Ekvationer

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

En ekvation är en likhet mellan två algebraiska uttryck där det finns minst en okänd variabel. Ett exempel på en ekvation är x+2=10, x + 2 = 10, där man satt ett likhetstecken mellan de två uttrycken x+2x + 2 och 10.10. Uttrycket som står till vänster kallas vänsterled (VL) och det som står till höger kallas högerled (HL). De värden som löser ekvationen, alltså de tal man kan sätta in istället för variabeln som gör att likheten stämmer, kallas rötter. Roten till exemplet ovan är x=8,x = 8, eftersom 8+2=10, {\color{#0000FF}{8}} + 2 = 10,

vilket gör att både vänster- och högerledet är 10.10. Det finns många olika metoder för att lösa ekvationer, t.ex. balansmetoden och inspektionsmetoden.
Uppgift

Maria har köpt 88 bullar som hon och kollegan Henrik äter upp under en eftermiddag. Henrik är hungrig så han äter tre gånger så många bullar som Maria. Ställ upp en ekvation som beskriver antalet bullar som Henrik och Maria åt.

Lösning

Vi kallar antalet bullar som Maria åt för x.x. Henrik åt 33 gånger fler, vilket kan uttryckas som 3x.3x. Tillsammans åt de alltså x+3xx+3x bullar. Eftersom de tillsammans åt alla bullarna ska summan vara lika med 8.8. Vi får då ekvationen x+3x=8. x+3x=8.

Visa lösning Visa lösning
Metod

Balansmetoden

När man löser ekvationer med balansmetoden gör man likadana ändringar i ekvationens vänster- och högerled tills man får variabeln ensam i det ena eller det andra ledet. Eftersom man alltid gör samma sak i båda led, t.ex. lägger till 77 eller delar med 2,2, håller man balansen mellan dem, vilket ger metoden dess namn. Om man exempelvis ska lösa ekvationen x+2=10 x + 2 = 10 vill man få variabeln xx ensam i vänsterledet. För att bli av med tvåan som finns där använder man motsatt räknesätt, alltså subtraktion, och drar bort 2.2. Detta måste göras på båda sidor av likhetstecknet för att bibehålla likheten. Då får man x+22=102. x + 2 - 2 = 10 - 2. Tvåorna i vänsterledet tar ut varandra och högerledet kan förenklas till 8.8. Ekvationen är då löst eftersom variabeln xx nu står ensam i vänsterledet: x=8. x = 8. På samma sätt adderar man tal på båda sidor av en ekvation för att bli av med något negativt. Multiplikation och division är också motsatta räknesätt, så om man har en variabel som är multiplicerad eller dividerad med något kan man använda motsatsen för att frigöra variabeln.

Balansmetoden rules.svg
När man löser mer komplicerade ekvationer måste man oftast använda flera räknesätt. Då flyttar man systematiskt över saker mellan leden och arbetar sig in mot variabeln. För vissa ändringar, t.ex. kvadrering, måste man vara försiktig, även om man gör samma ändringar i båda led, eftersom de kan ge upphov till falska eller borttappade rötter.
Uppgift

Lös ekvationen 8x+4=4x8.8x+4=4x-8.

Lösning
I den här ekvationen finns det termer med xx både i vänster- och högerledet. Då måste man börja med att flytta över dem till samma sida och förenkla så att det bara finns en variabelterm kvar. Vi börjar med att subtrahera 4x4x på båda sidor för att bli av med den termen i högerledet.
8x+4=4x88x+4=4x-8
8x+44x=4x84x8x+4-4x=4x-8-4x
4x+4=-84x+4=\text{-} 8
Nu finns det bara en xx-term kvar i ekvationen och vi kan nu fortsätta med att lösa ut x.x.
4x+4=-84x+4=\text{-} 8
4x+44=-844x+4-4=\text{-}8-4
4x=-124x=\text{-} 12
4x4=-124\dfrac{4x}{4}=\dfrac{\text{-} 12}{4}
x=-3x=\text{-} 3
Ekvationen har alltså roten -3.\text{-}3.
Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Lös ekvationen x3+715=35.\dfrac{x}{3} + \dfrac{7}{15} = \dfrac{3}{5}. Svara med ett bråk.

