Tolka andragradsfunktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Andragradsfunktioner som modeller

Andragradsfunktioner kan beskriva många saker i verkligheten, t.ex. en kastparabel som visar banan för en kula som stöts.

Shotputter.svg

Det kan därför vara intressant att undersöka hur några av andragradskurvans egenskaper kan tolkas i en verklig situation.

Begrepp

Kurvans extremvärde

En andragradskurvas högsta eller lägsta punkt kallas för extrempunkt. Där antar funktionen sitt extremvärde, dvs. sitt största eller minsta yy-värde. Detta kan t.ex. representera den högsta höjden över marken för kulan som kastas.

Shotputter i koordsys.svg
Begrepp

Skärningspunkten med y-axeln

Kurvans skärningspunkt med yy-axeln tolkas ofta som kaströrelsens början, och kan därför avläsas som starthöjden över marken när kulan kastas.

Shotputter i koordsys skärn yaxel.svg
Begrepp

Eventuella nollställen

Grafens ena nollställe representerar ofta den punkt då det som färdas slår i marken, vilket gör det möjligt att beräkna hur långt kastet är.

Shotputter i koordsys nollställe.svg
Metod

Bestäm extrempunkt för en andragradsfunktion

För att hitta extrempunkten för en andragradsfunktion, t.ex.

f(x)=x212x+37, f(x) = x^2 - 12x + 37, använder man att den punkten alltid ligger på symmetrilinjen.

Med valfri metod hittar man först symmetrilinjen till andragradsfunktionen. Man kan t.ex. sätta funktionsuttrycket lika med 00 och använda pqpq-formeln.

x212x+37=0x^2 - 12x + 37=0
x=--122±(-122)237x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{\text{-} 12}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{\text{-} 12}}{2}\right)^2-{\color{#009600}{37}}}
x=-(-6)±(-122)237x=\text{-} (\text{-} 6)\pm\sqrt{\left(\dfrac{\text{-} 12}{2}\right)^2 - 37}
x=6±(-122)237x=6\pm\sqrt{\left(\dfrac{\text{-} 12}{2}\right)^2 - 37}

Värdet framför rotuttrycket är 6,6,xs=6.x_s = 6.

Eftersom symmetrilinjen alltid går genom extrempunkten sätter man in xx-värdet för den och beräknar funktionsvärdet där.
f(x)=x212x+37f(x) = x^2 - 12x + 37
f(6)=62126+37f({\color{#0000FF}{6}}) = {\color{#0000FF}{6}}^2 - 12 \cdot {\color{#0000FF}{6}} + 37
f(6)=3672+37f(6) = 36 - 72 + 37
f(6)=1f(6) = 1

Funktionens extrempunkt är alltså (6,1).(6,1).

I funktionen f(x)=x212x+37f(x)=x^2-12x+37 är x2x^2-termen positiv. Grafens form blir då en "glad mun", så (6,1)(6,1) är en minimipunkt.

Uppgift
Bestäm extrempunkten till y=3x2+12x9y=3x^2+12x-9 och avgör om det är en maximi- eller minimipunkt.
Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Funktionen f(x)=3x0.5x2f(x)=3x-0.5x^2 beskriver höjden på en tunnelöppning, där xx är avståndet från tunnelöppningens vänstra hörn. Både xx och f(x)f(x) är angivna i meter. Hur bred och hög är tunneln?

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm koordinaterna för grafernas extrempunkter, samt typ av extrempunkt.

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Avgör utan räknare om följande andragradsfunktioner har ett maximi- eller minimivärde och bestäm det. Symmetrilinjen är given inom parentes.

a

y=x26x+7y=x^2-6x+7 \quad (xs=3x_s=3)

b

y=-2x2+12x1y=\text{-}2x^2+12x-1 \quad (xs=3x_s=3)

c

y=5x5x21y=5x-5x^2-1 \quad (xs=0.5x_s=0.5)

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En raket skjuts från marken. Andragradskurvan i koordinatsystemet beskriver raketens höjd yy över marken i meter, tt sekunder efter att stubinen har tänts.


a

Hur lång tid brinner stubinen?

b

Hur högt upp når raketen och när sker detta?

c

Hur länge befinner sig raketen i luften?

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Grafen nedan visar en andragradsfunktion som illustrerar ett kast med en sten. Variabeln xx anger avståndet från där stenen kastades och yy anger höjden över marken. Både xx och yy har enheten meter.


a

Andragradsfunktionen är inte en bra beskrivning för alla xx och y.y. Gör en ny graf som tar hänsyn till begränsningarna.

b

Avgör stenens startpunkt, högsta punkt och slutpunkt och beskriv kastet utifrån detta.

