Andraderivatan: Utforska Konkavitet och Konvexitet i Funktioner

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Konvex
Konkav
Inflexionspunkt
Andraderivata
Andraderivata i stationära punkter

Förkunskaper

Koncept

Konvex och konkav

Om man vill undersöka en grafs utseende kan man studera dess lutning. Med hjälp av begreppen konvex och konkav kan man också undersöka hur lutningen förändras. Om en kurva buktar uppåt säger man att den är konkav, vilket innebär att grafens lutning minskar när man går mot större $x -$ värden. Buktar kurvan istället nedåt är den är konvex, och då ökar kurvans lutning.

Definitionen av en konkav funktion är att om en rät linje dras mellan två godtyckliga punkter på grafen ligger alla punkter på linjen under eller på kurvan. För konvexa funktioner ligger istället alla linjer mellan två punkter ovanför eller på kurvan. Vissa funktioner är konvexa och konkava på olika intervall, exempelvis funktionen i figuren.

Koncept

Inflexionspunkt

Den punkt där en kurva byter från att vara konvex till att vara konkav eller vice versa kallas för inflexionspunkt. Exempelvis är den gul punkten i figuren en inflexionspunkt.

I en terrasspunkt byter kurvor konkavitet, och därför är terrasspunkter alltid inflexionspunkter.

{"codehash":"eea97e373287dd52ac905dfe706a1416"}

{"codehash":"6badeecc337f52239b174ff03bed3ac0"}

Övning

Finding the second derivative

Use the differentiation rules for polynomial functions to find the second derivative of the given function, and evaluate it at the specified value.

Applet that generates random polynomial functions and prompts for their derivatives.

Uppgift

Kopiera och fyll i tabellen.

Produkt	Egenskap för produkten av potenser	Potens	Värde
$7^{- 4} \cdot 7^{4}$

Facit

Produkt	Produkt av potensers egenskap	Potens	Värde
$7^{- 4} \cdot 7^{4}$	$7^{- 4 + 4}$	$7^{0}$	$1$

Ledtråd

Kom ihåg produkten av potensers egenskap och noll exponent-egenskapen.

Lösning

Vi vill fylla i den givna tabellen.

Produkt	Produkt av potensers egenskap	Potens	Värde
$7^{- 4} \cdot 7^{4}$

Vi börjar med produkten av potensers egenskap.

Produkt av potensers egenskap
För att multiplicera potenser med samma bas kan vi addera deras exponenter.

I vårt fall är exponenterna $- 4$ och $4 .$ Deras summa är $- 4 + 4 .$ Låt oss fylla i den andra kolumnen i vår tabell med hjälp av produkten av potensers egenskap!

Produkt	Produkt av potensers egenskap	Potens	Värde
$7^{- 4} \cdot 7^{4}$	$7^{- 4 + 4}$

Härnäst vill vi utvärdera summan i exponenten. Vi vet att $- 4 + 4 = 0 .$ Låt oss sätta den resulterande potensen i tabellen!

Produkt	Produkt av potensers egenskap	Potens	Värde
$7^{- 4} \cdot 7^{4}$	$7^{- 4 + 4}$	$7^{0}$

Slutligen vill vi utvärdera potensen. För att göra detta, kom ihåg noll exponent-egenskapen.

Noll exponenter
För alla nollskilda tal $a,$ $a^{0} = 1 .$ Potensen $0^{0}$ är odefinierad.

Detta betyder att värdet av $7^{0}$ är $1 .$ Nu kan vi fylla i tabellen helt!

Produkt	Produkt av potensers egenskap	Potens	Värde
$7^{- 4} \cdot 7^{4}$	$7^{- 4 + 4}$	$7^{0}$	$1$

Svarsalternativ

Uppgift

Kopiera och komplettera påståendet med

<,

>,

eller

= .

\frac{3}{2} ? ? ? \frac{2 5}{4}

Facit

$<$

Ledtråd

För att slutföra uttrycket, förenkla talen på båda sidor och jämför dem sedan.

Lösning

Vi vill komplettera det givna påståendet med

<,

>,

eller

= .

Låt oss ta en titt på det givna uttrycket.

