Exponentiell förändringshastighet

Förklaring

Tolka derivata av exponentialfunktioner

Exponentialfunktioner, dvs. funktioner på formen $y = C a^{x} eller y = C e^{k x}$ används för att beskriva procentuella förändringar. Exponentialfunktioner är alltid monotona, dvs. endast växande eller avtagande. Det medför att derivatan av en exponentialfunktion aldrig byter tecken utan alltid är positiv eller negativ.

En växande exponentialfunktion $f (x)$ kan exempelvis beskriva antalet kaniner efter ett antal veckor $x .$ Den positiva derivatan $f^{'} (6) = 120$ kan då tolkas som en förändringshastighet. Man säger att "efter $6$ veckor ökar antalet kaniner med $120$ st./vecka." Eftersom antalet kaniner ständigt ökar kommer derivatan alltid vara positiv, dvs. det gäller att $f^{'} (x) > 0 f \ddot{o} r alla x .$ Den avtagande exponentialfunktionen $g (x)$ nedan skulle på ett liknande sätt kunna beskriva temperaturen $g (x)$ på avsvalnande kamomillte efter $x$ minuter.

Om t.ex. $g^{'} (2) = - 9$ minskar temperaturen med $9^{\circ} C$ /min då det har gått $2$ minuter från det att mätningen startades. Eftersom temperaturen minskar hela tiden kommer derivatan att vara negativ för hela $g (x),$ dvs.

g^{'} (x) < 0 f \ddot{o} r alla x .

Tolka derivatan av exponentialfunktionen

fullscreen

Uppgift

Summan pengar på ett sparkonto ökar enligt exponentialfunktionen $S (x) = 4000 \cdot 1.0 3^{x},$ där $S (x)$ är totala summan i kronor och $x$ är tiden i år efter insättningen. Beräkna $S^{'} (10)$ och beskriv med ord vad du har beräknat.

Visa Lösning

Lösning

Derivatans värde

Vi börjar med att derivera exponentialfunktionen genom att multiplicera funktionen med den naturliga logaritmen av basen, dvs. med $ln (1.03) .$

S (x) = 4000 \cdot 1.0 3^{x}

DeriveDerivera funktion

S^{'} (x) = D (4000 \cdot 1.0 3^{x})

DeriveExpInitial

D (C \cdot a^{x}) = C \cdot a^{x} \cdot ln (a)

S^{'} (x) = 4000 \cdot 1.0 3^{x} \cdot ln (1.03)

Nu har vi deriverat funktionen, så $x = 10$ kan sättas in i $S^{'} (x) .$

S^{'} (x) = 4000 \cdot 1.0 3^{x} \cdot ln (1.03)

Substitute

x = 10

S^{'} (10) = 4000 \cdot 1.0 3^{10} \cdot ln (1.03)

UseCalcSlå in på räknare

S^{'} (10) = 158.89823 \dots

RoundIntAvrunda till närmaste heltal

S^{'} (10) \approx 159

Tolkning

Funktionen har en positiv derivata, $159,$ då $x = 10 .$ En positiv derivata innebär en ökning vid en viss tidpunkt. Eftersom $S (x)$ anger hur många kronor det finns på kontot och $x$ är antal år efter insättningen innebär $S^{'} (10) \approx 159$ att summan på kontot ökar med $159$ kr/år efter $10$ år.

Bestäm den procentuella förändringen för en exponentialfunktion med basen $e$

fullscreen

Uppgift

För en viss radioaktiv isotop av polonium kan mängden av ämnet beskrivas av funktionen $N (t) = N_{0} \cdot e^{- 0.0067 t},$ där $N_{0}$ är startmängden och $t$ är antalet år. Vad är den årliga procentuella förändringen?

Visa Lösning

Lösning

För att bestämma den procentuella förändringen behöver vi förändringsfaktorn. Om funktionen står på formen $N (t) = N_{0} \cdot a^{t},$ är $a$ förändringsfaktorn. Vi kan använda en av potenslagarna för att skriva om funktionen.

N (t) = N_{0} \cdot e^{- 0.0067 t}

ProdInExponent

a^{b \cdot c} = (a^{b})^{c}

N (t) = N_{0} \cdot (e^{- 0.0067})^{t}

UseCalcSlå in på räknare

N (t) \approx N_{0} \cdot 0.99 3^{t}

Nu ser vi att förändringsfaktorn är cirka

0.993 .

Det motsvarar en minskning med

0.7 %

per år.

Exponentiell förändringshastighet

Tolka derivata av exponentialfunktioner

Exempel

Tolka derivatan av exponentialfunktionen

Derivatans värde

Tolkning

Exempel

Bestäm den procentuella förändringen för en exponentialfunktion med basen $e$

Exempel

Tolka derivatan av exponentialfunktionen

Derivatans värde

Tolkning

Exempel

Bestäm den procentuella förändringen för en exponentialfunktion med basen e

Bestäm den procentuella förändringen för en exponentialfunktion med basen $e$