Polynom och funktioner

Polynomfunktioner

Teori

En polynomfunktion är en funktion där funktionsuttrycket består av ett polynom, t.ex. p(x)=x217ochq(x)=3x4x+9. p(x)=x^2-17 \quad \text{och} \quad q(x)=3x^4-x+9.

Definitionsmängden för polynomfunktioner är alltid alla reella tal.

Antal nollställen till polynomfunktioner

En polynomfunktions nollställen är de xx-värden där grafen till funktionen skär xx-axeln. Generellt gäller att ett polynom av grad nn maximalt kan ha nn stycken nollställen. Exempelvis kan en tredjegradsfunktion ha 1,1, 2,2, eller 33 nollställen beroende på grafens form och placering i yy-led.

Ett nollställe

Två nollställen

Tre nollställen

Bestämma nollställen till en polynomfunktion

Om man inte har en graf där man direkt kan läsa av nollställena till en polynomfunktion f(x)f(x) kan man istället sätta funktionsuttrycket lika med 00 och algebraiskt lösa polynomekvationen f(x)=0. f(x)=0.

Om ekvationen är av grad 2 kan den t.ex. lösas med pqpq-formeln, men är den av högre grad är det ofta svårt att lösa den generellt. Ibland går det dock att lösa polynomekvationer av högre grad med nollproduktmetoden eller variabelsubstitution. Man kan även utnyttja räknaren för att lösa en sådan ekvation.

Exempel

Bestäm nollställen till tredjegradsfunktionen algebraiskt och grafiskt

Egenskaper hos polynomfunktioner

Utseendet på en polynomfunktions graf beror bl.a. på funktionens grad. Förstagradspolynom, dvs. linjära funktioner, är räta linjer och andragradspolynom har formen av en parabel. Grafer till polynomfunktioner av högre grad, t.ex. tredjegradspolynom och fjärdegradspolynom, vänder ofta flera gånger och kan få mer komplicerade utseenden.

Grafer till polynomfunktioner av grad 1 tom 6

Graferna har dock en del gemensamma egenskaper som kan vara viktiga att känna till.

Lokala och globala extrempunkter

Ett polynom av grad 2,2, dvs. en andragradsfunktion, har alltid en extrempunkt i form av maximi- eller minimipunkt. För polynomfunktioner av högre grad kan det finnas fler extrempunkter. Mer specifikt kan ett polynom av grad nn maximalt ha n1n-1 stycken extrempunkter. Exempelvis har ett polynom av grad 44 maximalt 33 extrempunkter.

Det finns lokala och globala extrempunkter. Alla extrempunkter räknas som lokala, men den punkt där funktionen har sitt största eller minsta värde kallas även för global maximipunkt respektive global minimipunkt. Funktionen ovan har ett globalt maximum men inget globalt minimum, eftersom grafen fortsätter nedåt oändligt långt.

Växande och avtagande

Om en funktion antar större och större yy-värden när man går åt höger kallas det för en växande funktion. Ett exempel på detta är en rät linje med positivt kk-värde. Om funktionen istället antar mindre och mindre yy-värden kallas den för avtagande. Polynomfunktioner av högre grad kan vara växande ()(\nearrow) på vissa intervall och avtagande ()(\searrow) på andra.

Titta på grafen igen. Vid de gröna pilarna är funktionen alltså växande. Det innebär att funktionens yy-värde för ett visst xx-värde alltid är större än eller lika stort som något annat tidigare yy-värde. Detta kan formellt skrivas:

Detta är definitionen av en växande funktion. På motsvarande sätt är definitionen av en avtagande funktion att funktionens yy-värde för ett visst xx-värde alltid är mindre än eller lika med något annat tidigare yy-värde:
Definitionerna för växande och avtagande funktioner gäller bara på intervall eftersom de kräver minst två punkter. Enskilda punkter kan därför inte vara växande eller avtagande.

Terrasspunkter

Ibland kan en växande graf "plana ut" för att därefter fortsätta växa. Punkten där utplaningen sker kallas för en terrasspunkt. Motsvarande gäller för avtagande funktioner som planar ut och sedan fortsätter att avta.

Terrasspunkt

Exempel

Undersök polynomfunktionens graf