body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Dashboard

Kurs 1b Visa detaljer

6. Beskriva funktioner

Klar med uppgifterna

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Uppgifter

Tester

eKurser /

( Ma 1b , Ma 1c ) /

Kapitel 6

Beskriva funktioner

Denna lektion ger en detaljerad förklaring av hur man kan använda värdetabeller och grafer för att beskriva och förstå funktioner. Den tar upp olika metoder för att representera funktioner, inklusive funktionsuttryck, värdetabeller och grafer. Lektionenen förklarar också hur man kan använda dessa verktyg för att lösa ekvationer och olikheter grafiskt. Genom att använda dessa metoder kan man få en bättre förståelse för hur olika funktioner beter sig och hur de kan användas för att lösa matematiska problem.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	10 sidor teori
	26 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Beskriva funktioner

Sida av 10

Några vanliga sätt att representera funktioner är funktionsuttryck (formler), värdetabeller och grafer. Vad man använder beror på vilka egenskaper hos funktionen man är intresserad av.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Funktionsuttryck
Värdetabell
Graf
Värdetabell på räknare
Grafisk lösning
Lösa ekvation grafiskt med räknare

Teori

Funktionsuttryck

Ett funktionsuttryck är ett sätt att beskriva en funktion. Det anger en omvandlingsregel eller formel som talar om hur funktionsvärdet beror av olika x-värden. Exempelvis är y=x+3

ett funktionsuttryck som med ord kan beskrivas addera 3 till x-värdet.

Teori

Värdetabell

En värdetabell är ett diagram som hjälper till att organisera och visualisera information. Den används ofta för att visa relationen mellan två variabler.

x	y
0	0
1	3
2	6
3	9
4	12
5	15

I den här tabellen utgör varje x- och y-värde som förekommer i samma rad ett ordnat par. Till exempel motsvarar x-värdet 2 y-värdet 6. Detta representeras vanligtvis med notation (2,6).

Teori

Graf

En graf är ett sätt att beskriva en funktion i ett koordinatsystem. Grafen byggs upp av en mängd punkter som illustrerar funktionen. Klicka på vilken punkt som helst på grafen för att se dess koordinater.

Grafen i sig visar inte själva funktionsuttrycket vilket är en begränsning. Däremot ger grafen en större överblick av funktionen än formeln då man ser flera par av x- och y-värden samtidigt. Den hjälper till att identifiera viktiga punkter för funktionen som inte tydligt kan ses från den motsvarande funktionsregeln, såsom det maximala eller minimala värdet, skärningen med axlarna, bland andra egenskaper.

Teori

Värdetabell på räknare

Räknaren har ett inbyggt verktyg för att generera en värdetabell utifrån ett funktionsuttryck. Det kan vara tidsbesparande eftersom det krävs många beräkningar att göra det för hand.

Ange funktionen

Precis som när man ritar en graf på räknaren börjar man med att trycka på Y= och skriva in funktionsuttrycket.

Visa tabellen

Därefter trycker man på TABLE (2ND + GRAPH). Då genereras automatiskt en värdetabell för några olika x-värden. Har man skrivit in ett annat funktionsuttryck på Y_2 kommer y-värdena för den funktionen att visas i kolumnen längst till höger.

Justera tabellinställningarna

Om man vill ändra de x-värden som syns i tabellen trycker man på TBLSET (2ND +WINDOW). Där kan man ange vilket x-värde tabellen ska börja på (TblStart) och hur stort avståndet ska vara mellan värdena (ΔTbl). Avståndet anger skillnaden mellan varje x-värde.

Återgå till tabellen och kontrollera värdena

Genom att trycka på TABLE igen uppdateras tabellen.

Exempel

Skissa grafen

Skissa grafen till funktionen y=x^2-1 genom att göra en värdetabell.

Svar

Värdetabell:

x	y	Punkt
-2	3	(-2,3)
-1	0	(-1,0)
0	-1	(0,-1)
1	0	(1,0)
2	3	(2,3)

Graf:

Ledtråd

Välj några x-värden, inklusive både negativa och positiva tal. Beräkna sedan de motsvarande funktionsvärdena.

