8
Årskurs 8 Visa detaljer
5. Volym och begränsningsarea av prismor Åk 8
Fortsätt till nästa lektion
Lektion
Övningar
Tester
Kapitel 3
5. 

Volym och begränsningsarea av prismor Åk 8

Denna lektion kommer lära dig teorin för att helt förstå ämnet, och det finns både uppgifter och självtester för att kontrollera din förståelse.
Inställningar & verktyg för lektion
14 sidor teori
12 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Volym och begränsningsarea av prismor Åk 8
Sida av 14
Tredimensionella figurer som kuber, rätblock och prismor i allmänhet förekommer i olika former överallt i den verkliga världen — en skokartong, en tärning och en mutter är bara några exempel. Att veta hur man hittar volym och ytarea av sådana figurer kan vara mycket användbart för många aspekter av det dagliga livet. Den här lektionen kommer att behandla hur man hittar volymen och ytan av vissa prismor mer i detalj.
  • Volym av ett prisma
  • Begränsningsarean av ett prisma
  • Volym av ett rätblock
  • Begränsningsarea av ett rätblock
  • Volym av en kub
  • Begränsningsarea av en kub
Teori

Volym och Begränsningsarea

Det finns inget universellt sätt att beräkna volymen eller begränsningsarean för ett godtyckligt tredimensionellt objekt. För prismor finns det dock specifika formler för att beräkna dessa egenskaper.

Regel

Volym av ett Prisma

Volymen av ett prisma är lika med produkten av basens area och höjden av prismat
A 3d cube
Denna formel gäller för alla typer av prismor, inklusive sneda prismor.
Teori

Begränsningsarean av ett Prisma

Begränsningsarean för ett prisma med höjd basarea och basomkrets är lika med summan av de två basarean och sidoarean. Sidoarean kan beräknas som produkten av basens omkrets och prismats höjd.

A 3d pentagonal prism
Exempel

En stjärnlampa

Basen på en stjärnformad lampa har en area på kvadratcentimeter och lampan är centimeter hög.
Prisma med stjärnformade baser.
a Hur mycket utrymme upptar lampan?
b Om alla sidor av stjärnorna är centimeter långa, hur mycket material behövs för att bygga lampan?

Ledtråd

a Det utrymme som lampan upptar är dess volym. Observera att lampan är ett prisma.
b Mängden material som behövs för att tillverka lampan är lampans yta. Omkretsen av en polygon är summan av alla dess sidlängder.

Lösning

a Det utrymme som lampan upptar är samma sak som dess volym. Observera att lampan är ett prisma vars baser har formen av en stjärna. Volymen av lampan kan sedan beräknas med hjälp av följande formel för volymen av ett prisma.
Här är arean av basen av prismat och är höjden av prismat. Enligt den givna informationen har basen en area på kvadratcentimeter och lampan är centimeter hög.
Slutligen, substituera dessa värden i formeln för volymen av ett prisma och förenkla för att ta reda på hur mycket utrymme lampan upptar.
Lampan kommer att ta upp ett utrymme på kubikcentimeter.
b Mängden material som behövs för att tillverka lampan är lampans yta. Eftersom lampan är ett prisma, använd formeln för ytan av ett prisma.
Här, är arean av basen av prismat, är omkretsen av basen, och är höjden av prismat. Det är givet att varje bas har en area på kvadratcentimeter, lampan är centimeter hög, och alla sidor av den stjärnformade basen har en längd på centimeter.
Star
Kom ihåg att omkretsen av en polygon är summan av alla dess sidlängder. Stjärnan har sidor. Därför är dess omkrets centimeter. Slutligen, ersätt de motsvarande värdena i formeln för ytan.
Lampan är gjord av kvadratcentimeter material.
Teori

Om Rektangulära Prismor

Volymen av vilket prisma som helst kan hittas genom att multiplicera arean av basen med dess höjd. Beroende på formen av prismat kan formeln dock skrivas om på mer praktiska sätt. Detta gäller för rektangulära prismor.