Lösning
Vi börjar med att subtrahera 715\frac{7}{15} från båda led och förenklar därefter differensen i högerledet.
x3+715=35\dfrac{x}{3} + \dfrac{7}{15} = \dfrac{3}{5}
x3=35715\dfrac{x}{3} = \dfrac{3}{5}-\dfrac{7}{15}
x3=915715\dfrac{x}{3} = \dfrac{9}{15}-\dfrac{7}{15}
x3=9715\dfrac{x}{3} = \dfrac{9-7}{15}
x3=215\dfrac{x}{3} = \dfrac{2}{15}
Nu multiplicerar vi båda led med 33 för att lösa ut xx i täljaren.
x3=215\dfrac{x}{3} = \dfrac{2}{15}
3x3=615\dfrac{3x}{3} = \dfrac{6}{15}
x=615x = \dfrac{6}{15}
x=25x = \dfrac{2}{5}
Ekvationens lösning är x=25.x = \frac{2}{5}.
Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Inspektionsmetoden

Vissa ekvationer där vänster- och högerledet har samma struktur går att lösa med inspektionsmetoden. Det är en metod som kan göra uppgifter som är svåra att lösa med balansmetoden mycket enklare, men det är inte alltid den går att använda. För att det ska gå måste de två leden vara tillräckligt lika, exempelvis som i ekvationen 3x5+7=32+7. 3^{x-5} + 7 = 3^{2} + 7. I det här fallet är vänster- och högerledet identiska så när som på exponenten till trean. För att likheten ska gälla måste det som står i exponenterna vara lika, så det går lika bra att lösa den enklare ekvationen x5=2. x - 5 = 2.

Namnet på metoden kommer från att man "inspekterar" de två leden och ser om det finns några likheter. Ibland kan det dock behövas några omskrivningar för att vänster- och högerledet faktiskt ska se så pass lika ut att inspektionsmetoden kan användas.
Begrepp

Prövning av rot

När man löst en ekvation kan det vara bra att pröva sin lösning för att vara säker på att man har räknat rätt. Det innebär att man ersätter variabeln i den ursprungliga ekvationen med lösningen och beräknar värdet av båda leden. Har ekvationen lösts korrekt ska vänster- och högerled bli lika stora, dvs. VL=HL.\text{VL}=\text{HL}. Nedan prövas en korrekt och en felaktig rot till ekvationen x=163x.x=16-3x. x=163xx=163x3=?16334=?16343=?1694=?1612374=4\begin{aligned} &x=16-3x \qquad && x=16-3x\\ &{\color{#0000FF}{3}}\stackrel{?}{=}16-3\cdot {\color{#0000FF}{3}} \qquad && {\color{#0000FF}{4}}\stackrel{?}{=}16-3\cdot {\color{#0000FF}{4}}\\ &3\stackrel{?}{=}16-9 \qquad && 4\stackrel{?}{=}16-12\\ &3\neq 7 \qquad && 4\stackrel{{\color{#009600}{\checkmark}}}{=}4 \end{aligned}

Blir höger- och vänsterled olika är det dock inte säkert att man har räknat fel. När man löser vissa typer av ekvationer, t.ex. rotekvationer, kan man få falska rötter. Att pröva sina lösningar är därför extra viktigt när man löser sådana ekvationer.
Uppgift
Uri har löst ekvationen 4(x+5)=324(x+5)=32 och fått roten x=3.x=3. Pröva lösningen och avgör om han har löst ekvationen korrekt.
Lösning
För att kontrollera lösningen sätter man in x=3x=3 i ursprungsekvationen och förenklar. Om likheten stämmer är roten korrekt!
4(x+5)=324(x+5)=32
4(3+5)=?324({\color{#0000FF}{3}}+5)\stackrel{?}{=}32
48=?324\cdot8\stackrel{?}{=}32
32=3232=32

Likheten är uppfylld, så x=3x=3 är en giltig rot. Uri har löst ekvationen rätt!

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Lös ekvationen 16x1=8.\dfrac{16}{x-1}=8.

Lösning
I en ekvation där variabeln sitter i nämnaren kan man skriva om ekvationen genom att multiplicera båda led med uttrycket som finns i nämnaren.
16x1=8\dfrac{16}{x-1}=8
16=8(x1)16=8(x-1)
16=8x816=8x-8
24=8x24=8x
8x=248x=24
x=3x=3
Ekvationen har alltså roten 3.3. När man löser ekvationer där en variabel står i nämnaren kan man ibland få så kallade falska rötter. Vi kontrollerar detta genom att sätta in lösningen i ursprungsekvationen och förenkla. Om vänster- och högerleden är lika stora är lösningen giltig.
16x1=8\dfrac{16}{x-1}=8
1631=?8\dfrac{16}{{\color{#0000FF}{3}}-1}\stackrel{?}{=}8
162=?8\dfrac{16}{2}\stackrel{?}{=}8
8=88=8
x=3x=3 är alltså en giltig lösning.
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}