Lösning

För att göra en värdetabell sätter vi in några valfria x-värden och beräknar motsvarande funktionsvärden. För att inte missa intressant information väljer vi några negativa och några positiva x-värden.

x	x^2-1	y	Punkt
-2	( -2)^2-1	3	(-2,3)
-1	( -1)^2-1	0	(-1,0)
0	0^2-1	-1	(0,-1)
1	1^2-1	0	(1,0)
2	2^2-1	3	(2,3)

Nu ritar vi upp ett koordinatsystem och prickar in punkterna vi tog fram i tabellen.

Till sist sammanbinder vi punkterna med en kurva.

Teori

Grafisk lösning

Vissa ekvationer kan vara svåra att lösa algebraiskt, exempelvis exponentialekvationen 1,5^x=5,0625. Då kan man prova att lösa den grafiskt istället genom att tolka ekvationens led som två separata funktioner och bestämma var graferna till dessa skär varandra.

Skriv ekvationens led som funktioner

Skriv ekvationens vänster- och högerled som två separata funktioner: y=1,5^x och y=5,0625.

Rita graferna till funktionerna

Rita funktionernas grafer för hand, t.ex. med hjälp av värdetabell, eller på grafräknare.

Läs av x-värden där graferna skär varandra

Lösningen till ekvationen 1,5^x=5,0625 får man genom att läsa av x-värdet för den punkt där graferna skär varandra.

Graferna skär varandra där x=4, vilket alltså är lösningen på ekvationen. På många grafräknare finns det inbyggda verktyg för att hitta skärningspunkten.

Teori

Lösa ekvation grafiskt med räknare

Att lösa en ekvation grafiskt innebär att man skriver in ekvationens vänster- och högerled som två funktioner och hittar skärningspunktens x-värde. Det är ofta praktiskt att använda räknaren för detta.

Skriv in funktionerna på räknaren

Ekvationernas led skrivs in som funktioner på räknaren. Det görs genom att först trycka på Y= och sedan skriva in funktionsuttrycken på raderna Y_1, Y_2 osv. För att skriva x använder man X,T,θ,n

Fönster som visar plot1 plot2 plot3 på en TI82-räknare

Rita funktionerna

När funktionerna skrivits in på räknaren trycker man på GRAPH för att rita ut funktionerna i ett koordinatsystem.

För att ändra de x- och y-värden som koordinatsystemet ritas mellan kan man trycka på WINDOW, där det finns inställningar för hur koordinatsystemet ska visas.

Hitta skärningspunkten

Man kan nu använda räknaren för att hitta skärningspunkten mellan de två graferna. Verktyget som gör detta hittar man genom att först trycka på 2ND+TRACE och sedan intersect.

När man har valt intersect visas de graferna igen och man kan nu välja mellan vilka av dem som skärningspunkten ska bestämmas.

First curve: Välj den första grafen genom att trycka på ENTER. Man kan välja mellan graferna med upp- och nedpilarna.
Second curve: Välj den andra grafen.
Guess: För att räknaren ska kunna bestämma skärningspunkten snabbare ber den om en gissning som startpunkt. Placera markören i närheten av skärningspunkten genom att använda höger- och vänsterpilarna och tryck sedan på ENTER.

Nu skrivs skärningspunktens x- och y-värde ut och x är ekvationens lösning.

Exempel

Lös ekvationen grafiskt

Lös följande ekvation grafiskt. x^3=62 + sqrt(x)

Ledtråd

Skriv om varje sida av ekvationen som en separat funktion. Grafa båda och hitta skärningspunkten.

Lösning

Ekvationen är svår att lösa algebraiskt. För att kunna lösa ekvationen grafiskt behöver vi digitala verktyg, exempelvis en grafritande räknare. Vi låter ekvationens led utgöra varsin funktion: y = x^3 och y = 62+ sqrt(x). Vårt mål är nu att rita upp dessa funktioner på räknaren och sedan läsa av skärningspunkten med räknarens verktyg för detta. x-värdet där graferna skär varandra är ekvationens lösning. Börja med att trycka på Y= och skriv in funktionsuttrycken.

