Trigonometri - arcusfunktioner

Tangens för en vinkel är kvoten mellan längden av kateterna. I figuren får vi dock endast en katet och hypotenusa med längderna 12 respektive 13.

Med Pythagoras sats kan vi dock bestämma längden av den motstående kateten. Vi sätter in den närliggande kateten och hypotenusan i formeln och förenklar.

Då vet vi att den motstående kateten är 5 och kan nu beräkna tan(v) med definitionen.

För att gå från tangensvärdet 512 till vinkeln använder vi arctan. Vi slår in detta på räknaren och kommer då ihåg att ha räknaren inställd på grader.

Vi har fått längden på en av kateterna och hypotenusan. Den kända katetlängden är närliggande till v, vilket betyder att vi kan använda cosinus för att bestämma vinkeln. Vi börjar med att ställa upp cosinusvärdet. cos(v)=Närliggande katet/Hypotenusa =12/22 Nu använder vi räknaren för att beräkna vinkeln. Vi använder då funktionen arccos, som på räknaren motsvaras av cos^(-1). Vi trycker därför på 2nd + cos och skriver därefter in 1222. Kom ihåg att avsluta med en högerparentes (en vänsterparentes skrivs in automatiskt när vi skriver in cos^(-1)).

Vinkeln är alltså ungefär 57^(∘).

Alla beräkningar är korrekta, men om vi tittar på den sista raden står det 28^(∘). Stämmer det verkligen? Vi tittar på den första raden i uträkningen och jämför den med definitionen för tangens: tan(v)&=Motstående katet/Närliggande katet [0.5em] tan(40 ^(∘))&=x/33. Vi inser då att x i Kajsas ekvation står för motstående katet, alltså en sträcka. Men i sista raden på uträkningen har hon angivit x i grader. Hon borde ha svarat med en längdenhet, t.ex.. 28 cm, eller 28 le. Enheter är viktiga!

Vi har fått längden på en av kateterna och hypotenusan. Den kända katetlängden är motstående till v, vilket betyder att vi kan använda sinus för att bestämma vinkeln. Vi börjar med att ställa upp sinusvärdet. sin(v)=Motstående katet/Hypotenusa=42/50,5 Nu använder vi arcsin för att beräkna vinkeln.

Med räknaren bestämmer vi nu värdet på v. För att skriva in arcsin på räknaren trycker vi på 2nd och sedan sin. Vi skriver sedan in bråktalet i fråga och avslutar med högerparentes.

Vinkeln är alltså ungefär 56^(∘).

Här har vi fått längden på båda kateterna så vi använder tangens.

Vi beräknar x med räknaren igen, men använder denna gång arctan.

Vinkeln x är alltså ca 21^(∘).

Hypotenusan är alltid mittemot den räta vinkeln, i vårt fall 1,4 m. Längden på den motstående kateten till y är 1,3. Vi använder sinus.

Vi beräknar vinkel y.

Vinkeln y är ungefär 68^(∘).

Här hittar vi en rätvinklig triangel i den större triangeln. Den närliggande kateten och hypotenusan till den är givna så vi använder cosinus för att beräkna vinkeln z.

Även här bestämmer vi vinkeln med hjälp av räknaren.

Vinkeln z är alltså ca 30^(∘).

Gabriella tänker så här.

Felet ligger i att Gabriella har utgått ifrån att triangeln är rätvinklig. Men eftersom det inte anges i uppgiften så får vi inte anta det. Philippa har insett att den informationen saknas och därför är det hon som har rätt.

För att gå från ett sinusvärde till en vinkel ska vi använda arcussinus.

Vi beräknar det sista steget på räknare, och använder då funktionen arcsin genom att trycka på SIN^(-1) (2nd + SIN). Sedan skriver vi in 0.79 och avslutar med högerparentes.

Vi ser att vinkeln är ca 52^(∘).

Här ska vi göra samma sak, men använda arctan. Det spelar ingen roll om vi slår in kvoten 124 på räknaren eller 3, eftersom det är samma sak.

Även här tar vi hjälp av räknaren för att beräkna vinkeln. TAN^(-1) får vi genom knapparna 2nd + SIN.

Vinkeln är ca 72^(∘).

Här väljer vi att behålla kvoten 7879 eftersom vi annars får ett väldigt långt decimaltal.

Vinkeln räknar vi precis som tidigare ut med räknaren, denna gång med COS^(-1).

Denna vinkel är alltså ca 9.1^(∘).

Vi vill hitta värdet av ett uttryck som har flera trigonometriska funktioner. cos ( Arcsin 4/5) För att göra det kommer vi att använda en räknare. Vi trycker på COS och sedan 2ND, följt av SIN. Slutligen introducerar vi värdet 45 och trycker på ENTER. Detta ger oss värdet av cos ( Arcsin 45). Kom ihåg att Arcsin är samma sak som sin^(- 1).

Vi fann att värdet av cos ( Arcsin 45) är 0,6.

Vi kan kontrollera vårt svar genom att göra var och en av beräkningarna separat — beräkna invers sinus av 45 och sedan cosinus av detta resultat. För att göra det trycker vi på 2ND på vår räknare följt av SIN, introducerar värdet 45, och trycker på ENTER.

Invers sinus av 45 är ungefär 53,13^(∘). Nu ska vi beräkna cosinus av 53,13^(∘). För att göra det trycker vi på COS, sätter in värdet 53,13, och trycker på ENTER.

Cosinus av 53,13^(∘) är ungefär 0,6. Eftersom det sista värdet vi använde är avrundat är resultatet något annorlunda än vårt svar. Vi kan dock fortfarande dra slutsatsen att svaret i vår lösning är korrekt.

Vi vill hitta värdet av ett uttryck som har flera trigonometriska funktioner. tan(Cos^(-1) 1) För att göra det kommer vi att använda en räknare. Vi trycker på TAN och sedan 2ND, följt av COS. Slutligen anger vi värdet 1 och trycker på ENTER. Detta ger oss värdet av tan(Cos^(-1) 1).

Vi fann att värdet av tan(Cos^(-1) 1) är 0.

Vi kan kontrollera vårt svar genom att göra varje beräkning separat — beräkna invers cosinus av 1 och sedan tangens av detta resultat. För att göra det trycker vi på 2ND på vår räknare följt av COS, anger värdet 1, och trycker på ENTER.

Invers cosinus av 1 är 0^(∘). Nu ska vi beräkna tangens av 0^(∘). För att göra det trycker vi på TAN, anger värdet 0, och trycker på ENTER.

Vi fick samma svar som i vår lösning. Därför är vårt svar korrekt.