body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

1b

Kurs 1b Visa detaljer

6. Beskriva funktioner

Klar med uppgifterna

Fortsätt till nästa lektion

( Ma 1b , Ma 1c ) /

Kapitel 6

6.

Beskriva funktioner

Denna lektion ger en detaljerad förklaring av hur man kan använda värdetabeller och grafer för att beskriva och förstå funktioner. Den tar upp olika metoder för att representera funktioner, inklusive funktionsuttryck, värdetabeller och grafer. Lektionenen förklarar också hur man kan använda dessa verktyg för att lösa ekvationer och olikheter grafiskt. Genom att använda dessa metoder kan man få en bättre förståelse för hur olika funktioner beter sig och hur de kan användas för att lösa matematiska problem.

Inställningar & verktyg för lektion

	10 sidor teori
	26 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Beskriva funktioner

Sida av 10

Några vanliga sätt att representera funktioner är funktionsuttryck (formler), värdetabeller och grafer. Vad man använder beror på vilka egenskaper hos funktionen man är intresserad av.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Funktionsuttryck
Värdetabell
Graf
Värdetabell på räknare
Grafisk lösning
Lösa ekvation grafiskt med räknare

Förkunskaper

Funktion
Koordinat
Koordinatsystem
Formel
Ekvation

Teori

Funktionsuttryck

Ett funktionsuttryck är ett sätt att beskriva en funktion. Det anger en omvandlingsregel eller formel som talar om hur funktionsvärdet beror av olika x-värden. Exempelvis är y=x+3

ett funktionsuttryck som med ord kan beskrivas addera 3 till x-värdet.

Teori

Värdetabell

En värdetabell är ett diagram som hjälper till att organisera och visualisera information. Den används ofta för att visa relationen mellan två variabler.

x	y
0	0
1	3
2	6
3	9
4	12
5	15

I den här tabellen utgör varje x- och y-värde som förekommer i samma rad ett ordnat par. Till exempel motsvarar x-värdet 2 y-värdet 6. Detta representeras vanligtvis med notation (2,6).

Teori

Graf

En graf är ett sätt att beskriva en funktion i ett koordinatsystem. Grafen byggs upp av en mängd punkter som illustrerar funktionen. Klicka på vilken punkt som helst på grafen för att se dess koordinater.

Grafer: f(x)=2x+1, g(x)=-0.5x+2, h(x)=x^2-2.

Grafen i sig visar inte själva funktionsuttrycket vilket är en begränsning. Däremot ger grafen en större överblick av funktionen än formeln då man ser flera par av x- och y-värden samtidigt. Den hjälper till att identifiera viktiga punkter för funktionen som inte tydligt kan ses från den motsvarande funktionsregeln, såsom det maximala eller minimala värdet, skärningen med axlarna, bland andra egenskaper.

Teori

Värdetabell på räknare

Räknaren har ett inbyggt verktyg för att generera en värdetabell utifrån ett funktionsuttryck. Det kan vara tidsbesparande eftersom det krävs många beräkningar att göra det för hand.

1

Ange funktionen

Precis som när man ritar en graf på räknaren börjar man med att trycka på Y= och skriva in funktionsuttrycket.

TI-Meny med funktioner

2

Visa tabellen

Därefter trycker man på TABLE (2ND + GRAPH). Då genereras automatiskt en värdetabell för några olika x-värden. Har man skrivit in ett annat funktionsuttryck på Y_2 kommer y-värdena för den funktionen att visas i kolumnen längst till höger.

3

Justera tabellinställningarna

Om man vill ändra de x-värden som syns i tabellen trycker man på TBLSET (2ND +WINDOW). Där kan man ange vilket x-värde tabellen ska börja på (TblStart) och hur stort avståndet ska vara mellan värdena (ΔTbl). Avståndet anger skillnaden mellan varje x-värde.

TI-Meny med TBLSET

4

Återgå till tabellen och kontrollera värdena

Genom att trycka på TABLE igen uppdateras tabellen.

