Den avtagande exponentialfunktionen $g(x)$ nedan skulle på ett liknande sätt kunna beskriva temperaturen $g(x)$ på avsvalnande kamomillte efter $x$ minuter.

Om t.ex. $g'(2)=\text{-} 9$ minskar temperaturen med $9\, ^\circ \text{C}$/min då det har gått $2$ minuter från det att mätningen startades. Eftersom temperaturen minskar hela tiden kommer derivatan att vara negativ för hela $g(x),$ dvs.