Triangelsatserna som modeller

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Triangelsatserna är det gemensamma namnet för areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen. Sinus- och cosinussatsen anger samband mellan vinklar och sidor i en godtycklig triangel, medan areasatsen även innefattar triangelns area.

Begrepp

Areasatsen

Enligt areasatsen är en triangels area lika med produkten av två sidor och sinusvärdet för den mellanliggande vinkeln, delat med 2.2.

Area=absin(C)2\text{Area}=\dfrac{ab\sin(C)}{2}

Begrepp

Sinussatsen

I en triangel är kvoten mellan sinusvärdet för en vinkel och vinkelns motstående sida konstant. Detta kallas för sinussatsen.

sin(A)a=sin(B)b=sin(C)c\dfrac{\sin(A)}{a}=\dfrac{\sin(B)}{b}=\dfrac{\sin(C)}{c}

Begrepp

Cosinussatsen

Cosinussatsen anger ett samband mellan triangelns samtliga sidor och en av vinklarna.

a2=b2+c22bccos(A)a^2=b^2+c^2-2bc \cos(A)

Uppgift

I figuren visas två trianglar. Den blå triangeln har arean 1212 ae.

Bestäm sidan xx och vinkeln v.v. Avrunda svaren till närmaste heltal.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Triangulering

Triangulering är en metod för att bestämma avstånd som är svåra eller omöjliga att mäta direkt, t.ex. för att de är väldigt stora.

Metoden går ut på att mäta vinklar och sidor som är enkla att bestämma och sedan använda trigonometri, exempelvis sinus- eller cosinussatsen, för att beräkna något sökt avstånd. Triangulering används t.ex. för att mäta höjder på byggnader, avstånd till himlakroppar och för att fastställa GPS-positioner.
Uppgift

Vid en viss tidpunkt förhåller sig himlakropparna AA-DD till varandra som i bilden. Det är känt att avståndet mellan himlakropparna BB och CC är 62 astronomiska enheter (AE) och att vinklarna vid BB och CC i figuren är 5858^\circ respektive 73.73^\circ.

Bestäm avståndet xx mellan himlakropparna AA och D.D. Svara med två värdesiffror.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm de okända sidorna.


a


b


c


1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I figuren visas en tomt som har sidlängderna 100100 m, 7070 m och 8585 m. Beräkna tomtens area.

NP-tomt.svg
Nationella provet HT12 3c
1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Karin ska köpa tyg till en kimono som hon ska sy. Hon vet att alla delar utom framstyckena har den totala arean 0.84 m20.84 \text{ m}^2 men hon vet inte hur hon ska beräkna arean av framstyckena. Hon har mätt alla sidor och vinklar och gjort en grov skiss.

Hjälp Karin att beräkna hur mycket tyg hon behöver köpa totalt! Svara i m2\text{m}^2 och avrunda till 11 decimal.

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Två systrar tittar ut mot havet och ser en segelbåt en bit bort. De blir oense om hur långt avståndet till den är. Lillasystern gissar på en miljon meter, medan storasystern som har läst matte 33 och vill imponera lite på sin syster stegar upp en sträcka på 100100 m längs stranden och uppskattar vinklarna till båten i början och slutet av denna till 7575^\circ respektive 60.60^\circ.

Efter lite beräkningar har hon fått fram ett betydligt mer rimligt svar som hon stolt presenterar för sin mindre syster. Vilket avstånd har hon räknat fram? Avrunda svaret till hela meter.

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Linbana.svg

Äventyrarna Björn och Thorvald ska besöka ett monument av sig själva på toppen av ett berg. För att besöka monumentet kan man åka en 764764 meter lång rak linbana upp till toppen alternativt gå i trappor i två etapper precis under linbanan som i figuren. Björn väljer att ta linbanan men Thorvald säger att han vill cykla uppför trapporna i gryningen dagen efter när han har hunnit hämta kraft. Han tänker dock endast cykla om summan av båda etapperna är längre än 11 km. Annars är det lite mesigt.


a

Björn vill hjälpa Thorvald att uppskatta trappans längd. Innan han åker upp på berget mäter han lutningen mellan linbanan och baslägret "Bigfoot" som ligger mellan de två etapperna till 3030^\circ. Väl uppe på toppen uppskattar Björn lutningen mellan linbanan och "Bigfoot" till 35.35^\circ. Kommer Thorvald att cykla uppför trapporna?


b

Trappan upp till "Bigfoot" lutar 1515^\circ mot marken. Hur högt ovanför marken står monumentet? Avrunda till hela meter.

