mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
Expandera meny menu_open Minimera
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open
Trigonometri

Triangelsatserna som modeller

Triangelsatserna är det gemensamma namnet för areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen. Sinus- och cosinussatsen anger samband mellan vinklar och sidor i en godtycklig triangel, medan areasatsen även innefattar triangelns area.

Begrepp

Areasatsen

Enligt areasatsen är en triangels area lika med produkten av två sidor och sinusvärdet för den mellanliggande vinkeln, delat med

Begrepp

Sinussatsen

I en triangel är kvoten mellan sinusvärdet för en vinkel och vinkelns motstående sida konstant. Detta kallas för sinussatsen.

Begrepp

Cosinussatsen

Cosinussatsen anger ett samband mellan triangelns samtliga sidor och en av vinklarna.

fullscreen
Uppgift

I figuren visas två trianglar. Den blå triangeln har arean ae.

Bestäm sidan och vinkeln Avrunda svaren till närmaste heltal.

Visa Lösning
Lösning

När man löser den här typen av problem är det bra att utgå ifrån vad man känner till och vad man söker. Utifrån detta väljer man sedan lämpliga samband eller satser.

Sidan

I den blå triangeln ska vi bestämma sidan Utifrån det vi vet kan vi använda areasatsen. Vi sätter alltså in värdena i satsen och löser ut
Längden av är alltså ca 4 le.

Vinkeln

Nu till den gröna triangeln. Här känner vi till triangelns samtliga sidor och söker en vinkel. Vi kan inte använda sinussatsen eftersom den kräver två vinklar, men cosinussatsen passar bra eftersom problemet innefattar just triangelns samtliga sidor och en vinkel.
Vinkeln är alltså ca
Begrepp

Triangulering

Triangulering är en metod för att bestämma avstånd som är svåra eller omöjliga att mäta direkt, t.ex. för att de är väldigt stora.

Metoden går ut på att mäta vinklar och sidor som är enkla att bestämma och sedan använda trigonometri, exempelvis sinus- eller cosinussatsen, för att beräkna något sökt avstånd. Triangulering används t.ex. för att mäta höjder på byggnader, avstånd till himlakroppar och för att fastställa GPS-positioner.
fullscreen
Uppgift

Vid en viss tidpunkt förhåller sig himlakropparna - till varandra som i bilden. Det är känt att avståndet mellan himlakropparna och är 62 astronomiska enheter (AE) och att vinklarna vid och i figuren är respektive

Bestäm avståndet mellan himlakropparna och Svara med två värdesiffror.

Visa Lösning
Lösning

Vi kan börja med att bestämma den tredje vinkeln, i triangeln med hjälp av triangelns vinkelsumma: Sedan vill vi bestämma som är katet i de två rätvinkliga trianglarna och Vi kallar hypotenusan i den vänstra av dessa för eftersom den är motstående till vinkeln

Vi bestämmer nu så att vi därefter kan räkna ut med definitionen för sinus. Längden av beräknas med sinussatsen eftersom vi känner till vinklarna och samt längden


Nu använder vi definitionen för sinus för att ställa upp uttrycket där vi sätter in värdet på och bestämmer För att undvika avrundningsfel behåller vi många decimaler för värdet på
Avståndet mellan himlakropparna och är alltså ca AE. Om man slår upp värdet på AE får man att det är ca 150 miljoner km, vilket innebär att avståndet är ca miljarder km.
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward