body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

1b

Kurs 1b Visa detaljer

Innehållsförteckning

( Ma 1b , Ma 1c ) /

Kapitel 6

6.

Beskriva funktioner

Denna lektion ger en detaljerad förklaring av hur man kan använda värdetabeller och grafer för att beskriva och förstå funktioner. Den tar upp olika metoder för att representera funktioner, inklusive funktionsuttryck, värdetabeller och grafer. Lektionenen förklarar också hur man kan använda dessa verktyg för att lösa ekvationer och olikheter grafiskt. Genom att använda dessa metoder kan man få en bättre förståelse för hur olika funktioner beter sig och hur de kan användas för att lösa matematiska problem.

Inställningar & verktyg för lektion

	10 sidor teori
	19 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Beskriva funktioner

Sida av 10

Några vanliga sätt att representera funktioner är funktionsuttryck (formler), värdetabeller och grafer. Vad man använder beror på vilka egenskaper hos funktionen man är intresserad av.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Funktionsuttryck
Värdetabell
Graf
Värdetabell på räknare
Grafisk lösning
Lösa ekvation grafiskt med räknare

Förkunskaper

Funktion
Koordinat
Koordinatsystem
Formel
Ekvation

Teori

Funktionsuttryck

Ett funktionsuttryck är ett sätt att beskriva en funktion. Det anger en omvandlingsregel eller formel som talar om hur funktionsvärdet beror av olika

x -

värden. Exempelvis är

y = x + 3

ett funktionsuttryck som med ord kan beskrivas addera

3

till

x -

värdet.

Teori

Värdetabell

En värdetabell är ett diagram som hjälper till att organisera och visualisera information. Den används ofta för att visa relationen mellan två variabler.

$x$	$y$
$0$	$0$
$1$	$3$
$2$	$6$
$3$	$9$
$4$	$12$
$5$	$15$

I den här tabellen utgör varje

x -

och

y -

värde som förekommer i samma rad ett ordnat par. Till exempel motsvarar

x -

värdet

2

y -

värdet

6 .

Detta representeras vanligtvis med notation

(2, 6) .

Teori

Graf

En graf är ett sätt att beskriva en funktion i ett koordinatsystem. Grafen byggs upp av en mängd punkter som illustrerar funktionen. Klicka på vilken punkt som helst på grafen för att se dess koordinater.

Grafer: f(x)=2x+1, g(x)=-0.5x+2, h(x)=x^2-2.

Grafen i sig visar inte själva funktionsuttrycket vilket är en begränsning. Däremot ger grafen en större överblick av funktionen än formeln då man ser flera par av

x -

och

y -

värden samtidigt. Den hjälper till att identifiera viktiga punkter för funktionen som inte tydligt kan ses från den motsvarande funktionsregeln, såsom det maximala eller minimala värdet, skärningen med axlarna, bland andra egenskaper.

Teori

Värdetabell på räknare

Räknaren har ett inbyggt verktyg för att generera en värdetabell utifrån ett funktionsuttryck. Det kan vara tidsbesparande eftersom det krävs många beräkningar att göra det för hand.

1

Ange funktionen

Precis som när man ritar en graf på räknaren börjar man med att trycka på $Y =$ och skriva in funktionsuttrycket.

TI-Meny med funktioner

2

Visa tabellen

Därefter trycker man på $TABLE$ $(2 ND + GRAPH) .$ Då genereras automatiskt en värdetabell för några olika $x -$ värden. Har man skrivit in ett annat funktionsuttryck på $Y_{2}$ kommer $y -$ värdena för den funktionen att visas i kolumnen längst till höger.

3

Justera tabellinställningarna

Om man vill ändra de $x -$ värden som syns i tabellen trycker man på $TBLSET$ $(2 ND + WINDOW) .$ Där kan man ange vilket $x -$ värde tabellen ska börja på (TblStart) och hur stort avståndet ska vara mellan värdena $(Δ Tbl) .$ Avståndet anger skillnaden mellan varje $x -$ värde.

TI-Meny med TBLSET

4

Återgå till tabellen och kontrollera värdena

Genom att trycka på $TABLE$ igen uppdateras tabellen.

Exempel

Skissa grafen

Skissa grafen till funktionen

y = x^{2} - 1

genom att göra en värdetabell.

Svar

Värdetabell:

$x$	$y$	Punkt
$- 2$	$3$	$(- 2, 3)$
$- 1$	$0$	$(- 1, 0)$
$0$	$- 1$	$(0, - 1)$
$1$	$0$	$(1, 0)$
$2$	$3$	$(2, 3)$

Graf:

Ledtråd

Välj några $x -$ värden, inklusive både negativa och positiva tal. Beräkna sedan de motsvarande funktionsvärdena.

Lösning

För att göra en värdetabell sätter vi in några valfria $x -$ värden och beräknar motsvarande funktionsvärden. För att inte missa intressant information väljer vi några negativa och några positiva $x -$ värden.

$x$	$x^{2} - 1$	$y$	Punkt
$- 2$	$(- 2)^{2} - 1$	$3$	$(- 2, 3)$
$- 1$	$(- 1)^{2} - 1$	$0$	$(- 1, 0)$
$0$	$0^{2} - 1$	$- 1$	$(0, - 1)$
$1$	$1^{2} - 1$	$0$	$(1, 0)$
$2$	$2^{2} - 1$	$3$	$(2, 3)$

Nu ritar vi upp ett koordinatsystem och prickar in punkterna vi tog fram i tabellen.

Till sist sammanbinder vi punkterna med en kurva.

Teori

Grafisk lösning

Vissa ekvationer kan vara svåra att lösa algebraiskt, exempelvis exponentialekvationen

1, 5^{x} = 5, 0625 .