\frac{3}{2} ? ? ? \frac{2 5}{4}

För att slutföra detta påstående måste vi utvärdera uttrycket på höger sida. Lägg märke till att det är en positiv kvadratrot, vilket betyder att vi inte behöver hitta den negativa roten.

\frac{2 5}{4} \Rightarrow \frac{5}{2}

Vi fann att uttrycket på höger sida är lika med

\frac{5}{2} .

Vi vet att

\frac{5}{2}

är större än

\frac{3}{2} .

Nu är vi redo att slutföra påståendet.

\frac{3}{2} < \frac{2 5}{4}

Extra

Kvadratrotsrepresentation

Låt oss komma ihåg vad vi vet om olika representationer av kvadratrötterna.

Representation	Kvadratrot	Exempel
	Positiv	$4 = 2$
$-$	Negativ	$- 4 = - 2$
$\pm$	Båda	$\pm 4 = 2$ och $- 2$

Det finns ett specialfall vid beräkning av kvadratrötter, talet

0 .

Den enda kvadratroten av

0

är

0 .

Låt oss nu betrakta en något modifierad version av övningen.

\frac{3}{2} ? ? ? - \frac{2 5}{4}

Vi har redan funnit att kvadratroten av

\frac{2 5}{4}

är

\frac{5}{2} .

Men den här gången representerar uttrycket den negativa kvadratroten, så den negativa kvadratroten av

\frac{2 5}{4}

är lika med

- \frac{5}{2} .

Låt oss slutföra den modifierade versionen av uttrycket.

\frac{3}{2} > - \frac{2 5}{4}

Svarsalternativ

Exempel

Determining Extreme Points with the First and Second Derivatives

Consider the following polynomial function.

f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{9}{2} x^{2} + 9 x

Determine the extremum points and their character.

Ledtråd

Compute $f^{'} (x)$ and find its zeros. Then, evaluate the zeros at the second derivative and analyze the sign of the results.

Lösning

To find the extreme points, first find the derivative of

f (x) .

f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{9}{2} x^{2} + 9 x

Derive

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (\frac{1}{4} x^{4}) - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{9}{2} x^{2} + 9 x

DeriveMonomCo

$D (a x^{n}) = a \cdot n x^{n - 1}$

f^{'} (x) = x^{3} - x^{2} - 9 x + 9

The stationary points of the function are the values where the derivative is

0 .

Then, find the zeros of the derivative by setting

f^{'} (x)

equal to

0 .

f^{'} (x) = 0

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

x^{3} - x^{2} - 9 x + 9 = 0

FactorOut

Bryt ut $x^{2} & - 9$

x^{2} (x - 1) - 9 (x - 1) = 0

FactorOut

Bryt ut $(x - 1)$

(x - 1) (x^{2} - 9) = 0

▼

Ange lösningar

ZeroProdProp

Använd nollproduktmetoden

x - 1 = 0 x^{2} - 9 = 0

AddEqn

$(I):$ $VL + 1 = HL + 1$

x = 1 x^{2} - 9 = 0

AddEqn

$(II):$ $VL + 9 = HL + 9$

x = 1 x^{2} = 9

SqrtEqn

$(II):$ $VL = HL$

x = 1 x = \pm 9

CalcRoot

$(II):$ Beräkna rot

x = 1 x = \pm 3

The derivative is equal to

0

x = 1,

x = - 3,

and

x = 3 .

Now, find the second derivative of the function by deriving

f^{'} (x) .

f^{'} (x) = x^{3} - x^{2} - 9 x + 9

Derive

Derivera funktion

f^{''} (x) = D (x^{3}) - D (x^{2}) - D (9 x) + D (9)

DeriveMonomCo

$D (a x^{n}) = a \cdot n x^{n - 1}$

f^{''} (x) = 3 x^{2} - 2 x - 9

The next step is to substitute the zeros of the derivative into

f^{''} (x)

and pay attention to the sign of the result. The substitutions are summarized in the following table.

