Beskriva funktioner

En grafisk lösning innebär att vi ritar ekvationens vänster- och högerled som två funktioner i ett och samma koordinatsystem, dvs. vi ritar y=3x-3 och y=6. Funktionen y = 6 löper vågrätt längs med y-värdet 6. y=3x-3 kan vi rita antingen med hjälp av en värdetabell eller genom att tolka m-värdet som startvärdet och k-värdet som lutningen.

Graferna skär varandra i (3,6). I denna punkt är x-koordinaten lika med 3, vilket är ekvationens lösning.

Kontroll med räknare

Vi använder räknarens grafverktyg. Till att börja med matar vi in vänsterledet och högerledet av ekvationen som två separata funktioner genom att trycka på Y=.

Nu trycker vi på GRAPH för att rita ut funktionerna i ett koordinatsystem. Om vi vill ändra de x- och y-värden som koordinatsystemet ritas mellan trycker vi på WINDOW, där det finns inställningar för hur koordinatsystemet ska visas.

För att hitta skärningspunkten trycker vi nu på CALC (2ND + TRACE) och väljer sedan alternativet intersect i listan genom att klicka på ENTER.

Nu visas graferna igen och vi väljer first curve och second curve med hjälp av piltangenterna och ENTER. Det spelar ingen roll vilken som är vilken. Vi gissar också på den punkt vi tror motsvarar skärningspunkten och klickar ännu en gång på ENTER. Sammanlagt måste vi alltså trycka på ENTER tre gånger.

Skärningspunktens x- och y-värden skrivs nu ut, där x=3 är lösningen till vår ekvation. Detta stämmer bra med vad vi kom fram till tidigare.

Den röda och blå grafen närmar sig varandra ju längre högerut man kommer på x-axeln. De ligger ganska nära varandra så de skär antagligen varandra ganska nära x=3. Efter det befinner sig den röda linjen ovanför den blå. Därför har den röda funktionen sannolikt ett större funktionsvärde vi x=25.

Just nu skär linjen y-axeln vid y=-3. För att den ska gå genom origo vill vi flytta upp den 3 steg.

Det betyder att alla y-värden ökar med 3. Vi ska alltså lägga till 3 för att flytta upp grafen 3 steg. Vi kan skriva det som f(x)+3.

Uttrycket f(0) innebär att vi ska bestämma funktionens y-värde när x=0, dvs. när funktionens graf skär y-axeln. Vi markerar denna punkt koordinatsystemet.

Grafen till f(x) skär y-axeln i punkten (0, - 4). Därför är f(0) = - 4.

Uttrycket g(0) innebär att vi ska bestämma funktionens y-värde när x=0, dvs. när funktionens graf skär y-axeln. Vi markerar denna punkt koordinatsystemet.

Den punkt där grafen till funktionen g(x) skär y-axeln är (0, 1). Det innebär att g(0) = 1.

Ekvationen g(x)=6 innebär att vi tar reda på det x-värde som gör att funktionen g(x) får värdet 6. Vi utgår då från y=6 på y-axeln och går vänsterut mot g(x) tills vi träffar grafen. Därefter läser vi av x-värdet rakt nedanför på x-axeln.

Vi ser att x = - 2 när funktionsvärdet g(x) är lika med 6.

När vi löser ekvationen f(x)=g(x) ska vi hitta det (eller de) x-värden då funktionerna har samma y-värde, dvs. när deras grafer skär varandra. I figuren ser vi att graferna skär i fjärde kvadranten. Vi läser av x-värdet när detta sker.

Graferna skär varandra när x ≈ 1,7.

När linjära funktioner skär varandra innebär det att ena funktionen har gått från att vara mindre till att vara större och vice versa. I värdetabellen har vi markerat den funktion som är störst för aktuellt x-värde med grönt.

Vi ser att det är mellan x=3 och x=5 som f(x) blir större än g(x). Detta innebär att grafen till f(x) har korsat grafen till g(x) någonstans mellan dessa x-värden. Funktionernas grafer skär därför varandra i någon punkt i intervallet 3 < x < 5.

Den givna värdetabellen ger oss fyra punkter för f(x) och fyra punkter för g(x).

Vi markerar dessa i ett koordinatsystem och ritar de båda graferna utifrån dessa. Därefter läser vi av skärningspunktens koordinater.

Funktionerna skär varandra i punkten (4,3).

På räknaren löser vi ekvationer grafiskt genom att först mata in vänster- och högerled som funktioner. Tryck på Y= för att göra det

Funktionerna ritar vi nu ut genom att trycka på GRAPH. Om vi behöver ändra de x- och y-värden som koordinatsystemet ritas mellan trycker vi på WINDOW, där finns inställningar för hur koordinatsystemet ska visas.

