Logga in
| 5 sidor teori |
| 25 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Minispelare aktiv
Andragradsfunktioner kan beskriva många saker i verkligheten, t.ex. en kastparabel som visar banan för en kula som stöts.
Det kan därför vara intressant att undersöka hur några av andragradskurvans egenskaper kan tolkas i en verklig situation.
En andragradskurvas högsta eller lägsta punkt kallas för extrempunkt. Där antar funktionen sitt extremvärde, dvs. sitt största eller minsta y-värde. Detta kan t.ex. representera den högsta höjden över marken för kulan som kastas.
Kurvans skärningspunkt med y-axeln tolkas ofta som kaströrelsens början, och kan därför avläsas som starthöjden över marken när kulan kastas.
Grafens ena nollställe representerar ofta den punkt då det som färdas slår i marken, vilket gör det möjligt att beräkna hur långt kastet är.
Använd pq-formeln: p=−12,q=37
Beräkna kvot
−(−a)=a
x=6
Förenkla potens & produkt
Addera och subtrahera termer
I funktionen f(x)=x2−12x+37 är x2-termen positiv. Grafens form blir då en "glad mun", så (6,1) är en minimipunkt.
x=−2
Beräkna potens
Multiplicera faktorer
Subtrahera termer
Extrempunktens y-värde är −21, och det nås i x=−2. Extrempunkten är alltså (−2,−21).
Räknaren kan användas för att hitta extremvärden till olika typer av funktioner.
Det är viktigt att alla extrempunkter syns i fönstret. Om de inte gör det går det att ändra inställningarna för koordinatsystemet.
Kurvan visas nu igen, och för att räknaren ska kunna bestämma extrempunkten måste man ange tre punkter på kurvan.
Räknaren bestämmer nu närmevärden för extrempunktens koordinater och anger dem längst ner på skärmen.
Funktionen f(x)=3x−0.5x2 beskriver höjden på en tunnelöppning, där x är avståndet från tunnelöppningens vänstra hörn. Både x och f(x) är angivna i meter. Hur bred och hög är tunneln?
Vi börjar därför med att bestämma nollställena. Det gör vi genom att likställa funktionsuttrycket med 0 och lösa ekvationen.
Dela upp i faktorer
Bryt ut x
Använd nollproduktmetoden
(II): VL+0.5x=HL+0.5x
(II): Omarrangera ekvation
(II): VL⋅2=HL⋅2
De två nollställena är alltså x=0 och x=6. Avståndet mellan dem är 6−0=6 meter.
Vi sätter in x=3 för att beräkna höjden.
x=3
Beräkna potens
Multiplicera faktorer
Subtrahera term
Tunneln är 6 meter bred och 4.5 meter hög.
I koordinatsystemet nedan finns tre grafer A, B och C.
Para ihop dessa med följande extrempunkter.Vi läser av extrempunkterna var för sig. Vi börjar med grafen A, som har en maximipunkt där kurvan vänder. Vi läser av x- och y-koordinaterna för den punkten.
Maxpunkten finns alltså vid punkten (2,3). Graf B har ett minimivärde som vi läser av på samma sätt.
Minimipunkten finns vid (-2, 2). Vi läser av den sista grafen, C, som har ett maximum.
Maximipunkten för C finns i punkten (- 3, - 4). Sammanfattningsvis har funktionerna A, B respektive C en maximi-, minimi- respektive maximipunkt vid följande koordinater: A&: (2,3) B&: (- 2, 2) C&: (- 3, - 4).
Avgör utan räknare om andragradsfunktionen har ett maximi- eller minimivärde och bestäm det. Symmetrilinjen är given inom parentes.
Det är tecknet framför x^2-termen som avgör om funktionen har en maximi- eller minimivärde. Här är det positivt, vilket betyder att funktionen har minimivärde. Det antas på symmetrilinjen som är x_s=3. Vi sätter in det.
Funktionen har ett minimivärde som är -2.
Här är tecknet framför x^2-termen negativt, så funktionen har maximivärde. Vi beräknar det genom att sätta in symmetrilinjens x-värde.
Funktionens maximivärde är 17.
Vi fortsätter på samma sätt. Tecknet framför x^2-termen är negativt så grafen har en maximipunkt. Vi sätter in x=0.5 för att beräkna funktionsvärdet där.
Maximivärdet är 0.25.
En raket skjuts från marken. Andragradskurvan i koordinatsystemet beskriver raketens höjd y över marken i meter, t sekunder efter att stubinen har tänts.
När stubinen tänts har raketen fortfarande inte lämnat marken. dvs. y=0. Från grafen ser vi att raketen rör sig uppåt efter 4 sekunder så stubinen måste ha brunnit under denna tid.
y-axeln beskriver raketens höjd över marken i meter. Vi läser av grafens största värde och när det inträffar.
