{{ option.label }} add
menu_book {{ printedBook.name}}
arrow_left {{ state.menu.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
arrow_left {{ state.menu.current.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
Mathleaks
Använd offline
Expandera meny menu_open
Regler för derivator

Deriveringsregler för exponentialfunktioner

{{ 'ml-article-collection-answers-hints-solutions' | message }}
tune
{{ topic.label }}
{{tool}}
{{ result.displayTitle }}
{{ result.subject.displayTitle }}
navigate_next

Kanaler

Direktmeddelanden

En exponentialfunktion som står på formen
har i de flesta fall en derivata som inte är lika med funktionen själv. Det finns dock ett undantag och det är när funktionens bas är lika med talet e, dvs. ungefär 2.72. Då är derivatan och funktionen samma för alla x. Den blå grafen visar funktionen medan den röda visar derivatan Väljer man basen a till e ser man att funktionens och derivatans graf sammanfaller.

Regel

Derivatan av

Exponentialfunktionen är sin egen derivata.

Härledning

För att visa varför derivatan till är kan man använda derivatans definition.
Eftersom inte påverkas av att h går mot 0 kan man placera utanför gränsvärdet:
Man kan visa att gränsvärdet är lika med 1 (detta är ett så kallat standardgränsvärde). Det medför att

Regel

Derivatan av

Derivatan av en exponentialfunktion på formen är lika med funktionsuttrycket multiplicerat med koefficienten framför x.

Härledning

Man kan visa denna derivata med hjälp av derivatans definition:
Uttrycket f(x+h) får vi genom att ersätta x med x+h i funktionsuttrycket.
Eftersom inte innehåller något h påverkas inte denna faktor av att h går mot 0. Man kan därför lyfta ut det från gränsvärdet, vilket ger
Man kan visa att gränsvärdet är lika med k (detta är ett så kallat standardgränsvärde). Det medför att

Exempel

Derivera exponentialfunktioner med bas e

fullscreen

Derivera och

Visa Lösning expand_more
Eftersom derivatan av alltid är sin egen derivata är alltså
Funktionen är på formen och eftersom multiplicerar vi funktionen med koefficienten 6 för att få derivatan:


Regel

Derivatan av

Derivatan till exponentialfunktioner på formen dvs. när a är något annat än talet e, är funktionsuttrycket multiplicerat med

Härledning

För att visa varför regeln gäller kan man skriva om basen a i exponentialfunktionen enligt sambandet . Sedan använder man deriveringsreglerna för exponentialfunktioner med basen e.

Uttrycken och är alltså ekvivalenta och man kan nu använda deriveringsregeln för att derivera . Därefter skrivs om till a igen.

Regel

Derivatan av

Funktioner på formen deriveras på nästan samma sätt som Men utöver att multiplicera funktionsuttrycket med multipliceras det även med koefficienten k.

Härledning

För att visa varför regeln gäller kan man skriva om basen a i exponentialfunktionen enligt . Sedan använder man deriveringsreglerna för exponentialfunktioner med basen e.
Uttrycken och är alltså ekvivalenta och man kan nu använda regeln .

Exempel

Derivera exponentialfunktioner med generell bas

fullscreen

Derivera och

Visa Lösning expand_more
Vi börjar med att derivera och använder då regeln . Vi multiplicerar alltså funktionen med naturliga logaritmen av basen 5. Derivatan blir då
Funktionen skiljer sig från f(x) genom att x har koefficienten 2. Vi använder därför deriveringsregeln och multiplicerar funktionen med både 2 och :
arrow_left
arrow_right
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward
arrow_left arrow_right
close
Community