Exempel

Skissa grafen

Skissa grafen till funktionen y=x^2-1 genom att göra en värdetabell.

Svar

Värdetabell:

x	y	Punkt
-2	3	(-2,3)
-1	0	(-1,0)
0	-1	(0,-1)
1	0	(1,0)
2	3	(2,3)

Graf:

Ledtråd

Välj några x-värden, inklusive både negativa och positiva tal. Beräkna sedan de motsvarande funktionsvärdena.

Lösning

För att göra en värdetabell sätter vi in några valfria x-värden och beräknar motsvarande funktionsvärden. För att inte missa intressant information väljer vi några negativa och några positiva x-värden.

x	x^2-1	y	Punkt
-2	( -2)^2-1	3	(-2,3)
-1	( -1)^2-1	0	(-1,0)
0	0^2-1	-1	(0,-1)
1	1^2-1	0	(1,0)
2	2^2-1	3	(2,3)

Nu ritar vi upp ett koordinatsystem och prickar in punkterna vi tog fram i tabellen.

Till sist sammanbinder vi punkterna med en kurva.

Teori

Grafisk lösning

Vissa ekvationer kan vara svåra att lösa algebraiskt, exempelvis exponentialekvationen 1,5^x=5,0625. Då kan man prova att lösa den grafiskt istället genom att tolka ekvationens led som två separata funktioner och bestämma var graferna till dessa skär varandra.

1

Skriv ekvationens led som funktioner

Skriv ekvationens vänster- och högerled som två separata funktioner: y=1,5^x och y=5,0625.

2

Rita graferna till funktionerna

Rita funktionernas grafer för hand, t.ex. med hjälp av värdetabell, eller på grafräknare.

3

Läs av x-värden där graferna skär varandra

Lösningen till ekvationen 1,5^x=5,0625 får man genom att läsa av x-värdet för den punkt där graferna skär varandra.

Graferna skär varandra där x=4, vilket alltså är lösningen på ekvationen. På många grafräknare finns det inbyggda verktyg för att hitta skärningspunkten.

Teori

Lösa ekvation grafiskt med räknare

Att lösa en ekvation grafiskt innebär att man skriver in ekvationens vänster- och högerled som två funktioner och hittar skärningspunktens x-värde. Det är ofta praktiskt att använda räknaren för detta.

1

Skriv in funktionerna på räknaren

Ekvationernas led skrivs in som funktioner på räknaren. Det görs genom att först trycka på Y= och sedan skriva in funktionsuttrycken på raderna Y_1, Y_2 osv. För att skriva x använder man X,T,θ,n

Fönster som visar plot1 plot2 plot3 på en TI82-räknare

2

Rita funktionerna

När funktionerna skrivits in på räknaren trycker man på GRAPH för att rita ut funktionerna i ett koordinatsystem.

Graffönster från TI-82

För att ändra de x- och y-värden som koordinatsystemet ritas mellan kan man trycka på WINDOW, där det finns inställningar för hur koordinatsystemet ska visas.

3

Hitta skärningspunkten

Man kan nu använda räknaren för att hitta skärningspunkten mellan de två graferna. Verktyget som gör detta hittar man genom att först trycka på 2ND+TRACE och sedan intersect.

Graffönster från TI-82

När man har valt intersect visas de graferna igen och man kan nu välja mellan vilka av dem som skärningspunkten ska bestämmas.

First curve: Välj den första grafen genom att trycka på ENTER. Man kan välja mellan graferna med upp- och nedpilarna.
Second curve: Välj den andra grafen.
Guess: För att räknaren ska kunna bestämma skärningspunkten snabbare ber den om en gissning som startpunkt. Placera markören i närheten av skärningspunkten genom att använda höger- och vänsterpilarna och tryck sedan på ENTER.

Nu skrivs skärningspunktens x- och y-värde ut och x är ekvationens lösning.