Regel

Volymen av ett Rektangulärt Prisma

Volymen av ett rektangulärt prisma är lika med produkten av dess dimensioner. Med andra ord är volymen lika med bredden multiplicerat med längden multiplicerat med höjden.

Rektangulärt Prisma
Teori

Begränsningsarea av ett Rektangulärt Prisma

Överväg ett rätblock med en bredd av längd av och höjd av
3d rektanglar prisma
Den Begränsningsarea av rätblocket kan beräknas med hjälp av följande formel.

Exempel

Skobox

Den följande rektangulära skoboxen är centimeter lång, centimeter bred och centimeter hög.
Rektanglar prisma
a Hitta volymen av skoboxen.
b Hur mycket kartong behövs för att bygga boxen?

Ledtråd

a Lådan är ett rektangulärt prism. Volymen av ett rektangulärt prism är lika med produkten av dess dimensioner.
b Mängden kartong som behövs för att bygga boxen är ytan av boxen. Använd formeln för att hitta ytan av ett rektangulärt prism.

Lösning

a Notera att skoboxen är ett rektangulärt prisma med en längd på centimeter, en bredd på centimeter och en höjd på centimeter.
Rektanglar prisma
Volymen av en rektangulär prismat är lika med produkten av dess mått.
Ersätt boxens dimensioner i den tidigare formeln.
Volymen av skoboxen är kubikcentimeter.
b Mängden kartong som behövs för att bygga skoboxen är ytan av boxen. Eftersom boxen är ett rektangulärt prisma kan dess yta hittas med hjälp av följande formel.
Kom ihåg att bredden är centimeter, längden är centimeter och höjden är centimeter. Sätt in dessa mått i denna formel.
Begränsningsarea av prismat är kvadratcentimeter. Detta betyder att kvadratcentimeter kartong behövs för att bygga boxen.
Exempel

En skattkista

Den följande kistan är centimeter lång, centimeter hög och har en volym kubikcentimeter.
Rektanglar prisma
a Hitta bredden på kistan.
b Hur mycket presentpapper behövs för att slå in kistan?

Ledtråd

a Kistan är ett rektangulärt prisma. Volymen av ett rektangulärt prisma är lika med produkten av dess dimensioner. Använd formeln för volymen för att hitta bredden på kistan.
b Mängden presentpapper som behövs är ytan av kistan. Använd formeln för ytan av ett rektangulärt prisma.

Lösning

a Observera att kistan är ett rektangulärt prisma. Volymen av ett rektangulärt prisma är lika med produkten av dess dimensioner — med andra ord, den är lika med bredden multiplicerat med längden multiplicerat med höjden.
The length, height, and volume of the chest are given.
Substituera dessa värden i formeln och lös för bredden på kistan.
Kistan är centimeter bred.
b Mängden presentpapper som behövs för att täcka kistan är lika med kistans yta. Eftersom kistan är ett rektangulärt prisma kan ytan beräknas med följande formel.
Det är givet att längden på kistan är centimeter, höjden är centimeter, och från föregående del är bredden på kistan centimeter. Substituera dessa värden i formeln för att bestämma ytan.
Detta betyder att kvadratcentimeter presentpapper behövs för att slå in kistan.
Teori

Om kuber

Precis som formlerna för volym och ytarea av ett prismat kan anpassas för rätblock, kan dessa formler skrivas om till en mycket enkel formel när det gäller kuber.

Regel

Volym av en Kub

Den volym av en kub är lika med längden av en sida upphöjd till tre. En kub med sidan har en volym av kubiska enheter.

3d kub
Teori

Begränsningsarea av en Kub

Den Begränsningsarea av en kub är lika med sex gånger sidlängden upphöjd till två. En kub med sidlängd har en begränsningsarea av kvadratenheter.

