Triangelsatserna som modeller

Vi börjar med att rita ut triangeln på klockan. Vi sätter ut punkter vid klockan 5, 7 och 10, och kopplar sedan samman dessa.

Vi känner inte till några vinklar eller sidlängder i den här triangeln, men om vi ritar ut radier från mittpunkten ut till de tre klockslagen kan vi identifiera andra trianglar som vi faktiskt kan säga något om.

Vi börjar med att titta på den triangel som skapas av radierna ut till klockan 10 och 7 samt den som skapas av radierna ut till 7 och 5. Båda dessa trianglar är likbenta eftersom de innehåller två sidor som är radier. Varje timme på klockan tar upp 360^(∘)/12 = 30^(∘), så dessa trianglar har toppvinklar som är 3*30^(∘)= 90^(∘) respektive 2*30^(∘)= 60^(∘).

Radien för cirkeln är 22 m, så två sidor i varje triangel har kända längder. För den rätvinkliga triangeln är kateterna bas och höjd så arean blir 22*22/2=242m^2. Den andra beräknas med areasatsen: 22 * 22 * sin(60^(∘))/2 = 121sqrt(3) m^2. Tillsammans har de två trianglarna alltså arean 242 + 121sqrt(3) m^2. Det är dock inte denna area vi är ute efter, utan den för den ursprungliga triangeln. Men om vi markerar den triangel som skapas av radierna vid klockan 10 och 5 så ser vi att det är precis den del som måste tas bort från de blå trianglarna för att få den gröna.

Vinkeln in mot mittpunkten i denna triangel är 5 * 30^(∘) = 150^(∘), och de två närliggande sidorna är radier, så de har längden 22 m. Det sätter vi in i areasatsen, vilket ger 22 * 22 * sin(150^(∘))/2 = 121 m^2. Subtraherar vi detta från arean för de blå trianglarna får vi arean av den sökta triangeln.

Arean av triangeln är alltså 121(1 + sqrt(3)) m^2.

Vi börjar med att rita en triangel ABC med vinkeln A=30^(∘) och sidorna AB=4.2 cm och BC=3.2 cm.

Nu kan vi bestämma vinkeln vid hörn C med sinussatsen eller cosinussatsen. Vi väljer att använda sinussatsen.

Vinkeln C skulle alltså kunna vara 41^(∘) vilket innebär att den tredje vinkeln är 180^(∘)-30^(∘)-41^(∘)=109^(∘). Nu kan vi även beräkna den sista sidan. Återigen använder vi sinussatsen.

Om C= 41^(∘) är alltså den sista sidan 6.1 cm. Detta ger följande triangel.

Kan smycket se ut så här? Armand har 9 cm silvertråd men omkretsen på denna triangeln blir 6.1+4.2 + 3.2=13.5 cm, Smycket kan alltså inte se ut så här. Men när man bestämmer en vinkel med sinussatsen måste man även undersöka vinkeln 180^(∘)-v. Vinkeln C skulle alltså även kunna vara C=180^(∘)-41^(∘)=139^(∘). Det är dock inte säkert att denna vinkel och den kända skapar en triangel. Vi måste undersöka om det finns tillräckligt med "grader över" till triangelns sista vinkel: B=180^(∘)-139^(∘)-30^(∘)=11^(∘). Det gör det! Det går alltså att skapa ytterligare en triangel. Genom att använda sinussatsen kan vi bestämma den okända sidan i denna triangel.

Nu är den okända sidan 1.2 cm vilket innebär att omkretsen blir 1.2+4.2 + 3.2=8.6 cm. Omkretsen är mindre än 9 cm vilket innebär att materialet räcker till. Det enda utseendet smycket kan ha är alltså som triangeln nedan.

Vinkeln är inuti en triangel, så om vi kan bestämma triangelns tre sidor kan vinkeln bestämmas med cosinussatsen. Sidan BC är redan given, medan de andra två kan hittas genom att rita in fler trianglar och använda Pythagoras sats upprepade gånger.

Sidan AB

Sidan vi är ute efter är hypotenusa i den röda triangeln nedan. Den har en katet som är okänd som vi även ser är hypotenusa i den blå triangeln. Först måste vi alltså bestämma den blå hypotenusan x, och sedan kan den användas för att beräkna AB.

Basen i den blå triangeln är längdskillnaden mellan figurens topp och botten. Eftersom botten är 7 le. och toppen är 5 le. måste basen vara 7-5 = 2 le. Detta kan vi sätta in tillsammans med höjden 4 och hypotenusan x i Pythagoras sats.

Nu när vi har längden x kan vi använda den tillsammans med de andra sidlängderna i den röda triangeln för att beräkna AB.

Sidan AC

Sidan vi är ute efter är hypotenusa i den blå triangeln. I denna triangeln är ena kateten, som vi kallar y, okänd. Denna sida är även hypotenusa i den röda triangeln.

Vi börjar alltså med att använda Pythagoras sats på den röda triangeln så att y kan bestämmas.

Nu kan vi använda Pythagoras sats på den blå triangeln för att bestämma AC.

Nu har vi alla sidlängder i triangeln ABC.

Vinkeln v

När sidlängderna är kända kan cosinussatsen användas. Vinkeln kallar vi v, och vinkelns motstående sidlängd ska stå på andra sidan likhetstecknet. I uppgiftens bild ser vi att BC är den motstående sidan, som är 5 le.

Vinkeln är alltså ungefär 31.6^(∘).