$x -$ value	$f^{''} (x) = 3 x^{2} - 2 x - 9$	Sign
$1$	$f^{''} (1) = 3 (1)^{2} - 2 (1) - 9 = - 8$	$-$
$3$	$f^{''} (3) = 3 (3)^{2} - 2 (3) - 9 = 12$	$+$
$- 3$	$f^{''} (- 3) = 3 (- 3)^{2} - 2 (- 3) - 9 = 24$	$+$

The second derivative is negative at $x = 1$ which means that $f (x)$ reaches a local maximum at this $x -$ value. On the other hand, the second derivative is positive at $x = 3$ and $x = - 3,$ which means that the function $f (x)$ reaches local minimums at these $x -$ values. Finally, evaluate these $x -$ values into the function to determine the extreme points.

$x -$ value	$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{9}{2} x^{2} + 9 x$	Point	Character
$1$	$f (1) = \frac{1}{4} (1)^{4} - \frac{1}{3} (1)^{3} - \frac{9}{2} (1)^{2} + 9 (1) = \frac{5 3}{1 2}$	$(1, \frac{5 3}{1 2})$	Local maximum
$3$	$f (3) = \frac{1}{4} (3)^{4} - \frac{1}{3} (3)^{3} - \frac{9}{2} (3)^{2} + 9 (3) = - \frac{9}{4}$	$(3, - \frac{9}{4})$	Local minimum
$- 3$	$f (- 3) = \frac{1}{4} (- 3)^{4} - \frac{1}{3} (- 3)^{3} - \frac{9}{2} (- 3)^{2} + 9 (- 3) = - \frac{1 5 3}{4}$	$(- 3, - \frac{1 5 3}{4})$	Local minimum

Exempel

Bestäm extrempunkter med första- och andraderivata

Bestäm extrempunkterna till funktionen

f (x) = - 0, 4 x^{4} + 2 x^{3} + 3

med hjälp av dess första- och andraderivata. Avrunda till två decimaler.

Ledtråd

Beräkna $f^{'} (x)$ och hitta dess nollställen. Utvärdera sedan nollställena i den andra derivatan och analysera tecknet på resultaten. Använd en teckentabell om det behövs.

Lösning

Vi börjar med att derivera funktionen med lämpliga deriveringsregler.

f (x) = - 0, 4 x^{4} + 2 x^{3} + 3

Derive

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (- 0, 4 x^{4}) + D (2 x^{3}) + D (3)

DeriveMonomCo

$D (a x^{n}) = a \cdot n x^{n - 1}$

f^{'} (x) = - 1, 6 x^{3} + 6 x^{2} + D (3)

DeriveConst

$D (a) = 0$

f^{'} (x) = - 1, 6 x^{3} + 6 x^{2}

Vi sätter nu derivatan lika med $0$ och löser ekvationen. På detta sätt hittar vi $x -$ värdena till funktionens stationära punkter.

f^{'} (x) = - 1, 6 x^{3} + 6 x^{2}

Substitute

$f^{'} (x) = 0$

0 = - 1, 6 x^{3} + 6 x^{2}

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

- 1, 6 x^{3} + 6 x^{2} = 0

Denna ekvation löser vi enklast med nollproduktmetoden eftersom vi kan bryta ut $x^{2} .$

- 1, 6 x^{3} + 6 x^{2} = 0

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

x^{2} (- 1, 6 x) + x^{2} \cdot 6 = 0

FactorOut

Bryt ut $x^{2}$

x^{2} (- 1, 6 x + 6) = 0

ZeroProdProp

Använd nollproduktmetoden

x^{2} = 0 - 1, 6 x + 6 = 0 (I) (II)

SqrtEqn

$(I):$ $VL = HL$

x = \pm 0 - 1, 6 x + 6 = 0

SimpRadicalTerm

$(I):$ Förenkla rot & termer

x = 0 - 1, 6 x + 6 = 0

SubEqn

$(II):$ $VL - 6 = HL - 6$

x = 0 - 1, 6 x = - 6

DivEqn

$(II):$ $VL / (- 1, 6) = HL / (- 1, 6)$

x = 0 x = \frac{- 6}{- 1 , 6}

UseCalc

$(II):$ Slå in på räknare

x_{1} = 0 x_{2} = 3, 75

Lösningarna till $f^{'} (x) = 0$ är alltså $x = 0$ och $x = 3, 75,$ och det är för dessa $x -$ värden som funktionen har stationära punkter. Genom att bestämma andraderivatans tecken i punkterna kan vi nu avgöra deras karaktär, dvs. om de är maximi,- minimi- eller terrasspunkter. Vi deriverar därför funktionen ytterligare en gång.