Tryck sedan på knappen GRAPH för att rita ut funktionerna i ett koordinatsystem. För att ändra de x- och y-värden som koordinatsystemet ritas mellan kan du trycka på WINDOW, där finns inställningar för hur koordinatsystemet visas.

Nu vill vi hitta skärningspunkten mellan graferna, och gör det genom att först trycka på 2ND + TRACE och sedan 5:intersect.

Nu visas graferna igen och vi väljer vilken som ska utgöra first curve och second curve (spelar ingen roll hur vi väljer). Till sist gissar vi var skärningspunkten finns med ENTER.

Nu skrivs skärningspunktens x- och y-värde ut och x löser ekvationen. Lösningen till vår ekvation är alltså x=4.

Exempel

Lös olikheten grafiskt

Lös olikheten grafiskt: x^2 < 2x+15.

Ledtråd

Skriv om varje sida av olikheten som en separat funktion. Grafa båda och avgör var grafen för vänsterledet ligger under grafen för högerledet.

Lösning

Lösningen till en olikhet är ett intervall. Vi letar alltså efter alla tal x som gör att x^2 är mindre än 2x+15. Vi delar upp vänster- och högerledet till varsin funktion, dvs. y_1 = x^2 och y_2 = 2x + 15. Vi ritar funktionerna, antingen med digitalt hjälpmedel eller via en värdetabell. Vi hittar skärningspunkterna och läser av när grafen till y_1=x^2 är under y_2=2x+15.

Den blå kurvan är mindre än den röda linjen i intervallet - 3 < x < 5, eftersom alla y-värden för x^2 är mindre än y-värdena för den räta linjen. Om olikheten hade varit x^2≤ 2x+15 skulle intervallet inkludera - 3 och 5 dvs. - 3≤ x ≤ 5.

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Beskriva funktioner

Uppgifter

Funktionen f(x) har ritats in i ett koordinatsystem.

I vilken punkt skär grafen x-axeln?

I vilken punkt skär grafen y-axeln?

Vi kan läsa av direkt i vilket x-värde grafen skär x-axeln.

Det gör den för x=1. Längs med hela x-axeln är y-koordinaten 0 så linjen skär x-axeln i punkten (1,0).

Från grafen ser vi att linjen skär y-axeln när y=-2.

Längs med hela y-axeln är x-koordinaten 0 så punkten är (0,-2).

Vilka av följande punkter ligger på linjen till y=- 2x+5? Kontrollera din lösning genom att skapa en värdetabell på räknare.

Varje punkt (x,y) består av en x-koordinat och en y-koordinat. Om y=f(x) är en funktion av x, så kommer därför alla punkter som ligger på grafen till funktionen att vara på formen (x,f(x)). Här är funktionen den räta linjen y=-2x+5. Vi kan alltså undersöka huruvida punkterna ligger på linjen genom att sätta in x-koordinaten i funktionen och se om y-koordinaten blir densamma som i punkten. De x-koordinater som finns är: x=-2, x=-1, x=0, x=1, x=2, x=3 och x=4. Vi skapar en värdetabell genom att sätta in dessa en efter en i funktionen och beräknar y. Kom ihåg att när man multiplicerar två negativa tal får man ett positivt tal.

x	- 2x+5	y
- 2	- 2( - 2)+5	9
- 1	- 2 ( - 1)+5	7
0	- 2 * 0+5	5
1	- 2 * 1+5	3
2	-2 * 2+5	1
3	-2 * 3+5	-1
4	-2 * 4+5	-3

Värdetabellen blir alltså som nedan.

x	y
-2	9
-1	7
0	5
1	3
2	1
3	-1
4	-3

Av alternativen är det alltså endast punkterna (-2,9), (-1,7), (0,5), (1,3) och (2,1) som ligger på linjen.

Kontroll av värdetabell på räknare

Tryck på knappen Y= för att skriva in funktionen y=-2x+5 som vi vill skapa en värdetabell för.

Innan vi genererar värdetabellen behöver vi ange vilka x-värden som ska vara med i tabellen. y-värdena beräknas sedan utifrån dessa x-värden. Vi trycker då på TBLSET (2ND + WINDOW) och anger x-värdet -2 som startvärde (TblStart) samt avståndet 1 (ΔTbl), vilket säger att avståndet mellan varje x-värde vara 1.

