Funktioner och Värdetabeller: Hur Man Beskriver Funktioner och Skapar Värdetabeller

$x$	$y$
$0$	$0$
$1$	$3$
$2$	$6$
$3$	$9$
$4$	$12$
$5$	$15$

x

y

0

0

1

3

2

6

3

9

4

12

5

15

$x$	$x^{2} - 1$	$y$	Punkt
$- 2$	$(- 2)^{2} - 1$	3	$(- 2, 3)$
$- 1$	$(- 1)^{2} - 1$	0	$(- 1, 0)$
$0$	$0^{2} - 1$	$- 1$	$(0, - 1)$
$1$	$1^{2} - 1$	0	$(1, 0)$
$2$	$2^{2} - 1$	3	$(2, 3)$

x

x^{2} - 1

y

Punkt

- 2

(- 2)^{2} - 1

(- 2, 3)

- 1

(- 1)^{2} - 1

(- 1, 0)

0

0^{2} - 1

- 1

(0, - 1)

1

1^{2} - 1

(1, 0)

2

2^{2} - 1

(2, 3)

Betrakta olikheten

x^{2} - 1 > - x^{2} + 3 .

Lös olikheten grafiskt och välj rätt alternativ nedan.

A B C D E F G H x < - 1 x \geq 2 x ≲ - 1.4 x \leq 2 x > 1 x ≲ - 2.1 x < - 2 x ≳ 1.4

Vi börjar med att skriva in vänster- och högerled som funktioner på grafritaren.

Nu trycker vi på GRAPH för att graferna till funktionerna ska ritas ut.

Lösningen till olikheten är de x där vänsterledet är större än högerledet, dvs. när x^2-1 (glad mun) är större än - x^2+3 (ledsen mun). Det händer på två intervall: till vänster respektive till höger om de röda streckade linjerna.

Gränserna för dessa intervall är där graferna skär varandra. Använd räknarens inbyggda verktyg för att hitta skärningspunkterna.

Avläsning i koordinatsystemet ger x-värdena ~ 1.4 och ~-1.4. Olikheten uppfylls alltså när x är mindre än cirka -1.4 och större än ~ 1.4. Vi kan skriva det som x≲ -1.4 och x≳ 1.4. Svaret är alltså C och H.

Betrakta följande graf.

Jack säger att detta är en linjär funktion. Rose säger att det inte är det. Hur kan de ha resonerat, och vem kan ha rätt?

Grafen ser onekligen ut att vara linjär, men vi vet inte hur stor del av den vi faktiskt ser. Det skulle kunna vara mellan x-värdena -0.1 och 0.1 eller mellan -1000 och 1000. Vi har heller ingen aning om hur mycket vi kan behöva zooma in eller ut för att se hur grafen beter sig.

I just det här fallet ser vi bara en liten del. Grafen nedan är samma som ovan, men ritad i ett större fönster. Nu ser vi att det inte är en rät linje.

Man ska alltså vara försiktig med att dra generella slutsatser om en funktion om man enbart ser en graf. Fönstret som den är ritad i är ju begränsat och utan funktionsuttrycket vet vi inte hur den beter sig på andra intervall.

Slutsats

Jack har antagligen dragit en slutsats genom att enbart titta på grafen, medan Rose är medveten om att man inte ser hela. Jack kan ha rätt, men det är inte säkert.

Betrakta grafen till $y = f (x) .$

För vilket av alternativen nedan gäller det att

4 < y < 10 ?

A B C D - 2 < x < 2 x > 3 och x < - 3 - 3 < x < - 2 och 3 < x < 4 - 3 < x < - 2 och 2 < x < 3

Vi börjar med att markera det område i koordinatsystemet som uppfyller olikheten. 4 < y < 10 betyder alla y större and 4 men mindre än 10, eller alla y mellan 4 och 10. Eftersom 4 och 10 inte ingår intervallet, gör vi gränserna streckade.

Nu kan vi läsa av vilka delar av kurvan som uppfyller olikheten. Det är de delar som är innanför det markerade området.

De x som uppfyller olikheten kan vi nu läsa av på x-axeln.

Olikheten uppfylls alltså när x är mellan -3 och -2, samt mellan 3 och 4. Det kan vi skriva som -3 < x < -2 och 3 < x < 4.

I koordinatsystemet är grafen till funktionen $y = - x^{3} + 8 x + 1$ ritad.

Ett koordinatsystem med en tredjegradsfunktion utritad

Olikheten

- 4 < - x^{3} + 8 x + 1 < 7

har tre heltalslösningar. Vilka av följande alternativ är dessa?

A B C D E x = - 3 x = - 1 x = 0 x = 2 x = 3

Vi vill nu titta på det eller de intervall där y-värdet på - x^3+7x+1 ligger mellan -4 och 7. Vi markerar det i koordinatsystemet.

Vi undersöker varje heltalsvärde för x ett i taget genom att följa grafen. Första vi läser av är x=-3, som ligger innanför intervallet. Vi markerar den som röd. Nästa, x=-2, ligger på y=- 7 och alltså utanför intervallet så vi gör den vit. Fortsätter vi på detta sätt hittar vi att x=- 3, x=0 och eventuellt x=3 finns i intervallet, sista är lite svår att se.

Vi testar att sätta in det i uttrycket och beräknar funktionsvärdet.

När x är 3 är alltså funktionens värde -2, dvs. innanför intervallet. Lösningarna är alltså x=-3, x=0 och x=3. Vi har fått reda på att det bara finns tre lösningar så vi har nu hittat alla.

Rita upp funktionerna

f (x) = 2 x + 2,

g (x) = - 0.5 x + 2.5

och

h (x) = x^{2} - x + 0.75 .

Markera sedan för vilka

x

som båda dessa olikheter är uppfyllda:

x^{2} - x + 0.75 < 2 x + 2 - 0.5 x + 2.5 > x^{2} - x + 0.75 .

Vi börjar med att rita graferna till funktionerna med hjälp av en grafritare. Vi trycker då på Y= och skriver in de tre aktuella funktionerna.

Vi ritar dem genom att trycka på GRAPH.

För att lättare kunna förklara vilka områden som motsvarar olikheterna ritar vi av graferna i olika färger.

Titta nu på den första olikheten x^2-x+0.75<2x+2. Vänsterledet är h(x) och högerledet är f(x). Lösningen till den är de x där h(x) är mindre än f(x) dvs. när den gröna kurvan befinner sig under den blå.

Den andra olikheten, -0.5+2.5>x^2-x+0.75, beskriver de x där g(x) är större än h(x), dvs. när den röda linjen befinner sig ovanför den gröna kurvan.

Det intervall som överlappas av båda områdena uppfyller båda olikheterna. Vi ritar in det tillsammans med kurvorna och därmed är vi klara.

Beskriva funktioner

Mathleaks

Funktionsuttryck

Värdetabell

Värdetabell på räknare

Graf

Exempel

Skissa grafen

Grafisk lösning

Lösa ekvation grafiskt med räknare

Skriv in funktionerna på räknaren

Rita funktionerna

Hitta skärningspunkten

Exempel

Lös ekvationen grafiskt

Exempel

Lös olikheten grafiskt

Slutsats

Beskriva funktioner

Rekommenderade uppgifter

	10 sidor teori
	19 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.