f^{'} (x) = - 1, 6 x^{3} + 6 x^{2}

Derive

Derivera funktion

f^{''} (x) = D (- 1, 6 x^{3}) + D (6 x^{2})

DeriveMonomCo

$D (a x^{n}) = a \cdot n x^{n - 1}$

f^{''} (x) = - 4, 8 x^{2} + 12 x

Vi sätter nu in $x -$ värdena $0$ och $3, 75$ för att bestämma andraderivatans tecken i dessa punkter.

f^{''} (x) = - 4, 8 x^{2} + 12 x

Substitute

$x = 0$

f^{''} (0) = - 4, 8 \cdot 0^{2} + 12 \cdot 0

CalcPow

Beräkna potens

f^{''} (0) = - 4, 8 \cdot 0 + 12 \cdot 0

Multiply

Multiplicera faktorer

f^{''} (0) = 0

När $x = 0$ är alltså andraderivatan $0 .$ Vi räknar sedan ut andraderivatan för $x = 3, 75 .$

f^{''} (x) = - 4, 8 x^{2} + 12 x

Substitute

$x = 3, 75$

f^{''} (3, 75) = - 4, 8 \cdot 3, 75^{2} + 12 \cdot 3, 75

UseCalc

Slå in på räknare

f^{''} (3, 75) = - 22, 5

Andraderivatan är alltså negativ när $x = 3, 75,$ vilket innebär att det finns en maximimipunkt där. När $x = 0$ är andraderivatan istället $0,$ och då vet vi inte vilken sorts stationär punkt som finns där. För att avgöra det blir vi tvungna att göra en teckentabell runt $x = 0 .$ Vi väljer ett $x -$ värde som är lägre än $0,$ t.ex. $- 1,$ och ett som ligger mellan $x = 0$ och $x = 3, 75,$ t.ex. $1$ och undersöker derivatans tecken för dem.

$x$	$f^{'} (x)$	$=$	Tecken
$- 1$	$- 1, 6 \cdot (- 1)^{3} + 6 \cdot (- 1)^{2}$	$7, 6$	$+$
$1$	$- 1, 6 \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1^{2}$	$4, 4$	$+$

Vi får att derivatan är positiv både till vänster och höger om den punkt där $x$ är $0,$ och kan sammanställa detta i en teckentabell.

$x$		$0$
$f^{'} (x)$	$+$	$0$	$+$
$f (x)$	$↗$	Ter.	$↗$

Funktionen har alltså en terrasspunkt där $x$ är $0 .$ Eftersom terrasspunkter inte är extrempunkter kan vi bortse från denna när vi nu bestämmer koordinaterna för extrempunkterna vi har hittat. Vi tar alltså bara hänsyn till maximipunkten i $x = 3, 75 .$ För att bestämma $y -$ värdet sätter vi in $x = 3, 75$ i funktionen $f (x) = - 0, 4 x^{4} + 2 x^{3} + 3 .$

f (x) = - 0, 4 x^{4} + 2 x^{3} + 3

Substitute

$x = 3, 75$

f (3, 75) = - 0, 4 \cdot 3, 75^{4} + 2 \cdot 3, 75^{3} + 3

UseCalc

Slå in på räknare

f (3, 75) = 29, 3671875

RoundDec

Avrunda till $2$ decimal(er)

f (3, 75) \approx 29, 37

Funktionens enda extrempunkt är alltså maximipunkten med koordinaterna $(3, 75; 29, 37) .$

Övning

Finding stationary points of a function

In the following applet, a polynomial function is given. Determine the required stationary point.

	11 sidor teori
	16 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Andraderivata

Förkunskaper

Uppgift

Facit

Ledtråd

Lösning

Svarsalternativ

Uppgift

Facit

Ledtråd

Lösning

Extra

Svarsalternativ

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning

Andraderivata

Rekommenderade uppgifter