{{ option.label }} add
menu_book {{ printedBook.name}}
arrow_left {{ state.menu.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
arrow_left {{ state.menu.current.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
Mathleaks
Använd offline
Expandera meny menu_open
Trigonometri

Triangelsatserna som modeller

{{ 'ml-article-collection-answers-hints-solutions' | message }}
tune
{{ topic.label }}
{{tool}}
{{ result.displayTitle }}
{{ result.subject.displayTitle }}
navigate_next

Kanaler

Direktmeddelanden

Triangelsatserna är det gemensamma namnet för areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen. Sinus- och cosinussatsen anger samband mellan vinklar och sidor i en godtycklig triangel, medan areasatsen även innefattar triangelns area.

Begrepp

Areasatsen

Enligt areasatsen är en triangels area lika med produkten av två sidor och sinusvärdet för den mellanliggande vinkeln, delat med 2.

Begrepp

Sinussatsen

I en triangel är kvoten mellan sinusvärdet för en vinkel och vinkelns motstående sida konstant. Detta kallas för sinussatsen.

Begrepp

Cosinussatsen

Cosinussatsen anger ett samband mellan triangelns samtliga sidor och en av vinklarna.

Exempel

Vilken triangelsats ska användas?

fullscreen

I figuren visas två trianglar. Den blå triangeln har arean 12 ae.

Bestäm sidan x och vinkeln v. Avrunda svaren till närmaste heltal.

Visa Lösning expand_more

När man löser den här typen av problem är det bra att utgå ifrån vad man känner till och vad man söker. Utifrån detta väljer man sedan lämpliga samband eller satser.

Sidan x

I den blå triangeln ska vi bestämma sidan x. Utifrån det vi vet kan vi använda areasatsen. Vi sätter alltså in värdena i satsen och löser ut x.
Längden av x är alltså ca 4 le.

Vinkeln v

Nu till den gröna triangeln. Här känner vi till triangelns samtliga sidor och söker en vinkel. Vi kan inte använda sinussatsen eftersom den kräver två vinklar, men cosinussatsen passar bra eftersom problemet innefattar just triangelns samtliga sidor och en vinkel.
Vinkeln v är alltså ca

Begrepp

Triangulering

Triangulering är en metod för att bestämma avstånd som är svåra eller omöjliga att mäta direkt, t.ex. för att de är väldigt stora.

Metoden går ut på att mäta vinklar och sidor som är enkla att bestämma och sedan använda trigonometri, exempelvis sinus- eller cosinussatsen, för att beräkna något sökt avstånd. Triangulering används t.ex. för att mäta höjder på byggnader, avstånd till himlakroppar och för att fastställa GPS-positioner.

Exempel

Triangulera

fullscreen

Vid en viss tidpunkt förhåller sig himlakropparna A-D till varandra som i bilden. Det är känt att avståndet mellan himlakropparna B och C är 62 astronomiska enheter (AE) och att vinklarna vid B och C i figuren är respektive

Bestäm avståndet x mellan himlakropparna A och D. Svara med två värdesiffror.

Visa Lösning expand_more
Vi kan börja med att bestämma den tredje vinkeln, A, i triangeln ABC med hjälp av triangelns vinkelsumma:
Sedan vill vi bestämma x, som är katet i de två rätvinkliga trianglarna ABD och ACD. Vi kallar hypotenusan i den vänstra av dessa för c eftersom den är motstående till vinkeln C.

Vi bestämmer nu c så att vi därefter kan räkna ut x med definitionen för sinus. Längden av c beräknas med sinussatsen eftersom vi känner till vinklarna A och C samt längden a.


Nu använder vi definitionen för sinus för att ställa upp uttrycket
där vi sätter in värdet på c och bestämmer x. För att undvika avrundningsfel behåller vi många decimaler för värdet på c.
Avståndet mellan himlakropparna A och D är alltså ca 67 AE. Om man slår upp värdet på 1 AE får man att det är ca 150 miljoner km, vilket innebär att avståndet x är ca 10 miljarder km.
arrow_left
arrow_right
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward
arrow_left arrow_right
close
Community