Tangenskurvor

För att lösa ekvationen grafiskt ser vi vänster- och högerledet som två olika funktioner och undersöker var någonstans dessa skär varandra. Vi noterar att vinklarna som anges är i radianer, så vi ser till att vårt digitala hjälpmedel är inställt på det och ritar sedan ut de två graferna.

x-värdet för skärningspunkterna mellan graferna ger lösningarna till ekvationen, och det verkar finnas 4 stycken inom intervallet - π ≤ x ≤ π. Vi bestämmer dem med med något digitala verktyg, t.ex. grafräknarens inbyggda funktion för att bestämma skärningspunkter.

Vi gör på samma sätt för alla fyra punkterna och bestämmer deras x-värden med grafräknaren.

Vi ser att det finns fyra lösningar i intervallet och de är x≈ - 2.45, x≈ - 0.880, x≈ 0.690 och x≈ 2.26.

Vi gör på samma sätt i den här uppgiften och ritar ut två funktioner: en som är lika med vänsterledet och en som är lika med högerledet. Vinklarna i dessa funktioner är angivna i grader, så vi måste komma ihåg att ställa in räknaren för att det ska blir rätt.

Vi markerar de lösningar som finns inom intervallet 0^(∘) ≤ x ≤ 720^(∘) och bestämmer dem med hjälp av räknaren.

Ekvationen har alltså fyra lösningar inom vårt intervall och de är x≈ 126^(∘), x≈ 306^(∘), x≈ 486^(∘) och x≈ 666^(∘).

Funktionen y=tan(x) är odefinierad när x=90^(∘)+n*180^(∘). För att hitta en tangensfunktion är som odefinierad då x=40^(∘) vill vi utgå från funktionen y=tan(x) och ändra på dess argument.

I vår funktion vill vi att funktionens argument skall ha värdet 90^(∘) då x har värdet 40^(∘), eftersom den då blir odefinierad där. Detta kan åstadkommas genom att addera 50^(∘) till x. En funktion som uppfyller kravet att den är odefinierad vid x=40^(∘) är därmed f(x)=tan(x+50^(∘)).

I det här fallet är vinkelenheten radianer och då är funktionen y=tan(x) odefinierad för x= π2+n* π.

Vi vill alltså se till att vår nya funktions argument är π2 då x= π4. Vi såg i föregående deluppgift att funktionen då har formen f(x)=tan(x+a). Vi bestämmer nu värdet på a genom att likställa argumenten x + a och π2, och sätter sedan in x = π4.

Vår funktion kan alltså skrivas som f(x)=tan ( x+π/4 ).

Vinkelenheten är nu grader. Funktionen y=tan(x) är då odefinierad för x=90^(∘)+n*180^(∘). Den funktion vi söker skall vara odefinierad för x=45^(∘)+n*90^(∘). Låt oss se hur funktionerna ser ut.

Låt oss göra en tabell med några av de x-värden där våra funktioner är odefinierade.

Vi kan se ett mönster att de x-värden där funktionerna är odefinierade skiljer sig med en faktor 2 mellan de båda tangensfunktionerna. Vi kan visa att detta gäller för alla värden på n.

Detta innebär att när vi sätter in ett tal x i den nya funktionen skall dess argument bli dubbelt så stort. Vi behöver alltså multiplicera x med en faktor 2. Vår funktion blir då f(x)=tan(2x).

För att göra en grafisk lösning betraktar vi vänsterledet som en funktion och högerledet som annan funktion. Om vi ritar graferna till båda dessa i samma koordinatsystem kommer punkterna där de skär varandra ge oss lösningarna till ekvationen.

Nu kan vi bestämmer x-värderna för de skärningar vi ser, t.ex. med räknarens verktyg för att bestämma skärningspunkter mellan grafer.

Vi markerar alla dessa i grafen. De x-värden vi har hittat är lösningar till ekvationen.

Vi ser att lösningarna kommer parvis och eftersom både f(x) och g(x) är periodiska kan vi misstänka att avstånden mellan de olika lösningsparen är konstant. Låt oss undersöka detta. Vi tecknar koordinaterna för de lösningar vi ser. Lösningarna ovan x-axeln är (-315^(∘), 1), (45^(∘), 1) och (405^(∘), 1). Vi ser att det är samma y-koordinat för alla tre. Eftersom båda funktionerna är periodiska leder det till att lösningarna har en jämn periodicitet. Vi tittar nu på lösningarna under x-axeln. Tecknade med en decimals noggrannhet är dessa (-201.6^(∘),-0.4), (158.4^(∘),-0.4) och (518.4^(∘),-0.4). Även dessa tre har samma y-koordinat och med samma argument som ovan vet vi nu att dessa har jämn periodicitet. Periodens längd, eller avståndet mellan två närliggande lösningspar, är 405^(∘)-45^(∘)=360^(∘). Lösningarna till ekvationen är alltså lx=45^(∘)+n* 360^(∘) x≈ 158.4^(∘)+n* 360^(∘).

För att lösa ekvationen tecknar vi två funktioner, en som är lika med vänsterledet och en som är lika med högerledet, och ritar graferna till funktionerna.

Punkterna där graferna skär varandra är lösningar till ekvationen. Vi markerar dessa punkter.

Vi har hittat tre lösningar och deras värden är

Vi ser i koordinatsystemet ovan att båda funktionerna mellan -0.5π och 0.5π har exakt en period.

Funktionernas period är alltså π. När vi tittar i koordinatsystemet ser det ut som om även avståndet mellan två närliggande lösningar kan vara π. Detta avstånd är 3.640-0.498=3.142, vilket med den noggrannhet vi har är samma som π. Vi kan nu utgå från att lösningarnas period är samma som funktionernas, dvs. π. Våra lösningar blir då x≈ 0.498+nπ.

I den andra grafen har vi tre "förmiddagar" återgivna. Ett dygn motsvarar tiden mellan två på varandra följande "förmiddagar". Vi söker upp två punkter som är enkla att läsa av och som är ett Blora 7X-dygn efter varandra.

Om vi väljer tiden då temperaturen uppmäts till exakt 0^(∘) C två dagar i rad ser vi att det är 32 timmar mellan dessa tider. Vi får alltså att ett dygn på Blora 7X på jorden motsvarar ~ 32 timmar.

För att lösa denna uppgift tittar vi på den första grafen. Mätningen börjar i samband med gryningen, vilket är den tidpunkt då den första solen går upp. När vi tittar på kurvan ser vi att ungefär vid tiden 4 timmar har den en inflexionspunkt.

I inflexionspunkten byter funktionen från att förändringstakten minskar till att den ökar. Det beror på att den andra solen går upp över horisonten. Mellan dessa tidpunkter är den tid på morgonen då bloristerna ser exakt en sol och det är ~ 3.5 timmar.