Triangelsatserna som modeller

Vi sammanfattar informationen i texten med en figur. De ska alltså åka från Kappelskär kl. 12.00 till Sundskär vilket tar 35 min. Sedan ska de fika och därefter åka till Furusund för att ta bussen kl. 14.30. Eftersom de färdas med konstant hastighet kan vi behandla tiderna det tar för dem mellan platserna som "sträckor".

Vi börjar med att bestämma tiden t som det tar för dem att åka från Sundskär till Furusund. Det kan vi göra med cosinussatsen eftersom vi känner till en vinkel och två sidor i den triangel som bildas.

Vi är endast intresserade av den positiva lösningen eftersom tiden inte kan vara negativ. Färden från Sundskär till Furusund tar alltså ca 77 min. Till sist beräknar vi den längsta möjliga fikapausen de kan ta. Mellan kl. 12.00 och 14.30 är det 2.5 timmar vilket är 2*60+30=150 min.

Om vi drar bort tiden det tar till Sundskär, 35 min, samt de 77 minuter som det tar mellan Sundskär och Furusund får Helen och Lotta 150-35-77= 38 min på sig att fika.

Anledningen till att vi inte behöver räkna ut de faktiska sträckorna som de färdas är att Helen och Lotta håller en konstant fart. Enligt formeln s=vt ska alla tider i uppgiften multipliceras med farten för att de ska bli sträckor. Om de t.ex. färdas med farten v kan sträckan från Kappelskär till Furusund uttryckas som s=v * 35 = 35v. Men eftersom alla tider då multipliceras med samma faktor kommer den ändå att förkortas bort.

Vi får alltså samma ekvation som om vi inte hade infört v, och därför utelämnar vi den.

Vi beräknar rummets area genom beräkna varje triangels area, som vi kan kalla A_1 och A_2, för sig.

Arean A_1

Arean av denna rätvinkliga triangel kan beräknas med formeln för triangelns area, basen gånger höjden dividerat med 2: A_1=6.08* 5.25/2=15.96. Vardagsrummets ena del har alltså arean 15.96 m^2.

Arean A_2

För att bestämma A_2 kan man använda areasatsen om man känner till två sidor och en mellanliggande vinkel, exempelvis v som är motstående vinkel till diagonalen. Vinkeln kan bestämmas med cosinussatsen om man först beräknar diagonalen, som vi kan kalla x, med Pythagoras sats.

Vi ställer upp satsen och sätter in värdena. Eftersom vi kommer att använda längden x^2 senare i cosinussatsen låter vi bli att dra kvadratroten ur.

Nu kan vi bestämma v med cosinussatsen. Enligt sambandet cos(- v)=cos(v) kommer vi att få en positiv och en negativ vinkel, men vi utesluter den negativa eftersom vi har att göra med positiva vinklar mellan vardagsrummets väggar.

Området A_2 har då följande mått.

Slutligen använder vi areasatsen för att bestämma A_2.

Vi behåller uttrycket i räknaren.

Vardagsrummets totala area

Vardagsrummets totala area är summan av A_1 och A_2: 15.96+13.39509 ... ≈ 29.4 m^2.

Vi inser att vi inte kan klara av detta med två mätningar genom att använda någon av triangelsatserna. Cosinussatsen kräver tre mätningar, en för varje sida. Men Birger inser att han kan hitta en rätvinklig triangel genom att rita in och mäta triangelns höjd.

Med denna metod kan han mäta hypotenusan eller den närliggande kateten i den rätvinkliga triangeln och sedan ställa upp något av sambanden sin(A)= h/Hypotenusan eller tan(A)= h/Närliggande katet. Ur det kan man sedan bestämma A genom att använda arcussinus eller arcustangens.

Målet är alltså att ta reda på längden av det streckade avståndet mellan A och B. Det skulle vi kunna göra med cosinussatsen om vi kände till sträckan BC, eftersom vi då vet två sidor samt vinkeln mellan dem.

För att ta reda på BC börjar vi t.ex. med att bestämma vinkeln BCD. Den är 180^(∘)-60^(∘)=120^(∘) eftersom vi vet att A, C och D ligger längs samma räta linje. Triangelns vinkelsumma ger därefter att vinkeln CBD blir 12^(∘).

Nu använder vi sinussatsen för att bestämma avståndet BC, som vi även kan kalla för d eftersom den är motstående till vinkeln D.

Vi behåller många decimaler för att undvika avrundningsfel. Vi känner alltså nu till sidan d i triangeln ABC.

Det innebär att vi kan bestämma den sökta sidan AB med cosinussatsen.

Avståndet kan inte vara negativt, så vi är endast intresserade av den positiva roten. AB är alltså ca 340 m.

Vi skissar situationen och får då en grön rätvinklig triangel och en blå triangel som inte är rätvinklig. Höjden h kan bestämmas med definitionen av sinus om vi känner till sträckan BT.

För att bestämma BT tittar vi enbart på den blå triangeln. Vinkeln TBA är sidovinkel tillsammans med 70^(∘)-vinkeln, vilket innebär att vinkel TBA måste vara 180^(∘)-70^(∘)=110^(∘). Triangelns vinkelsumma ger oss därefter att den minsta vinkeln i den blå triangeln är 10^(∘).

Nu när vi känner till en sida och alla vinklar i den blå triangeln kan vi bestämma längden av BT, som vi kan kalla a eftersom den är motstående sida till vinkel A, med hjälp av sinussatsen.

Vi sätter in värdena i sinussatsen.

Vi behåller många decimaler för att undvika avrundningsfel.

Nu bestämmer vi höjden med hjälp av sinus.

Enligt Veronicas uppskattning är domkyrkan ca 131.2 meter hög, vilket är ett värde som är ca 11 % större än Wikipedias. En trolig felkälla är att vinklar är svåra att uppskatta exakt med ögonmått.