Raketen når 180 meter efter 10 sekunder.
Raketen befinner sig i luften mellan x=4 och x=16, dvs. under 16-4=12 sekunder.
Grafen nedan visar en andragradsfunktion som illustrerar ett kast med en sten. Variabeln x anger avståndet från där stenen kastades och y anger höjden över marken. Både x och y har enheten meter.
Beskriv händelseförloppet utifrån grafen. Hur högt kom stenen?När x=0 kastas stenen. Kurvan skär y-axeln vid ca. y=1.8 vilket innebär att stenen kastas från 1.8 meter ovanför marken. Vi ser även att kurvan når sin högsta punkt i (5,6) vilket innebär att den når 6 meter upp i luften efter att den färdats 5 meter längs marken. Slutligen ser vi att stenen slår ner när den kommit 11 meter från startpunkten.
Avgör utan räknare om funktionen har ett maximi- eller minimivärde och bestäm det.
x^2-termen är negativ, vilket betyder att funktionen har ett maximivärde. För att bestämma det värdet behöver vi symmetrilinjen, men först bestämmer vi nollställena. Symmetrilinjen kommer att ligga mittemellan dem. Nollställena får vi om vi sätter funktionen lika med 0 och löser ekvationen som bildas.
Nollställena är x=-2 och x=2. Mittemellan dem ligger x=0, så det är symmetrilinjen. Vi sätter in det för att beräkna maximivärdet.
Funktionens maximivärde är 4.
x^2-termen är positiv, så funktionen har ett minimivärde. För att bestämma det värdet behöver vi symmetrilinjen, så vi beräknar nollställena med nollproduktmetoden.
Mittemellan x=0 och x=-2 ligger x=-1 så detta är symmetrilinjen. Vi sätter in det i funktionsuttrycket för att bestämma minimivärdet.
Funktionens minimivärde är -1.
Vi börjar återigen med att ta fram symmetrilinjen med samma metod.
Nollställena är x=0 och x=3. Symmetrilinjen ligger mittemellan dessa, så den är x_s=1.5. Vi sätter in det i funktionen för att bestämma extremvärdet.
Extremvärdet är -4.5 Är det ett maximi- eller minimivärde? Vi multiplicerar in 2x i parentesen för att avgöra det: y=2x(x-3)=2x^2-6x. x^2-termen är positiv, vilket betyder att -4.5 är ett minimum.
Avgör om funktionen har ett maximi- eller minimivärde och bestäm extremvärdet. Kontrollera svaret med räknare.
Funktionen f(x) = x^2 + 4x - 9 har ett minimivärde koefficienten 1 framför x^2-termen är positiv: ⌣. För att bestämma minimivärdet börjar vi med att hitta symmetrilinjen. Vi sätter då funktionen till noll, vilket skapar ekvationen x^2 + 4x - 9 = 0. För att bestämma symmetrilinjen använder vi pq-formeln. Det räcker med att förenkla termen framför rotuttrycket, vi behöver alltså inte lösa ekvationen. Därför bryr vi oss inte om att förenkla uttrycket under rottecknet.
Symmetrilinjens x-värde ges av termen framför ±-tecknet, alltså - 2. Eftersom extrempunkten för en andragradsfunktion alltid ligger på symmetrilinjen vet vi att funktionen kommer att anta sitt minsta värde då x = - 2. Vi sätter in det i funktionsuttrycket.
Minimivärdet för funktionen är alltså - 13.
För att kontrollera extrempunkten behöver vi rita grafen. Det gör vi genom att skriva in funktionen via knappen Y= och därefter skissa grafen med GRAPH.
Om grafen inte syns kan man behöva ändra inställningarna för koordinatsystemet. Vi går nu in i CALC-menyn och väljer alternativet "minimum". Vi ställer sedan in "left bound", "right bound" och "guess" och avslutar med ENTER.
Funktionsvärdet i minimipunkten är y=-13 så det är minimivärdet.
Även den här funktionen har ett minimivärde eftersom koefficienten framför x^2-termen är 1. Vi gör på samma sätt som tidigare och börjar med att likställa ekvationen med noll, vilket skapar en ekvation som vi börjar att lösa med pq-formeln.
Symmetrilinjen är alltså x_s = 9. Vi sätter in det i funktionsuttrycket och beräknar minimivärdet för g(x).
Minimivärdet för funktionen är alltså 19. Vi kontrollerar med räknaren på motsvarande sätt som i förra deluppgiften.
Vi ser på displayen att funktionsvärdet i minimipunkten är 19, vilket utgör minimivärdet.