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Avgör utan räknare om följande funktioner har ett maximi- eller minimivärde och bestäm det.


a

y=4x2y=4-x^2

b

y=x2+2xy=x^2+2x

c

y=2x(x3)y=2x(x-3)

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Avgör om funktionerna har ett maximi- eller minimivärde och bestäm extremvärdet. Kontrollera svaren med räknare.


a

f(x)=x2+4x9f(x) = x^2 + 4x - 9

b

g(x)=x218x+100g(x) = x^2 - 18x + 100

c

h(x)=80x5x2+35h(x) = 80x - 5x^2 + 35

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I intervallet 0x30 \leq x \leq 3 kan andragradsfunktionen f(x)=29(x3)2 f(x)=\dfrac{2}{9}(x-3)^2 användas för att beskriva hur en rutschkana ser ut, där xx anger rutschkanans längd längs marken och yy anger dess höjd.


a

Skissa funktionens graf i det givna intervallet med hjälp av en värdetabell.

b

Använd grafen för att beskriva rutschkanans höjd och längd.

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Avgör om funktionerna har ett maximi- eller minimivärde och bestäm extremvärdet. Kontrollera svaren med räknare.

a

f(x)=20x5x2+10f(x) =20x - 5x^2 + 10

b

g(x)=10x240x20g(x) = 10x^2 - 40x - 20

c

h(x)=2x2+280h(x) = 2x^2 + 280

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En groda hoppar mellan två näckrosblad. Grodans hoppbana följer andragradsfunktionen f(x)=-x(x1)f(x)=\text{-} x(x-1) där f(x)f(x) är höjden i meter över bladen och xx beskriver längden i meter mätt från det första bladet. Lös uppgifterna utan räknare.

a

Hur långt hoppar grodan?

b

Hur högt hoppar grodan?

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Didrik har klättrat upp på en klippavsats och därifrån sparkar han en sten ner till marken nedanför. Grafen visar banan som stenen följer, där xx anger hur långt stenen sparkats och yy anger stenens höjd mätt från avsatsen. Både xx och yy är angivna i meter.

Kastet följer andragradsfunktionen f(x)=-x(x16)16.f(x)=\dfrac{\text{-} x(x-16)}{16}.

a

Hur hög är avsatsen?

b

Hur långt sparkades stenen?

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En basketboll kastas mot en basketkorg som sitter 33 meter ovanför golvet. Basketspelaren står 44 meter ifrån basketkorgen och bollen kastas 22 meter ovanför marken. Bollen når sin högsta punkt 2.252.25 m från spelaren. Skissa en kastparabel i ett koordinatsystem som beskriver bollens färd genom luften om vi förutsätter att den går i basketkorgen och att xx visar avstånd från korgen direkt i meter och yy visar höjden över golvet i meter.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En dal i en bergochdalbana kan approximeras med andragradsfunktionen h(x)=0.038x22.44x+50,h(x)=0.038x^2-2.44x+50, där h(x)h(x) är höjden över marknivån. xx mäts längs marken och är avståndet i meter ifrån den första vagnens position (se figur).

Uppg1253 1.svg

Hur högt över marken befinner sig vagnarna när de är i den lägsta punkten?

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ett företag som tillverkar hörlurar har räknat ut att inkomsten per par hörlurar beror på hur många som har tillverkats enligt I(x)=2000.05x, I(x) = 200 - 0.05x, där xx är antalet tillverkade hörlurar.


a

Vad blir den totala inkomsten om företaget tillverkar 100100 par hörlurar?

b

Vad blir den totala inkomsten om de tillverkar xx hörlurar?

c

Hur mycket kan företaget maximalt tjäna på sin tillverkning?

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För funktionen f(x)=x2+4x5,f(x) = x^2 +4x - 5,

a

bestäm definitionsmängden.

b

bestäm värdemängden.

Lös uppgiften utan räknare.

2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Familjen Johansson ska bygga en hage åt sina hästar. De har köpt tillräckligt med byggmaterial för att skapa en inhägnad med 2828 meters omkrets. Vilken bredd och längd ska hagen ha för att maximera arean? Lös uppgiften utan räknare.

2.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Kaninen Tösen från Danmark satte 19971997 världsrekord i höjdhopp för kaniner. Enligt en modell gäller att Tösens höjd under hoppet ges av h(x)=4x4x2 h(x)=4x-4x^2 där hh är höjden i meter över golvet och där xx är avståndet i meter längs golvet från avstampet. Hur högt hoppade kaninen Tösen?

NP-tosen.svg

Lös uppgiften utan räknare.

Nationella provet exempeluppgifter 2b/2c
2.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bengt i Boda tänker bygga en rektangulär hage för sina hästar på ängsmarken som gränsar till sjön Viggaren. Han har 180180 meter stängsel som ska räcka till tre av sidorna eftersom den fjärde sidan utgörs av sjön. Se figur nedan.

ID2526.svg

Teckna ett uttryck för hagens area och bestäm vilka mått hagen ska ha för att arean ska bli så stor som möjligt.

Nationella provet HT12 2a
2.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Figuren visar två rektanglar som har sidlängderna xx cm respektive (8x)(8-x) cm.

Bestäm den största totala area som de två rektanglarna kan ha tillsammans.

