Deriveringsregler för exponentialfunktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

En exponentialfunktion som står på formen f(x)=ax f(x)=a^x har i de flesta fall en derivata som inte är lika med funktionen själv. Det finns dock ett undantag och det är när funktionens bas är lika med talet ee, dvs. ungefär 2.72.2.72. Då är derivatan och funktionen samma för alla x.x. Den blå grafen visar funktionen f(x)=axf(x)=a^x medan den röda visar derivatan f(x).f'(x). Väljer man basen aa till ee ser man att funktionens och derivatans graf sammanfaller.

Regel

Derivatan av exe^x

Exponentialfunktionen f(x)=exf(x)=e^x är sin egen derivata.

Härledning

D(ex)=exD(e^x) = e^x
Regel

Derivatan av ekxe^{kx}

Derivatan av en exponentialfunktion på formen f(x)=ekxf(x)=e^{kx} är lika med funktionsuttrycket multiplicerat med koefficienten framför x.x.

Härledning

D(ekx)=kekxD\left(e^{kx}\right) = ke^{kx}
Uppgift

Derivera f(x)=exf(x)=e^x och g(x)=e6x.g(x)=e^{6x}.

Visa lösning Visa lösning
Regel

Derivatan av axa^x

Derivatan till exponentialfunktioner på formen f(x)=ax,f(x)=a^x, dvs. när aa är något annat än talet ee, är funktionsuttrycket multiplicerat med ln(a).\ln(a).

Härledning

D(ax)=axln(a)D\left(a^x \right) = a^x \cdot \ln(a)
Regel

Derivatan av akxa^{kx}

Funktioner på formen f(x)=akxf(x)=a^{kx} deriveras på nästan samma sätt som f(x)=ax.f(x)=a^x. Men utöver att multiplicera funktionsuttrycket med ln(a)\ln(a) multipliceras det även med koefficienten k.k.

Härledning

D(akx)=akxkln(a)D\left(a^{kx}\right) = a^{kx}\cdot k \cdot \ln(a)
Uppgift

Derivera f(x)=5xf(x)=5^x och g(x)=52x.g(x)=5^{2x}.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Derivera exponentialfunktionerna.

a

y(x)=exy(x)=e^x

b

f(x)=e2xf(x)=e^{2x}

c

g(x)=5e3xg(x)=5e^{3x}

d

h(x)=e7x7h(x)=\dfrac{e^{7x}}{7}

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Derivera följande funktioner.

a

f(x)=ex7x2f(x)=e^x-7x^2

b

g(x)=e4x2xg(x)=e^{4x}-\dfrac{2}{x}

c

h(x)=ex5+eh(x)=\dfrac{e^{x}}{5}+e

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Derivera exponentialfunktionerna. Svara exakt.

a

y=3xy=3^x

b

y=52xy=5^{2x}

c

y=734xy=7\cdot 3^{4x}

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Derivera funktionerna.

a

y=102x+2x3y=10^{2x}+2x-3

b

y=11-2x3x2y=11^{\text{-} 2x}-3x^2

c

y=74xe2xy=7^{4x}-e^{2x}

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna g(1)g'(1) för följande funktioner. Ange svaret med två decimaler.

a

g(x)=32x5x+12g(x)=3^{2x}-5^x+12

b

g(x)=23x7x+exg(x)=2^{3x}-7^x+e^x

c

g(x)=e-5xe7x+9ex+11eg(x)=e^{\text{-}5x}-e^{7x}+9e^x+11e

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Måna-Liza har deriverat de tre funktionerna f(x)=e5xg(x)=5exh(x)=xe5\begin{aligned} f(x)&=e^{5x}\\ g(x)&=5e^x\\ h(x)&=xe^5 \end{aligned} och fått följande svar: f(x)=5e5xg(x)=5exh(x)=5xe5.\begin{aligned} f'(x)&=5e^{5x}\\ g'(x)&=5e^x\\ h'(x)&=5xe^5. \end{aligned} Gudrun-Olle säger att hon har gjort fel. Vad har hon gjort fel och hur skulle hon ha gjort istället?

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Den blå grafen visar funktionen f(x)=2e2x.f(x)=2\cdot e^{2x}. Avgör vilken av de röda graferna som visar f(x).f'(x).

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att derivatan till y=3exy=3e^x är lika med y=3exy'=3e^x genom att använda deriveringsregeln D(ex)=ex.D\left(e^x\right)=e^x.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För en exponentialfunktion på formen f(x)=axf(x)=a^x vet man att f(0)=3.f'(0)=3. Bestäm basen aa exakt.

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Derivera.

a

f(x)=3x4+6x+10f(x)=3x^4+6x+10

b

f(x)=ex+exf(x)=e^x+ex

c

f(x)=23x+3x2f(x)=\dfrac{2}{3x}+\dfrac{3x}{2}

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Derivera exponentialfunktionerna och svara exakt.

a

f(x)=23+2xf(x) = 2^{3+2x}

b

g(x)=323xg(x) = 3^{2-3x}

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Tangenten t(x)t(x) tangerar f(x)=1.81.60.4xf(x)=1.8 \cdot 1.6^{0.4x} i x=4.x=4. Bestäm ekvationen för tangenten.


b

Det finns en tangent till grafen g(x)=0.81.40.6xg(x) = 0.8 \cdot 1.4^{0.6x} som är parallell med t(x).t(x). I vilket xx tangerar denna tangent g(x)?g(x)? Ange svaret med en decimal.

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En tangent skär grafen till funktionen h(x)=53xh(x)=5^{3x} i punkten (1,125)(1,125). I vilken punkt skär tangenten xx-axeln? Svara exakt.

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ange alla funktioner som har egenskapen att f(x)=f(x)f(x)=f'(x) där f(x)0.f(x)\neq 0.

Nationella provet HT12 3b/3c
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}