A cube and its net
Exempel

Rubiks kub

Den följande Rubiks kub har sidor som är centimeter långa.
Cube
a Vad är volymen av Rubiks kub?
b Hitta begränsningsarean av Rubiks kub.

Ledtråd

a Volymen av en kub är längden av en sida upphöjd till tre.
b Den begränsningsarean av en kub är sex gånger längden av en sida i kvadrat.

Lösning

a Volymen av en kub är längden av en sida upphöjd till tredje.
Sidornas längd på kuben är centimeter. Ersätt då för i denna formel och förenkla för att hitta volymen av Rubiks kub.
Rubiks kub har en volym av kubcentimeter.
b Ytan av en kub är sex gånger längden av en sida i kvadrat.
Sidorna av Rubiks kub är centimeter långa, så ersätt för i formeln och förenkla för att hitta dess yta.
Rubiks kub har en yta på kvadratcentimeter.
Övning

Hitta volymen och ytarean av prismor

Hitta antingen volymen eller ytarean av det givna prisma.
Random prisms

Extra

Formler

Formlerna för att beräkna volymen eller ytarean av ett prisma, rektangulärt prisma eller kub visas i följande tabell.

Tredimensionell figur Volym Begränsningsarea
Prisma
Rektanglar Prisma
Kub
Exempel

Kapaciteten för en loge

Huvudstrukturen i en loge är meter bred, meter lång och meter hög. Loftet är meter högt.
En byggnads 3d-modell
Vad är ladugårdens volym?

Ledtråd

Volymen av ladugården är summan av volymerna för de övre och nedre delarna. Volymen av ett prisma är arean av basen gånger höjden. För rektangulära prismor är volymen produkten av prismats dimensioner.

Lösning

Ladan kan delas upp i två prisma.

Dimensioner på ladan. Basen är 6 gånger 15 gånger 13 centimeter. Basen på den triangulära prisman har en bas på 6 och en höjd på 5,2 centimeter. Denna prisma är 15 centimeter hög.
Volymen av ladugården är summan av volymerna för de övre och nedre prismorna.
Den nedre prismat är ett rektangulärt prisma. Då är dess volym lika med produkten av dimensionerna på prismat.
Det är givet att den nedre delen är centimeter lång, centimeter bred och centimeter hög. Substituera in dessa värden i formeln för att hitta volymen.
Huvudstrukturen i ladugården har en volym på kubikcentimeter. Nästa steg är att hitta volymen av loftet i ladugården. Det övre prismat är ett triangulärt prisma, så dess volym är produkten av basens area och höjden.
Basen av prismat är en triangel med en bas på centimeter och en höjd på centimeter.
Triangel
Arean för en triangel är hälften av produkten av basen och höjden.
Höjden på det triangulära prismat är densamma som längden på det rektangulära prismat, centimeter. Ersätt triangelns area och höjden på det triangulära prismat i motsvarande formel.
Den övre delen av ladugården har en volym på kubikcentimeter. Lägg slutligen samman volymerna för de övre och nedre delarna för att få ladugårdens totala volym.
Ladan har en volym på kubikcentimeter.
Avslut

Volym och Begränsningsarea av ett Prisma

När det gäller prismor finns det några formler som gör det möjligt att beräkna deras volym och yta. Beroende på vilken typ av prisma det är, ändras formeln något.

Prisma Definition Volym Begränsningsarea
Allmänt Prisma En tredimensionell figur med två identiska och parallella polygoner kallade baser.
Rätblock Ett prisma med sex rektangulära sidor.
Kub Ett prisma med sex kvadratiska sidor.
Även om de första formlerna alltid kan tillämpas, om det anges att prismat är antingen rektangulärt eller kubiskt, kan det vara enklare eller snabbare att använda deras motsvarande formler.
Volym och begränsningsarea av prismor Åk 8
Laddar innehåll