Exponentialfunktioner, dvs. funktioner på formen y=Caxellery=Cekx används för att beskriva procentuella förändringar. Exponentialfunktioner är alltid monotona, dvs. endast växande eller avtagande. Det medför att derivatan av en exponentialfunktion aldrig byter tecken utan alltid är positiv eller negativ.
En växande exponentialfunktion f(x) kan exempelvis beskriva antalet kaniner efter ett antal veckor x. Den positiva derivatan f′(6)=120 kan då tolkas som en förändringshastighet. Man säger att "efter 6 veckor ökar antalet kaniner med 120 st./vecka." Eftersom antalet kaniner ständigt ökar kommer derivatan alltid vara positiv, dvs. det gäller att f′(x)>0 fo¨r alla x. Den avtagande exponentialfunktionen g(x) nedan skulle på ett liknande sätt kunna beskriva temperaturen g(x) på avsvalnande kamomillte efter x minuter.
Om t.ex. g′(2)=-9 minskar temperaturen med 9∘C/min då det har gått 2 minuter från det att mätningen startades. Eftersom temperaturen minskar hela tiden kommer derivatan att vara negativ för hela g(x), dvs.
g′(x)<0 fo¨r alla x.Summan pengar på ett sparkonto ökar enligt exponentialfunktionen S(x)=4000⋅1.03x, där S(x) är totala summan i kronor och x är tiden i år efter insättningen. Beräkna S′(10) och beskriv med ord vad du har beräknat.
Vi börjar med att derivera exponentialfunktionen genom att multiplicera funktionen med den naturliga logaritmen av basen, dvs. med ln(1.03).
Nu har vi deriverat funktionen, så x=10 kan sättas in i S′(x).
Funktionen har en positiv derivata, 159, då x=10. En positiv derivata innebär en ökning vid en viss tidpunkt. Eftersom S(x) anger hur många kronor det finns på kontot och x är antal år efter insättningen innebär S′(10)≈159 att summan på kontot ökar med 159 kr/år efter 10 år.
För en viss radioaktiv isotop av polonium kan mängden av ämnet beskrivas av funktionen N(t)=N0⋅e-0.0067t, där N0 är startmängden och t är antalet år. Vad är den årliga procentuella förändringen?
För att bestämma den procentuella förändringen behöver vi förändringsfaktorn. Om funktionen står på formen N(t)=N0⋅at, är a förändringsfaktorn. Vi kan använda en av potenslagarna för att skriva om funktionen.