Triangelsatserna som modeller

Vi känner till två av triangelns sidor och söker den tredje. Dessutom känner vi till en av triangelns yttervinklar, med vilken vi kan bestämma en av innervinklarna: 180 ^(∘)-60^(∘)=120^(∘). Det ger oss följande triangel.

Eftersom vi vet längden på två sidor och storleken på en vinkeln kan vi använda cosinussatsen för att lösa ut x. Notera att det är sidan som är motstående den kända vinkeln, dvs. 11, som ska stå i vänsterled när vi sätter in uttryck i satsen. För att förenkla beräkningarna använder vi cosinusvärdet för standardvinkeln 120^(∘) som är -0,5.

Denna andragradsekvation kan vi lösa med pq-formeln.

Eftersom x är en sträcka behöver vi endast bestämma den positiva lösningen: x=- 4,25+8,17389 ... ≈ 3,9 le.

Här kan vi börja med att bilda två figurer genom att dra en linje parallellt med basen y. Nedre delen av figuren bildar då en rektangel och den övre delen bildar en triangel.

Om vi kan ta reda på vinkel v så kan vi bestämma y med sinussatsen, eftersom vi då vet två vinklar och ena motstående sidan. Vinkel v=124^(∘)-90^(∘)=34^(∘) eftersom den är lika stor som det som blir kvar efter att man subtraherat rektangelns hörn.

Nu kan vi enklare se hur vi kan använda sinussatsen för att bestämma y.

Nu vet vi att sträckan y är ca 31,1 le.

Här känner vi till arean av triangeln samt en vinkel, och söker en sida intill denna vinkel. Om vi visste längden av triangelns kortaste sida, som vi kan kalla x, skulle vi kunna använda areasatsen, Area=absin(C)/2,

för att bestämma z. Så hur kan vi ta reda på denna? Jo, vi kan rita in en mindre rätvinklig triangel i övre högra hörnet. Dess längsta katet blir då 10,6 eftersom man kan se hela figuren som en rektangel där motstående sidor är lika långa.

Nu lyfter vi ut och vänder på den lilla blå triangeln. Den markerade vinkeln bildar ett halvt varv tillsammans med vinkeln på 103 ^(∘) vilket innebär att den är 180^(∘)-103^(∘)=77^(∘).

Nu använder vi definitionen av sinus för att bestämma l.

Vi behåller detta värde exakt eftersom vi ska räkna vidare med det. Vi återgår till den röda triangeln och konstaterar att vi nu kan bestämma den sökta sidan z med areasatsen eftersom vi vet värdet på l.

Vi sätter in det vi vet och löser ut z.

Längden på z är alltså 30 le.

Vi kan börja med att rita en skiss över tomten, som har formen av en triangel. Vi namnger vinklarna A-C.

Arean kan beräknas med areasatsen. Då måste vi känna till två sidor och den mellanliggande vinkeln, men vi har ingen vinkel given. Därför bestämmer vi t.ex. vinkel A med hjälp av cosinussatsen. Enligt sambandet cos(- v)=cos(v) kommer vi att få en positiv och en negativ vinkel, men vi utesluter den negativa eftersom vi har att göra med positiva vinklar mellan tomtgränser.

Vi behåller många decimaler för att undvika avrundningsfel. Nu när vi känner till en vinkel kan vi använda denna, samt sidorna på varje sida om vinkeln, för att bestämma arean med areasatsen.

Tomtens area är alltså ca 2 900m^2.

Vi kan konstatera att tygstyckena som visar framstyckena är kongruenta eftersom alla sidor och vinklar är identiska. Genom att beräkna arean av ena tygstycket och multiplicera värdet med 2 får vi deras totala area. För att kunna använda areasatsen delar vi upp ena tygstycket i två trianglar genom att dra en diagonal mellan två motstående vinklar. Eftersom vi ska svara i m^2 gör vi samtidigt om längderna till meter genom att dela dem med 100.

Nu använder vi areasatsen för att beräkna arean av respektive triangel.

Area A_1

Area A_2

Total area

Den totala arean är summan av A_1 och A_2 och eftersom det finns två framstycken måste vi multiplicera summan med 2. 2*(0,10249...+0,17796...)≈ 0,56 m^2 Tillsammans med de 0,84 m^2 som behövs till de övriga delarna av kimonon behöver hon alltså köpa totalt ca 0,84+0,56=1,4 m^2 tyg.

Vi kan börja med att bestämma vinkeln vid skeppet med triangelns vinkelsumma: 180^(∘)-75^(∘)-60^(∘)=45^(∘). Vi vill alltså veta avståndet till segelbåten, dvs. d, som utgör katet i de båda rätvinkliga trianglarna i figuren. Hypotenusan i den vänstra av dessa kan vi kalla för x.

Vi börjar med att bestämma x så att vi därefter kan räkna ut d med definitionen för sinus. Längden av sida x kan beräknas med sinussatsen eftersom vi känner till vinklarna 45^(∘) och 60^(∘) samt längden 100 meter.

För att undvika avrundningsfel behåller vi det exakta värdet på x. Genom att använda definitionen för sinus kan vi räkna ut d.

Avståndet till båten är ca 118 m.

Vi skissar linbanan sett från sidan.

Vi ser att det bildas en triangel. Vi vill bestämma längden av de streckade sidorna, som representerar trapporna. Vi kallar dessa för x och y och bestämmer samtidigt den sista vinkeln i triangeln med hjälp av triangelns vinkelsumma till 180^(∘)-30^(∘)-35^(∘)=115^(∘). Vi kompletterar triangeln med vinkeln och de okända sidlängderna.

Utifrån informationen i uppgiften kan vi använda sinussatsen för att bestämma x och y. Låt oss börja med att bestämma x.

Trapporna i den första etappen är ca 484 m lång. Vi beräknar även trapporna i den andra etappen med sinussatsen.

Trappans totala längd är ca 484+421=905 m lång. Thorvald väljer alltså att ta linbanan istället.

Nu är vi intresserade av höjden, dvs. det vinkelräta avståndet från marken, som vi kallar h. Vi vet att lutningen från marken upp till den första trappan är 15^(∘) och att lutningen mellan första trappan och linbanan är 30^(∘). Vi ritar en figur som visar detta.

Vi kan alltså bilda en rätvinklig triangel med hypotenusan 764 och en vinkel på totalt 45^(∘) i vilken vi söker den motstående kateten. Med denna information kan vi använda definitionen av sinus för att bestämma h.

Monumentet befinner sig ca 540 meter ovanför marken.

Vi börjar med att skissa upp situationen och skriva in det vi känner till. Vi märker ut Kapten Koljas landställe med K.K. och Lilla Fluffs ö med L.F. och låter x vara avståndet mellan punkten där Kolja byter kurs och Lilla Fluffs landställe.

Det bildas då en triangel där vi känner till två sidor och söker den tredje. Vi känner dessutom till vinkeln v som bildas i det övre högra hörnet eftersom den är 180^(∘)-60^(∘)=120^(∘). Med denna information kan vi använda cosinussatsen för att bestämma x.

Nu använder vi pq-formeln.

Eftersom x är en sträcka behöver vi endast bestämma den positiva lösningen: x=- 8,5+ 20,20519 ... ≈ 11,7 km. Den totala sträckan som Kolja kör med båten är alltså ca 17+11,7 = 28,7 km vilket är 28,7-25=3,7 km längre än om han hade kört raka vägen.