Expandera meny menu_open Minimera Gå till startsidan home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu
{{ courseTrack.displayTitle }} {{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
search Använd offline Verktyg apps
Digitala verktyg Grafräknare Geometri 3D Grafritare Geogebra Classic Mathleaks Kalkylator Kodfönster
Kurs & Bok Jämför mattebok Studieläge Avsluta studieläge Skriv ut kurs
Handledning Videohandledningar Formelsamling

Videohandledningar

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

play_circle_outline
Studera med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

play_circle_outline
Verktyg för elever & lärare

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

play_circle_outline

Formelsamling

Formelsamlingar för mattekurser looks_one

Kurs 1

looks_two

Kurs 2

looks_3

Kurs 3

looks_4

Kurs 4

looks_5

Kurs 5

Logga in account_circle menu_open

Exponentiell förändringshastighet

Förklaring

Tolka derivata av exponentialfunktioner

Exponentialfunktioner, dvs. funktioner på formen y=Caxellery=Cekx y=Ca^x \quad \text{eller} \quad y=Ce^{kx} används för att beskriva procentuella förändringar. Exponentialfunktioner är alltid monotona, dvs. endast växande eller avtagande. Det medför att derivatan av en exponentialfunktion aldrig byter tecken utan alltid är positiv eller negativ.

En växande exponentialfunktion f(x)f(x) kan exempelvis beskriva antalet kaniner efter ett antal veckor x.x. Den positiva derivatan f(6)=120f'(6)=120 kan då tolkas som en förändringshastighet. Man säger att "efter 66 veckor ökar antalet kaniner med 120120 st./vecka." Eftersom antalet kaniner ständigt ökar kommer derivatan alltid vara positiv, dvs. det gäller att f(x)>0 fo¨r alla x. f'(x) \gt 0 \text{ för alla } x. Den avtagande exponentialfunktionen g(x)g(x) nedan skulle på ett liknande sätt kunna beskriva temperaturen g(x)g(x) på avsvalnande kamomillte efter xx minuter.

Om t.ex. g(2)=-9g'(2)=\text{-} 9 minskar temperaturen med 9C9\, ^\circ \text{C}/min då det har gått 22 minuter från det att mätningen startades. Eftersom temperaturen minskar hela tiden kommer derivatan att vara negativ för hela g(x),g(x), dvs.

g(x)<0 fo¨r alla x. g'(x) \lt 0 \ \text{för alla } x.
Uppgift

Summan pengar på ett sparkonto ökar enligt exponentialfunktionen S(x)=40001.03x, S(x)=4000 \cdot 1.03^x, där S(x)S(x) är totala summan i kronor och xx är tiden i år efter insättningen. Beräkna S(10)S'(10) och beskriv med ord vad du har beräknat.

Lösning

Derivatans värde

Vi börjar med att derivera exponentialfunktionen genom att multiplicera funktionen med den naturliga logaritmen av basen, dvs. med ln(1.03).\ln(1.03).

S(x)=40001.03xS(x)=4000 \cdot 1.03^x
S(x)=D(40001.03x)S'(x)=D\left(4000 \cdot 1.03^x\right)
S(x)=40001.03xln(1.03)S'(x)=4000\cdot 1.03^x \cdot \ln(1.03)

Nu har vi deriverat funktionen, så x=10x=10 kan sättas in i S(x).S'(x).

S(x)=40001.03xln(1.03)S'(x)=4000\cdot 1.03^x \cdot \ln(1.03)
S(10)=40001.0310ln(1.03)S'({\color{#0000FF}{10}})=4000\cdot 1.03^{{\color{#0000FF}{10}}} \cdot \ln(1.03)
S(10)=158.89823S'(10)=158.89823 \ldots
S(10)159S'(10) \approx 159

Tolkning

Funktionen har en positiv derivata, 159,159,x=10.x=10. En positiv derivata innebär en ökning vid en viss tidpunkt. Eftersom S(x)S(x) anger hur många kronor det finns på kontot och xx är antal år efter insättningen innebär S(10)159 S'(10) \approx 159 att summan på kontot ökar med 159159 kr/år efter 1010 år.

info Visa lösning Visa lösning
Uppgift

För en viss radioaktiv isotop av polonium kan mängden av ämnet beskrivas av funktionen N(t)=N0e-0.0067t, N(t)=N_0\cdot e^{\text{-}0.0067t}, där N0N_0 är startmängden och tt är antalet år. Vad är den årliga procentuella förändringen?

Lösning

För att bestämma den procentuella förändringen behöver vi förändringsfaktorn. Om funktionen står på formen N(t)=N0at, N(t)=N_0\cdot a^t, är aa förändringsfaktorn. Vi kan använda en av potenslagarna för att skriva om funktionen.

N(t)=N0e-0.0067tN(t)=N_0\cdot e^{\text{-}0.0067t}
N(t)=N0(e-0.0067)tN(t)=N_0\cdot \left(e^{\text{-}0.0067}\right)^t
N(t)N00.993tN(t)\approx N_0\cdot 0.993^t
Nu ser vi att förändringsfaktorn är cirka 0.993.0.993. Det motsvarar en minskning med 0.7%0.7\,\% per år.
info Visa lösning Visa lösning
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward