{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
arrow_left {{ state.menu.current.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
{{ "ml-topbar-info-01" | message }} {{ "ml-topbar-info-02" | message }} {{ "ml-topbar-info-03" | message }}
Mathleaks
Använd offline
Expandera meny menu_open
close expand
Regler för derivator

Exponentiell förändringshastighet

Förklaring

Tolka derivata av exponentialfunktioner

Exponentialfunktioner, dvs. funktioner på formen
används för att beskriva procentuella förändringar. Exponentialfunktioner är alltid monotona, dvs. endast växande eller avtagande. Det medför att derivatan av en exponentialfunktion aldrig byter tecken utan alltid är positiv eller negativ.
En växande exponentialfunktion f(x) kan exempelvis beskriva antalet kaniner efter ett antal veckor x. Den positiva derivatan kan då tolkas som en förändringshastighet. Man säger att "efter 6 veckor ökar antalet kaniner med 120 st./vecka." Eftersom antalet kaniner ständigt ökar kommer derivatan alltid vara positiv, dvs. det gäller att
Den avtagande exponentialfunktionen g(x) nedan skulle på ett liknande sätt kunna beskriva temperaturen g(x) på avsvalnande kamomillte efter x minuter.

Om t.ex. minskar temperaturen med /min då det har gått 2 minuter från det att mätningen startades. Eftersom temperaturen minskar hela tiden kommer derivatan att vara negativ för hela g(x), dvs.

Exempel

Tolka derivatan av exponentialfunktionen

fullscreen
Summan pengar på ett sparkonto ökar enligt exponentialfunktionen
där S(x) är totala summan i kronor och x är tiden i år efter insättningen. Beräkna och beskriv med ord vad du har beräknat.
Visa Lösning expand_more

Derivatans värde

Vi börjar med att derivera exponentialfunktionen genom att multiplicera funktionen med den naturliga logaritmen av basen, dvs. med

Nu har vi deriverat funktionen, så x=10 kan sättas in i

Tolkning

Funktionen har en positiv derivata, 159,x=10. En positiv derivata innebär en ökning vid en viss tidpunkt. Eftersom S(x) anger hur många kronor det finns på kontot och x är antal år efter insättningen innebär
att summan på kontot ökar med 159 kr/år efter 10 år.

Exempel

Bestäm den procentuella förändringen för en exponentialfunktion med basen e

fullscreen
För en viss radioaktiv isotop av polonium kan mängden av ämnet beskrivas av funktionen
där N0 är startmängden och t är antalet år. Vad är den årliga procentuella förändringen?
Visa Lösning expand_more
För att bestämma den procentuella förändringen behöver vi förändringsfaktorn. Om funktionen står på formen
är a förändringsfaktorn. Vi kan använda en av potenslagarna för att skriva om funktionen.
Nu ser vi att förändringsfaktorn är cirka 0.993. Det motsvarar en minskning med per år.
arrow_left
arrow_right
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward
arrow_left arrow_right
close
Community