Beskriva funktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Några vanliga sätt att representera funktioner är funktionsuttryck (formler), värdetabeller och grafer. Vad man använder beror på vilka egenskaper hos funktionen man är intresserad av.
Begrepp

Funktionsuttryck

Ett funktionsuttryck är ett sätt att beskriva en funktion. Det anger en omvandlingsregel eller formel som talar om hur funktionsvärdet beror av olika xx-värden. Exempelvis är y=x+3 y=x+3

ett funktionsuttryck som med ord kan beskrivas "addera 3 till xx-värdet."
Begrepp

Värdetabell

Värdetabeller används för att sammanställa utvalda xx- och yy-värden för en funktion. Från en sådan tabell kan man markera punkter i ett koordinatsystem och på så sätt få en uppfattning om grafens utseende.
Begrepp

Graf

En graf är ett sätt att beskriva en funktion i ett koordinatsystem. Grafen byggs upp av en mängd punkter som illustrerar funktionen.

Grafen i sig visar inte själva funktionsuttrycket vilket är en begränsning. Däremot ger grafen en större överblick av funktionen än formeln då man ser flera par av xx- och yy-värden samtidigt.
Uppgift

Skissa grafen till funktionen y=x21 y=x^2-1 genom att göra en värdetabell.

Visa lösning Visa lösning
Metod

Grafisk lösning

Vissa ekvationer kan vara svåra att lösa algebraiskt, exempelvis exponentialekvationen1.5x=5.0625. 1.5^x=5.0625. Då kan man prova att lösa den grafiskt istället genom att tolka ekvationens led som två separata funktioner och bestämma var graferna till dessa skär varandra.

Skriv ekvationens vänster- och högerled som två separata funktioner: y=1.5xochy=5.0625. y=1.5^x \quad \text{och} \quad y=5.0625.

Rita funktionernas grafer för hand, t.ex. med hjälp av värdetabell, eller på grafräknare.

Lösningen till ekvationen 1.5x=5.06251.5^x=5.0625 får man genom att läsa av xx-värdet för den punkt där graferna skär varandra.

Graferna skär varandra där x=4,x=4, vilket alltså är lösningen på ekvationen. På många grafräknare finns det inbyggda verktyg för att hitta skärningspunkten.

Uppgift

Lös följande ekvation grafiskt. x3=62+x x^3=62 + \sqrt{x}

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Lös olikheten grafiskt: x2<2x+15. x^2 \lt 2x+15.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Funktionen f(x)f(x) har ritats in i ett koordinatsystem.


a

I vilken punkt skär grafen xx-axeln?

b

I vilken punkt skär grafen yy-axeln?

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skapa en värdetabell till y=-2x+5y=\text{-} 2x+5 för x-värdena -2,-1,0,1och2. \text{-} 2, \quad \text{-} 1, \quad 0, \quad 1 \quad \text{och} \quad 2. Kontrollera din lösning genom att skapa en värdetabell på räknare.

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skissa för hand grafen till den funktion som beskrivs av värdetabellen.

xx yy
-2 -3
0 -1
2 1
3 2
1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Grafen går igenom två markerade punkter.


a

Ange funktionens funktionsvärde för punkten i andra kvadranten.

b

Ange xx-värdet för punkten i den fjärde kvadranten.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen 3x3=63x - 3 = 6 grafiskt för hand. Kontrollera sedan lösningen med räknare.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemet har två linjära funktioner ritats. Motivera vilken funktion du tror har störst funktionsvärde när x=25.x = 25.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Funktionen f(x)f(x) har ritats in i ett koordinatsystem.

Vilket tal ska adderas till funktionen för att dess graf ska passera genom origo?

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemet har f(x)f(x) och g(x)g(x) ritats.


a

Läs av funktionsvärdena f(0)f(0) och g(0)g(0).

b

Lös ekvationen g(x)=6g(x) = 6 grafiskt.

c

Lös ekvationen f(x)=g(x)f(x) = g(x) grafiskt.

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Uppskatta med hjälp av värdetabellen för vilket värde på xx som graferna till de linjära funktionerna f(x)f(x) och g(x)g(x) skär varandra.

xx f(x)f(x) g(x)g(x)
1 0 1.5
3 2 2.5
5 4 3.5
7 6 4.5


b

Rita för hand graferna till f(x)f(x) och g(x)g(x) i ett koordinatsystem och ange skärningspunkten.

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen x2+x8=-6x^2+x-8=\text{-} 6 grafiskt med räknare.

2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En ekonomiskt lagd matematiker brukar ofta åka taxi. Hon brukar växla mellan två olika taxibolag, Taxi Flopp och Taxi Galopp. Taxi Flopp har en grundkostnad på 50 kr och en kilometerkostnad på 12 kr, medan Taxi Galopp kostar 28 kr i grundavgift och 14 kr per kilometer. Hon sätter upp två funktioner som beskriver kostnaden för att åka med de olika bolagen: f(x)=12x+50g(x)=14x+28, f(x)=12x+50 \quad g(x)=14x+28, där xx är antal km och f(x)f(x) och g(x)g(x) anger kostnaden i kronor för Taxi Flopp respektive Taxi Galopp.


a

Gör en värdetabell för hand som visar de båda funktionernas yy-värden för xx-värdena 0,5,100, 5, 10 och 15.15. Rita sedan de båda graferna för hand i ett koordinatsystem.

b
Hur långt ska man åka för att det ska kosta lika mycket att åka med de olika bolagen?
2.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Din mattelärare Axel Leifsson försöker lösa ekvationen x2+4=2x4 x^2+4=2x-4 men lyckas inte. Använd räknare för att grafiskt motivera varför det inte finns någon lösning.

2.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Rita de två funktionerna y1=2x5y_1=2x-5 och y2=-x+1y_2=\text{-} x+1 och lös olikheten 2x5-x+1 2x-5 \geq \text{-} x+1 grafiskt.

2.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I diagrammet kan man avläsa hur långt man färdas på en viss tid med farten 7070 km/h respektive 110110 km/h.

a

Bestäm hur lång tid det tar att åka 3030 km med farten 7070 km/h.

b

En sträcka tar 5050 min att köra med farten 110110 km/h. Hur mycket längre blir restiden med farten 7070 km/h?

Nationella provet VT02 MaA
Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös olikheten x21>-x2+3x^2-1>\text{-} x^2+3 grafiskt.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Jack säger att detta är en linjär funktion. Rose säger att det inte är det. Hur kan de ha resonerat?

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Använd grafen till y=f(x)y=f(x) för att bestämma för vilka xx olikheten 4<y<104 \lt y \lt 10 gäller. Svara med olikhetstecken.

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemet är grafen till funktionen y=-x3+8x+1y=\text{-} x^3+8x+1 ritad. Olikheten -4<-x3+8x+1<7\text{-}4<\text{-} x^3+8x+1<7 har tre heltalslösningar. Vilka?

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Rita upp funktionerna f(x)=2x+2,f(x)=2x+2, g(x)=-0.5x+2.5g(x)=\text{-}0.5x+2.5 och h(x)=x2x+0.75.h(x)=x^2-x+0.75. Markera sedan för vilka xx som båda dessa olikheter är uppfyllda: x2x+0.75<2x+2-0.5x+2.5>x2x+0.75. \begin{aligned} &x^2-x+0.75<2x+2\\ &\text{-}0.5x+2.5>x^2-x+0.75.\\ \end{aligned}

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }}
keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}