Tolka andragradsfunktioner: Extrempunkter och symmetrilinje

Videolektion

Mathleaks

Minispelare aktiv

Begrepp

Andragradsfunktioner som modeller

Andragradsfunktioner kan beskriva många saker i verkligheten, t.ex. en kastparabel som visar banan för en kula som stöts.

Det kan därför vara intressant att undersöka hur några av andragradskurvans egenskaper kan tolkas i en verklig situation.

Begrepp

Kurvans extremvärde

En andragradskurvas högsta eller lägsta punkt kallas för extrempunkt. Där antar funktionen sitt extremvärde, dvs. sitt största eller minsta $y$ -värde. Detta kan t.ex. representera den högsta höjden över marken för kulan som kastas.

Begrepp

Skärningspunkten med y-axeln

Kurvans skärningspunkt med $y$ -axeln tolkas ofta som kaströrelsens början, och kan därför avläsas som starthöjden över marken när kulan kastas.

Begrepp

Eventuella nollställen

Grafens ena nollställe representerar ofta den punkt då det som färdas slår i marken, vilket gör det möjligt att beräkna hur långt kastet är.

Metod

Bestäm extrempunkt för en andragradsfunktion

För att hitta extrempunkten för en andragradsfunktion, t.ex.

f (x) = x^{2} - 12 x + 37,

använder man att den punkten alltid ligger på symmetrilinjen.

Bestäm symmetrilinjen för funktionen

Med valfri metod hittar man först symmetrilinjen till andragradsfunktionen. Man kan t.ex. sätta funktionsuttrycket lika med

0

och använda

p q

-formeln.

x^{2} - 12 x + 37 = 0

UsePQ

Använd $p q$ -formeln: $p = - 12, q = 37$

x = - \frac{- 1 2}{2} \pm (\frac{- 1 2}{2})^{2} - 37

CalcQuot

Beräkna kvot

x = - (- 6) \pm (\frac{- 1 2}{2})^{2} - 37

NegNeg

$- (- a) = a$

x = 6 \pm (\frac{- 1 2}{2})^{2} - 37

Värdet framför rotuttrycket är

6,

så

x_{s} = 6 .

Sätt in

x

-värdet för symmetrilinjen i funktionen

Eftersom symmetrilinjen alltid går genom extrempunkten sätter man in

x

-värdet för den och beräknar funktionsvärdet där.

f (x) = x^{2} - 12 x + 37

Substitute

$x = 6$

f (6) = 6^{2} - 12 \cdot 6 + 37

SimpPowProd

Förenkla potens & produkt

f (6) = 36 - 72 + 37

AddSubTerms

Addera och subtrahera termer

f (6) = 1

Funktionens extrempunkt är alltså

(6, 1) .

Avgör typ av extrempunkt

I funktionen $f (x) = x^{2} - 12 x + 37$ är $x^{2}$ -termen positiv. Grafens form blir då en "glad mun", så $(6, 1)$ är en minimipunkt.

Bestäm extrempunkten för andragradsfunktionen med hjälp av symmetrilinje

fullscreen

Bestäm extrempunkten till

y = 3 x^{2} + 12 x - 9

och avgör om det är en maximi- eller minimipunkt.

Visa Lösning

Exempel

Extrempunkt

För att hitta extrempunkten till funktionen kan vi använda

p q

-formeln för att först bestämma symmetrilinjen. Vi sätter funktionsuttrycket lika med

0

och skriver ekvationen på

p q

-form.

y = 3 x^{2} + 12 x - 9

Substitute

$y = 0$

0 = 3 x^{2} + 12 x - 9

DivEqn

$VL / 3 = HL / 3$

0 = x^{2} + 4 x - 3

Genom att använda

p q

-formeln kan vi läsa av symmetrilinjen.

x^{2} + 4 x - 3 = 0

UsePQ

Använd $p q$ -formeln: $p = 4, q = - 3$

x = - \frac{4}{2} \pm (\frac{4}{2})^{2} - (- 3)

CalcQuot

Beräkna kvot

x = - 2 \pm (\frac{4}{2})^{2} - (- 3)

Symmetrilinjen är alltså

x_{s} = - 2

vilket betyder att detta är

x

-värdet för extrempunkten. Vi sätter in det i funktionen för att bestämma

y

-koordinaten.

y = 3 x^{2} + 12 x - 9

Substitute

$x = - 2$

y = 3 (- 2)^{2} + 12 (- 2) - 9

CalcPow

Beräkna potens

y = 3 \cdot 4 + 12 (- 2) - 9

Multiply

Multiplicera faktorer

y = 12 - 24 - 9

SubTerms

Subtrahera termer

y = - 21

Extrempunktens $y$ -värde är $- 21,$ och det nås i $x = - 2 .$ Extrempunkten är alltså $(- 2, - 21) .$

Exempel

Maximi- eller minimipunkt?