Nu trycker vi på TABLE (2ND + GRAPH) för att generera värdetabellen.

Även om denna tabell visar två extra x- och y-värden ser vi att de värden vi beräknade fram är korrekta.

Tänk på följande tabell med värden.

x	y
-2	-3
0	-1
2	1
3	2

Vilken av följande grafer motsvarar funktionen som beskrivs av tabellen med värden?

Från värdetabellen kan vi avläsa punkterna (-2,-3), (0,-1), (2,1) och (3,2). Vi markerar dessa i ett koordinatsystem.

Vi kan nu rita en graf genom dessa punkter. De verkar ligga längs en rät linje, så vi ritar en sådan.

Det rätta svaret är alternativet B.

Grafen går igenom två markerade punkter.

Ange funktionens funktionsvärde för punkten i andra kvadranten.

Ange x-värdet för punkten i den fjärde kvadranten.

Den andra kvadranten är den del av koordinatsystemet där x-axeln är negativ och y-axeln är positiv. Punkten vi ska läsa av funktionsvärdet för är alltså den som ligger uppe till vänster i koordinatsystemet. Funktionsvärdet läser vi av rakt högerut på y-axeln.

Punkten i den andra kvadranten har y-koordinaten 9, vilket också är funktionsvärdet.

Den fjärde kvadranten är den del av koordinatsystemet där x-axeln är positiv och y-axeln är negativ. Punkten vi ska läsa av x-värdet för är alltså den som ligger nere till höger i koordinatsystemet. Grafens x-värde läser vi av rakt ovanför.

Punkten i den fjärde kvadranten har x-värdet 3.

Skriv en funktionsregel för Utdata är en fjärdedel av indata.

Vi har fått ett påstående och vi måste översätta det till en ekvation. Utdata är en fjärdedel av indata. Varje ekvation har ett likhetstecken och värden eller uttryck på vardera sidan om det. Nyckelord och fraser som är, är lika med, och är lika med berättar för oss om placeringen av likhetstecknet. Utdata är en fjärdedel av indata. ⇕ Utdata = en fjärdedel av indata. På vänster sida har vi ett nyckelord, utdata. Detta ord representerar variabeln y. Utdata → y På höger sida är nyckelordet indata. Detta ord representerar variabeln x. en fjärdedel av indata → x/4 Sätter vi ihop dessa sidor har vi en komplett ekvation. y =x/4

Rita grafen av funktionen y = x + 1.

För att rita grafen till funktionen y=x+1, kommer vi att följa två steg.

Gör en funktionstabell för att erhålla ordnade par.
Rita grafen till de ordnade paren och rita linjen genom dem.

Låt oss göra dessa saker en i taget.

Skapa en funktionstabell

För att skapa en funktionstabell kommer vi att välja några värden på x som kommer att vara en del av vår domän. Sedan kommer vi att ersätta dessa värden för x för att hitta motsvarande värden på y. Dessa x- och y-värden kommer att skapa en uppsättning ordnade par.

x	x+1	y	(x,y)
0	0+1	1	( 0, 1)
2	2+1	3	( 2, 3)
4	4+1	5	( 4, 5)
6	6+1	7	( 6, 7)

Vi hittade fyra ordnade par som ligger på grafen till vår funktion.

Rita grafen till de ordnade paren och rita linjen

Härnäst kommer vi att rita grafen till de ordnade paren och koppla ihop dem med en rak linje.

Linjen är den fullständiga grafen till funktionen. De ordnade paren som motsvarar alla punkter på linjen är lösningar till ekvationen y=x+1.

Grafen av funktionen y = - 3x.

För att rita grafen till funktionen y=- 3x, kommer vi att följa två steg.

Gör en funktionstabell för att erhålla ordnade par.
Rita grafen till de ordnade paren och rita linjen genom dem.

Låt oss göra dessa saker en i taget.

Skapa en funktionstabell

x	- 3x	y	(x,y)
- 2	- 3( - 2)	6	( - 2, 6)
- 1	- 3( - 1)	3	( - 1, 3)
0	- 3( 0)	0	( 0, 0)
1	- 3( 1)	- 3	( 1, - 3)

Vi hittade fyra ordnade par som ligger på grafen till vår funktion.