Nationella provet VT15 2a/2b/2c
Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bonden Ulrika ska bygga en inhägnad för att skydda sin jordgubbsodling från hungriga kaniner. Hon tänker bygga den mot sidan av sin lada, så det behövs bara stängsel till tre sidor av inhägnaden.

Uppgift1235 1.svg

Ulrika vill att inhägnaden ska ha så stor area som möjligt, men hon har bara 10 m stängsel. Vad är den största möjliga arean för inhägnaden?

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En av sevärdheterna i Sydney är den stora stålbron, Sydney Harbour Bridge. Mellan bropelarna löper ett brospann som har formen av en andragradskurva. Den högsta punkten är belägen 8585 meter över vägbanan. Vägbanan ligger i sin tur 4949 meter över vattenytan. Brospannet befinner sig ovanför vägbanan längs en 400400 meter lång vägsträcka. Se figur.

Sydney habor

Ekvationen för andragradskurvan som beskriver brospannet kan skrivas som y=ax2+by = ax^2 + b , där aa och bb är konstanter.


a

Vilket värde har konstanten bb för den andragradskurva som beskriver brospannet?

b

Hur långt är avståndet mellan bropelarna?

Nationella provet VT11 MaB
3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ett företag säljer världens godaste kanelbullar. Företaget har tagit fram modeller av sina intäkter, R(x),R(x), och kostnader, C(x).C(x). R(x)=-0.5x2+40x0x80C(x)=11x+1500x80\begin{aligned} &R(x)=\text{-} 0.5x^2 + 40x \quad 0\leq x\leq 80 \\ &C(x)=11x+150 \qquad 0\leq x\leq 80 \end{aligned} Båda anges i miljoner kr och xx anger antalet miljoner tillverkade kanelbullar. Vinsten P(x)P(x) definieras som intäkterna minus kostnaderna.

a

Vilka värden ger att P(x)P(x) är större än noll, alltså en nettovinst? Svara i hela miljoner.

b

Vad är företagets maximala vinst?

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En bangolfspelare slår en spik med en chipper. Bollens bana kan beskrivas av andragradsfunktionen y=1.2x0.4x2,y=1.2x-0.4x^2, där yy är höjden och xx är längden.

Exercise1252 1.svg

Hålet befinner sig 0.50.5 meter ovanför utslagsplatsen. Hur långt är slaget? Lös uppgiften utan räknare.

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Prins Lennart har blivit tillfångatagen och inspärrad i ett slott. Prinsessan Lena står utanför murarna (till vänster i figuren) och vill ge honom en nyckel. För att ingen ska bli misstänksam gömmer hon nyckeln i en fotboll som hon tänker sparka över.

Mur med markerade höjder

Bollens bana genom luften kan beskrivas med andragradsfunktionen f(x)=(ax)(x+a), f(x) = (a - x)(x + a), där xx är bollens avstånd till murens högsta punkt och aa är en konstant som anger hur långt från den högsta punkten på muren som sparken sker. Bestäm hur långt från muren Lena måste stå för att vara säker på att få över nyckeln till andra sidan.

3.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hugo och Ilona ska göra en datorsimulering av en raket som ska landa på månen. De har var sin modell för att beskriva raketens rörelse mot månens yta.

NP-raket.svg

Hugo använder modellen h(t)=t29020t3+1000 h(t)=\dfrac{t^2}{90}-\dfrac{20t}{3}+1000 där hh är höjden i meter över månens yta och tt är tiden i sekunder från det att raketen påbörjar sin landning.


a

På vilken höjd över månen påbörjar raketen sin landning enligt Hugos modell?

b

Beräkna h(300)h(300) och tolka resultatet.

Illona använder modellen g(t)=100010t3, g(t)=1000-\dfrac{10t}{3}, där gg är höjden i meter över månens yta och tt är tiden i sekunder från det att raketen påbörjar sin landning. Jämför Hugos och Ilonas modeller för hur raketen rör sig mot månens yta från det att raketen påbörjar sin landning till dess att den landat på månen.


c

Beskriv två likheter hos modellerna.

d

Beskriv någon skillnad mellan modellerna.

Nationella provet VT12 2c
3.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hugo och Inez ska köpa in en ny bil till sitt företag. De har var sin modell för hur de tror att bilens värde kommer att minska.


Hugo använder modellen V(t)=800t224000t+180000 V(t)=800t^2-24\,000t+180\,000 där VV är värdet i kr och tt är tiden i år efter bilköpet.

a

Vad ska Hugo och Inez betala för bilen enligt Hugos modell?

b

Beräkna V(15)V(15) och tolka resultatet.

Inez använder modellen W(t)=18000012000t W(t)=180\,000-12\,000t där WW är värdet i kr och tt är tiden i år efter bilköpet.

c

Beskriv två likheter mellan de båda modellerna för hur bilens värde minskar.

d

Det finns orimligheter i Hugos och Inez modeller. Beskriv en orimlighet i vardera modell.

Nationella provet VT12 kurs 2b
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }}
keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}