Tangenskurvor

Till att börja med skriver vi om tan(x) som kvoten mellan sin(x) och cos(x). Vi skriver även om högerledet som ett bråk med nämnaren 1 så det blir tydligare att det är nämnarna som skiljer sig åt mellan leden. sin(x)/cos(x)>sin(x)/1 Nu undersöker vi funktionerna på det givna intervallet, 0

Vi ser att både sin(x) och cos(x) är positiva tal på intervallet, mer specifikt varierar de mellan 0 och 1. Skillnaden mellan leden är alltså att sin(x) divideras med ett tal mellan 0 och 1 i vänsterled respektive med 1 i högerled. Kvoten i vänsterledet kommer därför att bli större än den i högerledet. Av den anledningen är sin(x)/cos(x)>sin(x) på intervallet 0

Vi startar med att rita grafen till funktionen f(x)=tan(x).

I koordinatsystemet ser vi en liten del av vår funktion. De yttre delarna är streckade för att markera att funktionen fortsätter vidare både i x- och y-led. Vi börjar vår undersökning av antalet skärningspunkter mellan en rät linje och vår funktion med att se på specialfallet med en linjär funktion som är parallell med x-axeln.

Funktionen f(x)=tan(x) har oändligt många perioder och den räta linjen skär funktionen en gång per period, vilket medför att det finns oändligt många skärningspunkter. Tangensfunktionen är obegränsad i y-led. Därför kommer alla räta linjer med lutningen 0, även de utanför vårt koordinatsystem, skära funktionen f(x)=tan(x) oändligt många gånger. Låt oss nu undersöka andra linjära funktioner.

Vi har nu ritat in en rätlinjig funktion med positiv och en med negativ lutning. Eftersom tangensfunktionen är obegränsad i y-led kommer varje linjär funktioner skära varje period en gång. Antalet skärningar är alltså även här oändligt. Alla rätlinjiga funktioner skär alltså f(x)=tan(x) oändligt många gånger. Kvar att undersöka är räta linjer som inte är funktioner, dvs. lodräta linjer.

Definitionen av en funktion medför att en lodrät linje som mest kan skära en funktion en gång, de antar ju aldrig mer än ett y-värde för samma x-värde. Vi ser att x=-4 skär tangensfunktionen en gång. Men funktionen f(x)=tan(x) är inte definierad för alla x, t.ex. x=0.5π. Den lodräta linjen x=0.5π skär inte tangensfunktionen alls. En godtycklig rät linje och funktionen f(x)=tan(x) kan alltså ha 0, 1 eller oändligt många skärningspunkter.

Vi vet från föregående deluppgift att alla linjära funktioner skär f(x) = tan(x) oändligt många gånger. Vi skriver om uttrycket ax+by+c=0 på k-form för att identifiera vilka värden på a, b och c som ger en linjär funktion.

Detta uttryck är odefinierat då b=0 vilket betyder att vi då inte har någon funktion. Så länge b≠ 0 har vi en funktion och följaktligen har vi då ett oändligt antal skärningpunkter mellan den räta linjen och f(x)=tan(x). b≠ 0: & ∞antal skärningspunkter. Vi fortsätter nu med att undersöka lodräta linjer, dvs. då b=0. Vi undersöker uttrycket ax+by+c=0 för b=0.

När x=0.5 π + n * π, där n är något heltal, är funktionen f(x)=tan(x) odefinierad. Lodräta linjer med något av dessa x-värden, alltså då - c/a=0.5 π+n*π, skär aldrig tangensfunktionen. Övriga lodräta linjer skär f(x)=tan(x) precis en gång. Sammanfattat blir detta b=0 & & - c/a=0.5π+n*π: 0 skärningspunkter, b=0 & & - c/a≠ 0.5π+n*π: 1 skärningspunkt, b≠ 0&: ∞antal skärningspunkter.