Funktionen h(x) = 80x - 5x^2 + 35 har ett maximum eftersom den har den negativa koefficienten - 5 framför x^2-termen: . Metoden för att räkna ut maxvärdet är samma som i de tidigare uppgifterna. Vi börjar med att sätta funktionen till 0, men innan vi kan använda pq-formeln måste vi skriva om ekvationen vi får på pq-form.
Symmetrilinjen finns alltså vid x = 8. Vi sätter in detta i h(x) för att räkna ut maximivärdet. Kom ihåg att använda den ursprungliga funktionen, inte någon av de förenklade ekvationerna som har dykt upp på vägen.
Maximivärde för h(x) är alltså 355. Vi kontrollerar med räknaren ännu en gång, men väljer nu "maximum".
Även denna gång stämmer det.
Skissa funktionens graf i det givna intervallet med hjälp av en värdetabell.
Använd grafen för att beskriva rutschkanans höjd och längd.
För att rita rutschkanan i koordinatsystemet gör vi en värdetabell för några x-koordinater i intervallet, förslagsvis alla heltalsvärden på x. Vi sätter alltså in x=0, 1, 2 och 3 i funktionen och beräknar. För x=0 får vi följande.
Gör vi på samma sätt med övriga x-värden får vi fyra punkter.
x | f(x) | Punkt |
---|---|---|
0 | 2 | (0,2) |
1 | ~ 0.89 | (1,0.89) |
2 | ~ 0.22 | (2,0.22) |
3 | 0 | (3,0) |
Nu markerar vi dessa koordinater i koordinatsystemet och drar en kurva genom dem.
Vi vet att y-axeln beskriver rutschkanans höjd och x-axeln beskriver dess längd. Grafen skär y-axeln i (0,2) så rutschkanan måste vara 2 meter hög. Vi ser även att grafen slutar i (3,0) så den måste vara 3 meter lång.
Avgör om funktionerna har ett maximi- eller minimivärde och bestäm extremvärdet. Kontrollera svaren med räknare.
Funktionen g(x) = 20x - 5x^2 + 10 har en negativ koefficient framför x^2-termen, vilket innebär att den har ett maximum: . Vi använder metoden för att hitta extremvärden och börjar med att sätta funktionen lika med 0 . Sedan skriver vi om ekvationen på pq-form.
Nu kan vi använda pq-formeln för att hitta symmetrilinjens x-värde. Vi beräknar det som står framför rotuttrycket.
Symmetrilinjen finns vid x = 2. Vi sätter in detta i funktionen och beräknar maximivärdet.
Det största värdet för g(x) är 30. Vi använder räknarens verktyg för min/max för att kontrollera svaret. Om grafen inte syns kan man behöva ändra inställningarna för koordinatsystemet.
Vi kan se att maximivärdet är 30, så vår egen lösning var korrekt.
Vi gör samma sak för h(x) = 10x^2 - 40x - 20, som har ett minimum på grund av den positiva koefficienten 10 framför x^2. Vi sätter funktionen till 0 och skriver om till pq-form.
Nu kan vi se att vi har fått precis samma ekvation som i förra uppgiften. Den symmetrilinjen beräknade vi till x = 2, så det finns ingen anledning att räkna ut den igen. De två andragradsfunktionerna g(x) och h(x) är alltså centrerade runt samma x-värde, men h(x) har ett minimum. Vi räknar ut detta genom att sätta in x = 2.
Minimivärdet för funktionen h(x) är alltså - 60. Vi kontrollerar genom att använda samma metod som i föregående deluppgift.
Vi ser att även denna gång överensstämmer vår egen beräkning av minimipunkten med räknarens.
Eftersom koefficienten framför x^2-termen är positiv måste andragradsfunktionen ha ett minimum:
2x^2 + 280 = 0.
Nu skulle vi kunna använda samma metod som i tidigare uppgifter, men vi kan också resonera oss fram till svaret. Vi vet att det minsta värdet som termen 2x^2 kan anta är 2 * 0=0, eftersom en kvadrat aldrig blir negativ. Därför måste det minsta värdet bli
0 + 280 = 280.
Genom att använda samma metod som tidigare kan vi kontrollera lösningen med räknare. Här behöver vi ändra inställningarna med WINDOW eftersom kurvans minsta punkt ligger ganska högt upp. Koordinatsystemet i figuren har x_\text{min}=-15, x_\text{max}=15, y_\text{min}=-20, y_\text{max}=500 och y_\text{scale}=50.
Vi kan även använda samma metod som i föregående uppgifter. Eftersom ekvationen saknar x-term är p=0.
Symmetrilinjen finns vid x = 0. Vi sätter in detta i funktionen och beräknar maximivärdet.
Minimivärdet är alltså 280.