För att hitta skärningspunkten trycker vi på CALC (2ND + TRACE) och väljer sedan alternativet intersect i listan genom att klicka på ENTER.

Nu visas graferna igen och vi väljer vilken som ska vara first curve och second curve med hjälp av piltangenterna och ENTER. Vi bestämmer vilken skärningspunkt vi vill börja med genom att ställa markören i närheten av denna då räknaren frågar efter guess. Tryck ENTER så visas den ena skärningspunkten.

Vi antecknar x-värdet -2 och trycker sedan på CALC igen för att göra om proceduren, men nu ställer vi markören i närheten av den andra skärningspunkten då vi gissar.

Vi ser att graferna skär varandra i punkterna (- 2, - 6) och (1, - 6). Det innebär att ekvationens lösningar är x = - 2 och x = 1.

Där graferna skär varandra har funktionerna samma y-värde, dvs. samma kostnad. Vi avläser vid vilket x-värde detta sker.

Linjerna ser ut att skära varandra vid x=11 så om man åker 11km kostar båda bolagen lika mycket.

För att se om ekvationen har någon lösning kan vi skriva höger- och vänsterled som två separata funktioner och undersöka om dessa har någon skärningspunkt. Vi börjar därför med att skriva in funktionerna på räknaren genom att trycka på Y=.

Funktionerna ritar vi ut genom att trycka på GRAPH. Om vi behöver ändra de x- och y-värden som koordinatsystemet ritas mellan trycker vi på WINDOW, där finns inställningar för hur koordinatsystemet ska visas.

Vi ser nu att det inte verkar som att graferna skär varandra. Men för att vara säkra ber vi räknaren kontrollera det åt oss genom att trycka på CALC (2ND + TRACE) och välja alternativet intersect.

Nu visas graferna igen och vi väljer vilken som ska vara first curve och second curve med hjälp av piltangenterna och ENTER. Vi kommer dock inte kunna göra någon bra gissning på skärningspunkt här eftersom vi inte kan se någon, och väljer därför vilken punkt som helst och klickar ENTER. Vi kommer då få felmeddelandet ERR:NO SIGN CHNG, vilket innebär att ingen skärningspunkt har hittats.

Vi kan alltså konstatera att graferna inte skär varandra och att ekvationen alltså inte har någon lösning.

Vi börjar med att rita upp de räta linjerna i ett koordinatsystem med hjälp av räknaren.

Nu trycker vi på GRAPH för att se graferna utritade i ett koordinatsystem. Tryck på WINDOW för att ändra displayens inställningar om det behövs.

Linjerna skär varandra i punkten (2, -1). Olikheten 2x-5 ≥ - x+1 innebär att y_1=2x-5 (positiv lutning) ska, för ett intervall av x-värden, anta större y-värden än y_2=-x+1 (negativ lutning). Om vi utgår ifrån skärningspunkten och fortsätter åt höger ser vi att y_1=2x-5 ligger ovanför y_2=-x+1. Lösningen på olikheten är alltså alla x större än eller lika med 2, dvs. x ≥ 2.

För att avgöra hur lång tid det tar att åka 30km när hastigheten är 70.km /h. måste vi först bestämma vilken av graferna som representerar denna hastighet. Högre hastigheter ger en längre körsträcka för en viss tid, så detta måste innebära att högre hastigheter ger brantare grafer. Den blå grafen hör därför ihop med den lägre hastigheten 70.km /h..

Nu kan vi bestämma hur lång tid det tar att åka 30km. Vi utgår då från (0,30) på y-axeln och går åt höger mot den blå grafen. När vi träffar den blå grafen läser vi av motsvarande x-koordinat rakt nedanför.

Nu ser vi att det tar ca 26 minuter att åka 30km med hastigheten 70.km /h..

Vi börjar med att bestämma hur långt man kommer om man kör med 110.km /h. i 50 minuter. Vi utgår då från (50,0) på x-axeln och går uppåt tills vi träffar den röda grafen. Därefter kan vi läsa av den körda sträckan på y-axeln rakt åt vänster.

På 50 minuter kör man ca 92km när hastigheten är 110.km /h.. Nu utgår vi från samma sträcka på y-axeln och går högerut tills vi träffar den blå grafen. Därefter kan vi läsa av tiden det tar att åka denna sträcka på x-axeln nedanför.

Det tar ca 79 minuter, dvs. ytterligare 79-50=29 minuter att åka samma sträcka när hastigheten är 70.km /h..