Exempel

Lös ekvationen grafiskt

Lös följande ekvation grafiskt. x^3=62 + sqrt(x)

Ledtråd

Skriv om varje sida av ekvationen som en separat funktion. Grafa båda och hitta skärningspunkten.

Lösning

Ekvationen är svår att lösa algebraiskt. För att kunna lösa ekvationen grafiskt behöver vi digitala verktyg, exempelvis en grafritande räknare. Vi låter ekvationens led utgöra varsin funktion: y = x^3 och y = 62+ sqrt(x). Vårt mål är nu att rita upp dessa funktioner på räknaren och sedan läsa av skärningspunkten med räknarens verktyg för detta. x-värdet där graferna skär varandra är ekvationens lösning. Börja med att trycka på Y= och skriv in funktionsuttrycken.

Tryck sedan på knappen GRAPH för att rita ut funktionerna i ett koordinatsystem. För att ändra de x- och y-värden som koordinatsystemet ritas mellan kan du trycka på WINDOW, där finns inställningar för hur koordinatsystemet visas.

Nu vill vi hitta skärningspunkten mellan graferna, och gör det genom att först trycka på 2ND + TRACE och sedan 5:intersect.

Nu visas graferna igen och vi väljer vilken som ska utgöra first curve och second curve (spelar ingen roll hur vi väljer). Till sist gissar vi var skärningspunkten finns med ENTER.

Nu skrivs skärningspunktens x- och y-värde ut och x löser ekvationen. Lösningen till vår ekvation är alltså x=4.

Exempel

Lös olikheten grafiskt

Lös olikheten grafiskt: x^2 < 2x+15.

Ledtråd

Skriv om varje sida av olikheten som en separat funktion. Grafa båda och avgör var grafen för vänsterledet ligger under grafen för högerledet.

Lösning

Lösningen till en olikhet är ett intervall. Vi letar alltså efter alla tal x som gör att x^2 är mindre än 2x+15. Vi delar upp vänster- och högerledet till varsin funktion, dvs. y_1 = x^2 och y_2 = 2x + 15. Vi ritar funktionerna, antingen med digitalt hjälpmedel eller via en värdetabell. Vi hittar skärningspunkterna och läser av när grafen till y_1=x^2 är under y_2=2x+15.

Den blå kurvan är mindre än den röda linjen i intervallet - 3 < x < 5, eftersom alla y-värden för x^2 är mindre än y-värdena för den räta linjen. Om olikheten hade varit x^2≤ 2x+15 skulle intervallet inkludera - 3 och 5 dvs. - 3≤ x ≤ 5.

Beskriva funktioner

Uppgift 3.1

Betrakta olikheten x^2-1 > - x^2+3. Lös olikheten grafiskt och välj rätt alternativ nedan.

Vi börjar med att skriva in vänster- och högerled som funktioner på grafritaren.

Nu trycker vi på GRAPH för att graferna till funktionerna ska ritas ut.

Lösningen till olikheten är de x där vänsterledet är större än högerledet, dvs. när x^2-1 (glad mun) är större än - x^2+3 (ledsen mun). Det händer på två intervall: till vänster respektive till höger om de röda streckade linjerna.

Gränserna för dessa intervall är där graferna skär varandra. Använd räknarens inbyggda verktyg för att hitta skärningspunkterna.

Avläsning i koordinatsystemet ger x-värdena ~ 1,4 och ~-1,4. Olikheten uppfylls alltså när x är mindre än cirka -1,4 och större än ~ 1,4. Vi kan skriva det som x≲ -1,4 och x≳ 1,4.

Betrakta följande graf.

Jack säger att detta är en linjär funktion. Rose säger att det inte är det. Hur kan de ha resonerat, och vem kan ha rätt?

Grafen ser onekligen ut att vara linjär, men vi vet inte hur stor del av den vi faktiskt ser. Det skulle kunna vara mellan x-värdena -0,1 och 0,1 eller mellan -1 000 och 1 000. Vi har heller ingen aning om hur mycket vi kan behöva zooma in eller ut för att se hur grafen beter sig.