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Kapten Kolja ska åka med sin racerbåt till sin kompis Lilla Fluff som bor på en ö sydost om Koljas sommarställe. Kolja ser på sin GPS att avståndet dit är 2525 km om man åker raka vägen. Han vet dock att det finns ett stort grund längs vägen, så han bestämmer sig för att istället åka 1717 km rakt österut och sedan ta av 6060^\circ åt söder och hålla den kursen tills han är framme. Hur mycket längre blir denna omväg jämfört med om han hade åkt raka vägen?

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En solig och vindstilla vinterdag är Helen och Lotta ute och åker långfärdsskridskor. Klockan 12.0012.00 kommer de fram till Kappelskär. De vet att det tar 3535 minuter att åka från Kappelskär till Sundskär och att det tar 6060 minuter att åka från Kappelskär direkt till Furusund. Bussen från Furusund går kl. 14.30.14.30.


Vinkeln mellan siktlinjerna mot Sundskär och mot Furusund uppskattas till 105105^\circ. De bestämmer sig för att åka till Sundskär och fika och sedan åka raka vägen från Sundskär till Furusund. Hur lång fikapaus kan de ta och ändå hinna med bussen som går 14.30?14.30?
Vi förutsätter att Helen och Lotta färdas med konstant fart.

NP-skridsko.svg
Nationella provet VT99 MaD
2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Daniel och Linda tittar på en lägenhet. Enligt uppgift är vardagsrummet 31.231.2 m2.^2. De vill kontrollera om detta stämmer och mäter väggarna och ritar en skiss över rummet. De vet att ett hörn i rummet är rätvinkligt. Så här ser deras skiss ut.

Vilken area har vardagsrummet enligt Daniels och Lindas skiss?

Nationella provet VT05 MaD
2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Birger ska bestämma vinkeln AA i den skalenliga triangeln och det enda han har tillgång till är en linjal. Han påstår att han kan göra detta med endast två mätningar. Är detta möjligt och i så fall hur?

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Avståndet mellan de två punkterna AA och BB på var sin sida om en sjö ska bestämmas, se figur.

NP-holme.svg

En lantmätare som befinner sig i AA kan inte se BB som skyms av en trädbevuxen holme i sjön. Från de två punkterna CC och D,D, som tillsammans med AA ligger längs en rät linje, kan hon se B.B. Hon mäter upp vinkeln ACBACB till 6060^\circ och vinkeln ADBADB till 4848^\circ samt sträckan ACAC till 220220 m och sträckan CDCD till 110110 m.


Beräkna avståndet AB.AB.

Nationella provet VT11 MaD
2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Veronica M. läser på Wikipedia att Uppsala domkyrka är 118.7118.7 meter hög. Hon vill undersöka hur nära detta värde hon själv kan komma genom mätningar. Hon ställer sig först vid en punkt, A,A, och uppskattar vinkeln till toppen av tornen, T.T. Sedan mäter hon upp avståndet från AA till en ny punkt lite närmare kyrkan, B,B, till 2828 meter. Även vid BB uppskattar hon vinkeln till toppen.

Vilket värde får Veronica på kyrkans höjd h?h? Avrunda svaret till en decimal.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Världens största klocka sitter på tornet Abraj Al Bait i Saudiarabien. Den har en minutvisare som är hela 2222 meter lång. Bestäm arean av den triangel som skapas mellan de tre punkterna spetsen på minutvisaren rör vid när den passerar klockan 55, 77 och 1010. Svara exakt.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
NP-smycken.svg

Armand arbetar som silversmed och hans specialitet är smycken i form av olika geometriska figurer. Han har bestämt sig för att göra ett smycke i form av en triangel. Till sitt förfogande har han en 9.09.0 cm lång silvertråd som han kan böja och klippa.


Armand betecknar triangeln ABCABC och bestämmer sig för att vinkeln AA ska vara 3030^\circ, sidan ABAB 4.24.2 cm och sidan BCBC 3.23.2 cm.


Utred på vilket eller vilka sätt smycket kan utformas.

Nationella provet VT11 MaD
3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hur stor är den markerade vinkeln? Svara med en decimal.

cosinussats för vinkel inuti prisma
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }}
keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}