Då kan man prova att lösa den grafiskt istället genom att tolka ekvationens led som två separata funktioner och bestämma var graferna till dessa skär varandra.

1

Skriv ekvationens led som funktioner

Skriv ekvationens vänster- och högerled som två separata funktioner:

y = 1, 5^{x} och y = 5, 0625 .

2

Rita graferna till funktionerna

Rita funktionernas grafer för hand, t.ex. med hjälp av värdetabell, eller på grafräknare.

3

Läs av

x -

värden där graferna skär varandra

Lösningen till ekvationen $1, 5^{x} = 5, 0625$ får man genom att läsa av $x -$ värdet för den punkt där graferna skär varandra.

Graferna skär varandra där $x = 4,$ vilket alltså är lösningen på ekvationen. På många grafräknare finns det inbyggda verktyg för att hitta skärningspunkten.

Teori

Lösa ekvation grafiskt med räknare

Att lösa en ekvation grafiskt innebär att man skriver in ekvationens vänster- och högerled som två funktioner och hittar skärningspunktens

x -

värde. Det är ofta praktiskt att använda räknaren för detta.

1

Skriv in funktionerna på räknaren

Ekvationernas led skrivs in som funktioner på räknaren. Det görs genom att först trycka på $Y =$ och sedan skriva in funktionsuttrycken på raderna $Y_{1},$ $Y_{2}$ osv. För att skriva $x$ använder man $X, T, θ, n$

Fönster som visar plot1 plot2 plot3 på en TI82-räknare

2

Rita funktionerna

När funktionerna skrivits in på räknaren trycker man på $GRAPH$ för att rita ut funktionerna i ett koordinatsystem.

Graffönster från TI-82

För att ändra de $x -$ och $y -$ värden som koordinatsystemet ritas mellan kan man trycka på $WINDOW,$ där det finns inställningar för hur koordinatsystemet ska visas.

3

Hitta skärningspunkten

Man kan nu använda räknaren för att hitta skärningspunkten mellan de två graferna. Verktyget som gör detta hittar man genom att först trycka på $2 ND + TRACE$ och sedan intersect.

Graffönster från TI-82

När man har valt intersect visas de graferna igen och man kan nu välja mellan vilka av dem som skärningspunkten ska bestämmas.

First curve: Välj den första grafen genom att trycka på $ENTER .$ Man kan välja mellan graferna med upp- och nedpilarna.
Second curve: Välj den andra grafen.
Guess: För att räknaren ska kunna bestämma skärningspunkten snabbare ber den om en gissning som startpunkt. Placera markören i närheten av skärningspunkten genom att använda höger- och vänsterpilarna och tryck sedan på $ENTER .$

Nu skrivs skärningspunktens $x -$ och $y -$ värde ut och $x$ är ekvationens lösning.

Exempel

Lös ekvationen grafiskt

Lös följande ekvation grafiskt.

x^{3} = 62 + x

Ledtråd

Skriv om varje sida av ekvationen som en separat funktion. Grafa båda och hitta skärningspunkten.

Lösning

Ekvationen är svår att lösa algebraiskt. För att kunna lösa ekvationen grafiskt behöver vi digitala verktyg, exempelvis en grafritande räknare. Vi låter ekvationens led utgöra varsin funktion:

y = x^{3} och y = 62 + x .

Vårt mål är nu att rita upp dessa funktioner på räknaren och sedan läsa av skärningspunkten med räknarens verktyg för detta.

x -

värdet där graferna skär varandra är ekvationens lösning. Börja med att trycka på

Y =

och skriv in funktionsuttrycken.

Tryck sedan på knappen $GRAPH$ för att rita ut funktionerna i ett koordinatsystem. För att ändra de $x -$ och $y -$ värden som koordinatsystemet ritas mellan kan du trycka på $WINDOW,$ där finns inställningar för hur koordinatsystemet visas.

Nu vill vi hitta skärningspunkten mellan graferna, och gör det genom att först trycka på $2 ND + TRACE$ och sedan $5 : intersect .$

Nu visas graferna igen och vi väljer vilken som ska utgöra first curve och second curve (spelar ingen roll hur vi väljer). Till sist gissar vi var skärningspunkten finns med $ENTER .$

Nu skrivs skärningspunktens $x -$ och $y -$ värde ut och $x$ löser ekvationen. Lösningen till vår ekvation är alltså $x = 4 .$

Exempel

Lös olikheten grafiskt

Lös olikheten grafiskt:

x^{2} < 2 x + 15 .

Ledtråd

Skriv om varje sida av olikheten som en separat funktion. Grafa båda och avgör var grafen för vänsterledet ligger under grafen för högerledet.

Lösning

Lösningen till en olikhet är ett intervall. Vi letar alltså efter alla tal

x

som gör att

x^{2}

är mindre än

2 x + 15 .

Vi delar upp vänster- och högerledet till varsin funktion, dvs.

y_{1} = x^{2} och y_{2} = 2 x + 15 .

Vi ritar funktionerna, antingen med digitalt hjälpmedel eller via en värdetabell. Vi hittar skärningspunkterna och läser av när grafen till

y_{1} = x^{2}

är under

y_{2} = 2 x + 15 .

Den blå kurvan är mindre än den röda linjen i intervallet

- 3 < x < 5,

eftersom alla

y -

värden för

x^{2}

är mindre än

y -

värdena för den räta linjen. Om olikheten hade varit

x^{2} \leq 2 x + 15

skulle intervallet inkludera

- 3

och

5

dvs.

- 3 \leq x \leq 5 .

Beskriva funktioner

Beskriva funktioner

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.