Koefficienten framför

x^{2}

i funktionen

y = 3 x^{2} + 12 x - 9

är

3,

alltså positiv. Det innebär att extrempunkten

(- 2, - 21)

är en minimipunkt.

Digitala verktyg

Hitta extremvärde med räknare

Räknaren kan användas för att hitta extremvärden till olika typer av funktioner.

Digitala verktyg

Skriv in funktionen på räknaren

Man börjar med att skriva in den funktion som man söker extremvärdet för i räknaren. Det gör man genom att trycka på knappen Y= och fylla i funktionen på en av raderna

Y_{1}

Y_{2}

osv. För att skriva

x

använder man knappen

X, T, θ, n .

Digitala verktyg

Rita funktionen

Efter att funktionen skrivits in på räknaren trycker man på GRAPH för att rita ut den.

Det är viktigt att alla extrempunkter syns i fönstret. Om de inte gör det går det att ändra inställningarna för koordinatsystemet.

Digitala verktyg

Bestäm extrempunkter

För att bestämma extrempunkter trycker man först på CALC (2nd + TRACE) och väljer sedan "minimum" eller "maximum" beroende på om man söker en minimi- eller maximipunkt.

Kurvan visas nu igen, och för att räknaren ska kunna bestämma extrempunkten måste man ange tre punkter på kurvan.

Left Bound: Ange en punkt till vänster om extrempunkten genom att använda räknarens höger- och vänsterpilar eller genom att skriva in ett $x$ -värde med sifferknapparna. Denna punkt anger det minsta $x$ -värdet i intervallet där räknaren letar efter extrempunkten. Tryck sedan på ENTER.

Right Bound: Ange en punkt till höger om extrempunkten på samma sätt som tidigare och tryck sedan på ENTER. Denna punkt anger det största $x$ -värdet i intervallet där räknaren letar efter extrempunkten.

Guess: Ange till sist en punkt i närheten av extrempunkten så att räknaren har en startpunkt när den utför sin sökning. Avsluta med ENTER.

Räknaren bestämmer nu närmevärden för extrempunktens koordinater och anger dem längst ner på skärmen.

För att hitta flera olika extrempunkter upprepar man proceduren.

Tolka andragradsfunktionen

fullscreen

Funktionen $f (x) = 3 x - 0.5 x^{2}$ beskriver höjden på en tunnelöppning, där $x$ är avståndet från tunnelöppningens vänstra hörn. Både $x$ och $f (x)$ är angivna i meter. Hur bred och hög är tunneln?

Visa Lösning

Exempel

Tunnelns bredd

Bredden är avståndet mellan nollställena.

Vi börjar därför med att bestämma nollställena. Det gör vi genom att likställa funktionsuttrycket med 0 och lösa ekvationen.

3 x - 0.5 x^{2} = 0

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

x \cdot 3 - x \cdot 0.5 x = 0

FactorOut

Bryt ut $x$

x (3 - 0.5 x) = 0

ZeroProdProp

Använd nollproduktmetoden

x = 0 3 - 0.5 x = 0 (I) (II)

AddEqn

$(II):$ $VL + 0.5 x = HL + 0.5 x$

x = 0 3 = 0.5 x

RearrangeEqn

$(II):$ Omarrangera ekvation

x = 0 0.5 x = 3

MultEqn

$(II):$ $VL \cdot 2 = HL \cdot 2$

x_{1} = 0 x_{2} = 6

De två nollställena är alltså $x = 0$ och $x = 6 .$ Avståndet mellan dem är $6 - 0 = 6$ meter.

Exempel

Tunnelns höjd

Eftersom kurvan är symmetrisk finns högsta punkten mittemellan nollställena dvs. där

x = 3 .

Vi sätter in $x = 3$ för att beräkna höjden.

f (x) = 3 x - 0.5 x^{2}

Substitute

$x = 3$

f (3) = 3 \cdot 3 - 0.5 \cdot 3^{2}

CalcPow

Beräkna potens

f (3) = 3 \cdot 3 - 0.5 \cdot 9

Multiply

Multiplicera faktorer

f (3) = 9 - 4.5

SubTerm

Subtrahera term

f (3) = 4.5

Tunneln är $6$ meter bred och $4.5$ meter hög.

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Exempel

Bestäm extrempunkten för andragradsfunktionen med hjälp av symmetrilinje

Exempel

Tolka andragradsfunktionen