I just det här fallet ser vi bara en liten del. Grafen nedan är samma som ovan, men ritad i ett större fönster. Nu ser vi att det inte är en rät linje.

Man ska alltså vara försiktig med att dra generella slutsatser om en funktion om man enbart ser en graf. Fönstret som den är ritad i är ju begränsat och utan funktionsuttrycket vet vi inte hur den beter sig på andra intervall.

Slutsats

Jack har antagligen dragit en slutsats genom att enbart titta på grafen, medan Rose är medveten om att man inte ser hela. Jack kan ha rätt, men det är inte säkert.

Betrakta grafen till y=f(x).

För vilket av alternativen nedan gäller det att 4 < y < 10?

Vi börjar med att markera det område i koordinatsystemet som uppfyller olikheten. 4 < y < 10 betyder alla y större and 4 men mindre än 10, eller alla y mellan 4 och 10. Eftersom 4 och 10 inte ingår intervallet, gör vi gränserna streckade.

Nu kan vi läsa av vilka delar av kurvan som uppfyller olikheten. Det är de delar som är innanför det markerade området.

De x som uppfyller olikheten kan vi nu läsa av på x-axeln.

Olikheten uppfylls alltså när x är mellan -3 och -2, samt mellan 3 och 4. Det kan vi skriva som -3 < x < -2 och 3 < x < 4.

I koordinatsystemet är grafen till funktionen y=- x^3+8x+1 ritad.

Olikheten -4 < - x^3+8x+1 < 7 har tre heltalslösningar. Vilka av följande alternativ är dessa?

Vi vill nu titta på det eller de intervall där y-värdet på - x^3+7x+1 ligger mellan -4 och 7. Vi markerar det i koordinatsystemet.

Vi undersöker varje heltalsvärde för x ett i taget genom att följa grafen. Första vi läser av är x=-3, som ligger innanför intervallet. Vi markerar den som röd. Nästa, x=-2, ligger på y=- 7 och alltså utanför intervallet så vi gör den vit. Fortsätter vi på detta sätt hittar vi att x=- 3, x=0 och eventuellt x=3 finns i intervallet, sista är lite svår att se.

Vi testar att sätta in det i uttrycket och beräknar funktionsvärdet.

När x är 3 är alltså funktionens värde -2, dvs. innanför intervallet. Lösningarna är alltså x=-3, x=0 och x=3. Vi har fått reda på att det bara finns tre lösningar så vi har nu hittat alla.

Rita upp funktionerna f(x)=2x+2, g(x)=-0,5x+2,5 och h(x)=x^2-x+0,75. Markera sedan för vilka x som båda dessa olikheter är uppfyllda: lx^2-x+0,75 < 2x+2 -0,5x+2,5 > x^2-x+0,75.

Vi börjar med att rita graferna till funktionerna med hjälp av en grafritare. Vi trycker då på Y= och skriver in de tre aktuella funktionerna.

Vi ritar dem genom att trycka på GRAPH.

För att lättare kunna förklara vilka områden som motsvarar olikheterna ritar vi av graferna i olika färger.

Titta nu på den första olikheten x^2-x+0,75 < 2x+2. Vänsterledet är h(x) och högerledet är f(x). Lösningen till den är de x där h(x) är mindre än f(x) dvs. när den gröna kurvan befinner sig under den blå.

Den andra olikheten, -0,5+2,5 > x^2-x+0,75, beskriver de x där g(x) är större än h(x), dvs. när den röda linjen befinner sig ovanför den gröna kurvan.

Det intervall som överlappas av båda områdena uppfyller båda olikheterna. Vi ritar in det tillsammans med kurvorna och därmed är vi klara.

Beskriva funktioner

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

>

■2

■▢

e▢

7

8

9

×

÷■1

=

=

√▢

▢√

∫▢▢

4

5

6

+

−

≤

<

log

ln

log▢

1

2

3

()

∣

sin

cos

tan

0

.

π

x

y