Rita grafen till de ordnade paren och rita linjen

Därefter kommer vi att rita grafen till de ordnade paren och förbinda dem med en rak linje.

Linjen är den fullständiga grafen till funktionen. De ordnade paren som motsvarar alla punkter på linjen är lösningar till ekvationen y=- 3x.

Grafen av funktionen y=3x+2.

För att rita grafen till funktionen y=3x+2 kommer vi att följa två steg.

Gör en funktionstabell för att erhålla ordnade par.
Rita grafen till de ordnade paren och rita linjen genom dem.

Låt oss göra dessa saker en i taget.

Skapa en funktionstabell

x	3x+2	y	(x,y)
- 1	3( - 1)+2	- 1	( - 1, - 1)
0	3( 0)+2	2	( 0, 2)
1	3( 1)+2	5	( 1, 5)
2	3( 2)+2	8	( 2, 8)

Vi hittade fyra ordnade par som ligger på grafen för vår funktion.

Rita grafen till de ordnade paren och rita linjen

Därefter kommer vi att rita grafen till de ordnade paren och förbinda dem med en rak linje.

Linjen är den kompletta grafen för funktionen. De ordnade paren som motsvarar alla punkter på linjen är lösningar till ekvationen y=3x+2.

Skriv funktionsregeln för påståendet.

Utdata är tre gånger indata.

Vi har fått ett påstående och vi måste översätta det till en ekvation. Utdata är tre gånger indata. Varje ekvation har ett likhetstecken tecken och värden eller uttryck på vardera sidan om det. Nyckelord och fraser som är, är lika med, och är talar om för oss var likhetstecknet ska placeras. Utdata ärtre gånger indata. ⇕ Utdata = tre gånger indata. På vänster sida har vi ett nyckelord, utdata. Detta ord representerar variabeln y. Utdata → y På höger sida har vi två nyckelord, gånger och indata. Ordet indata representerar variabeln x. Gånger indikerar den operation som kommer att användas i vår ekvation. I vårt fall kommer det att vara multiplikationen. tre gånger indata 3 x Sätter vi ihop dessa sidor får vi en komplett ekvation. y = 3 x

Skriv en funktionsregel för uttalandet.

Utdata är åtta mer än en sjundedel av indata.

Vi har fått ett påstående och vi måste översätta det till en ekvation. Utdata är åtta mer än en sjundedel av indata Varje ekvation har ett är lika med tecken och värden eller uttryck på vardera sidan om det. Nyckelord och fraser som är, är lika med, och är talar om för oss var likhetstecknet ska placeras. Utdata är åtta mer än en sjundedel av indata. ⇕ Utdata = åtta mer än en sjundedel av indata. På vänster sida har vi ett nyckelord, utdata. Detta ord representerar variabeln y. utdata → y På höger sida är nyckelorden mer än och indata. Mer än talar om för oss att addera, och indata talar om för oss variabeln x. åtta mer än en sjundedel av indata ⇕ 8 + 1/7 x Sätter vi ihop dessa sidor har vi en komplett ekvation. y = 8 + 1/7 x

Rita grafen för funktionen. y=- 2x

För att rita grafen till funktionen y=- 2x, kommer vi att följa två steg.

Gör en funktionstabell för att erhålla ordnade par.
Rita grafen till de ordnade paren och dra linjen genom dem.

Låt oss göra dessa saker en i taget.

Skapa en funktionstabell

x	-2x	y	(x,y)
0	- 2( 0)	0	( 0, 0)
- 1	- 2( - 1)	2	( - 1, 2)
- 2	- 2( - 2)	4	( - 2, 4)
- 3	- 2( - 3)	6	( - 3, 6)

Vi hittade fyra ordnade par som ligger på grafen till vår funktion.

Rita grafen till de ordnade paren och dra linjen

Därefter kommer vi att rita grafen till de ordnade paren och ansluta dem med en rak linje.

Linjen är den fullständiga grafen till funktionen. De ordnade paren som motsvarar alla punkter på linjen är lösningar till ekvationen y=- 2x.

Beskriva funktioner

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan