Tolka andragradsfunktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Andragradsfunktioner som modeller

Andragradsfunktioner kan beskriva många saker i verkligheten, t.ex. en kastparabel som visar banan för en kula som stöts.

Shotputter.svg

Det kan därför vara intressant att undersöka hur några av andragradskurvans egenskaper kan tolkas i en verklig situation.

Begrepp

Kurvans extremvärde

En andragradskurvas högsta eller lägsta punkt kallas för extrempunkt. Där antar funktionen sitt extremvärde, dvs. sitt största eller minsta yy-värde. Detta kan t.ex. representera den högsta höjden över marken för kulan som kastas.

Shotputter i koordsys.svg
Begrepp

Skärningspunkten med y-axeln

Kurvans skärningspunkt med yy-axeln tolkas ofta som kaströrelsens början, och kan därför avläsas som starthöjden över marken när kulan kastas.

Shotputter i koordsys skärn yaxel.svg
Begrepp

Eventuella nollställen

Grafens ena nollställe representerar ofta den punkt då det som färdas slår i marken, vilket gör det möjligt att beräkna hur långt kastet är.

Shotputter i koordsys nollställe.svg
Metod

Bestäm extrempunkt för en andragradsfunktion

För att hitta extrempunkten för en andragradsfunktion, t.ex.

f(x)=x212x+37, f(x) = x^2 - 12x + 37, använder man att den punkten alltid ligger på symmetrilinjen.

1

Bestäm symmetrilinjen för funktionen
Med valfri metod hittar man först symmetrilinjen till andragradsfunktionen. Man kan t.ex. sätta funktionsuttrycket lika med 00 och använda pqpq-formeln.
x212x+37=0x^2 - 12x + 37=0
x=--122±(-122)237x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{\text{-} 12}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{\text{-} 12}}{2}\right)^2-{\color{#009600}{37}}}
x=-(-6)±(-122)237x=\text{-} (\text{-} 6)\pm\sqrt{\left(\dfrac{\text{-} 12}{2}\right)^2 - 37}
x=6±(-122)237x=6\pm\sqrt{\left(\dfrac{\text{-} 12}{2}\right)^2 - 37}
Värdet framför rotuttrycket är 6,6,xs=6.x_s = 6.

2

Sätt in xx-värdet för symmetrilinjen i funktionen
Eftersom symmetrilinjen alltid går genom extrempunkten sätter man in xx-värdet för den och beräknar funktionsvärdet där.
f(x)=x212x+37f(x) = x^2 - 12x + 37
f(6)=62126+37f({\color{#0000FF}{6}}) = {\color{#0000FF}{6}}^2 - 12 \cdot {\color{#0000FF}{6}} + 37
f(6)=3672+37f(6) = 36 - 72 + 37
f(6)=1f(6) = 1
Funktionens extrempunkt är alltså (6,1).(6,1).

3

Avgör typ av extrempunkt

I funktionen f(x)=x212x+37f(x)=x^2-12x+37 är x2x^2-termen positiv. Grafens form blir då en "glad mun", så (6,1)(6,1) är en minimipunkt.

Uppgift
Bestäm extrempunkten till y=3x2+12x9y=3x^2+12x-9 och avgör om det är en maximi- eller minimipunkt.
Lösning
Exempel

Extrempunkt

För att hitta extrempunkten till funktionen kan vi använda pqpq-formeln för att först bestämma symmetrilinjen. Vi sätter funktionsuttrycket lika med 00 och skriver ekvationen på pqpq-form.
y=3x2+12x9y=3x^2+12x-9
0=3x2+12x9{\color{#0000FF}{0}}=3x^2+12x-9
0=x2+4x30 = x^2 + 4x - 3
Genom att använda pqpq-formeln kan vi läsa av symmetrilinjen.
x2+4x3=0x^2 + 4x - 3=0
x=-42±(42)2(-3)x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{4}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{4}}{2}\right)^2-\left({\color{#009600}{\text{-}3}}\right)}
x=-2±(42)2(-3)x=\text{-} 2\pm\sqrt{\left(\dfrac{4}{2}\right)^2 - (\text{-}3)}
Symmetrilinjen är alltså xs=-2x_s=\text{-} 2 vilket betyder att detta är xx-värdet för extrempunkten. Vi sätter in det i funktionen för att bestämma yy-koordinaten.
y=3x2+12x9y=3x^2+12x-9
y=3(-2)2+12(-2)9y=3({\color{#0000FF}{\text{-} 2}})^2+12({\color{#0000FF}{\text{-} 2}})-9
y=34+12(-2)9y=3\cdot 4+12(\text{-} 2)-9
y=12249y=12-24-9
y=-21y=\text{-} 21

Extrempunktens yy-värde är -21,\text{-} 21, och det nås i x=-2.x=\text{-}2. Extrempunkten är alltså (-2,-21).(\text{-}2,\text{-}21).

Exempel

Maximi- eller minimipunkt?

Koefficienten framför x2x^2 i funktionen y=3x2+12x9 y=3x^2+12x-9 är 3,3, alltså positiv. Det innebär att extrempunkten (-2,-21)(\text{-}2, \text{-} 21) är en minimipunkt.

Visa lösning Visa lösning

Räknaren kan användas för att hitta extremvärden till olika typer av funktioner.

Digitala verktyg

Skriv in funktionen på räknaren

Man börjar med att skriva in den funktion som man söker extremvärdet för i räknaren. Det gör man genom att trycka på knappen Y= och fylla i funktionen på en av raderna Y1\text{Y}_1, Y2\text{Y}_2 osv. För att skriva xx använder man knappen X,T,θ,n.X,T, \theta, n.

visa lista med funktioner på räknare
Digitala verktyg

Rita funktionen

Efter att funktionen skrivits in på räknaren trycker man på GRAPH för att rita ut den.

visa andragradskurva på räknare

Det är viktigt att alla extrempunkter syns i fönstret. Om de inte gör det går det att ändra inställningarna för koordinatsystemet.

Digitala verktyg

Bestäm extrempunkter

För att bestämma extrempunkter trycker man först på CALC (2nd + TRACE) och väljer sedan "minimum" eller "maximum" beroende på om man söker en minimi- eller maximipunkt.

visa calculate på räknare

Kurvan visas nu igen, och för att räknaren ska kunna bestämma extrempunkten måste man ange tre punkter på kurvan.

  • Left Bound: Ange en punkt till vänster om extrempunkten genom att använda räknarens höger- och vänsterpilar eller genom att skriva in ett xx-värde med sifferknapparna. Denna punkt anger det minsta xx-värdet i intervallet där räknaren letar efter extrempunkten. Tryck sedan på ENTER.
Räknarfönster med graf och vänstergräns
  • Right Bound: Ange en punkt till höger om extrempunkten på samma sätt som tidigare och tryck sedan på ENTER. Denna punkt anger det största xx-värdet i intervallet där räknaren letar efter extrempunkten.
Räknarfönster med graf och högergräns
  • Guess: Ange till sist en punkt i närheten av extrempunkten så att räknaren har en startpunkt när den utför sin sökning. Avsluta med ENTER.
visa guess på räknare

Räknaren bestämmer nu närmevärden för extrempunktens koordinater och anger dem längst ner på skärmen.

visa minimum på räknare
För att hitta flera olika extrempunkter upprepar man proceduren.
Uppgift

Funktionen f(x)=3x0.5x2f(x)=3x-0.5x^2 beskriver höjden på en tunnelöppning, där xx är avståndet från tunnelöppningens vänstra hörn. Både xx och f(x)f(x) är angivna i meter. Hur bred och hög är tunneln?

Lösning
Exempel

Tunnelns bredd

Bredden är avståndet mellan nollställena.

Vi börjar därför med att bestämma nollställena. Det gör vi genom att likställa funktionsuttrycket med 0 och lösa ekvationen.

3x0.5x2=03x-0.5x^2=0
Dela upp i faktorer
x3x0.5x=0x\cdot3-x\cdot0.5x=0
x(30.5x)=0x(3-0.5x)=0
x=0(I)30.5x=0(II)\begin{array}{lc}x=0 & \text{(I)}\\ 3-0.5x=0 & \text{(II)}\end{array}
x=03=0.5x\begin{array}{l}x=0 \\ 3=0.5x \end{array}
x=00.5x=3\begin{array}{l}x=0 \\ 0.5x=3 \end{array}
x1=0x2=6\begin{array}{l}x_1=0 \\ x_2=6 \end{array}

De två nollställena är alltså x=0x=0 och x=6.x=6. Avståndet mellan dem är 60=66-0=6 meter.

Exempel

Tunnelns höjd

Eftersom kurvan är symmetrisk finns högsta punkten mittemellan nollställena dvs. där x=3.x=3.

Vi sätter in x=3x=3 för att beräkna höjden.

f(x)=3x0.5x2f(x)=3x-0.5x^2
f(3)=330.532f({\color{#0000FF}{3}})=3\cdot{\color{#0000FF}{3}}-0.5\cdot{\color{#0000FF}{3}}^2
f(3)=330.59f(3)=3\cdot3-0.5\cdot9
f(3)=94.5f(3)=9-4.5
f(3)=4.5f(3)=4.5

Tunneln är 66 meter bred och 4.54.5 meter hög.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}