Regel

Period för tangens

När man avgör perioden för sinus och cosinus kan man i enhetscirkeln se hur många grader man ska rotera för att hamna på samma punkt, och därmed samma trigonometriska värde. Den geometriska tolkningen av tangens är dock inte lika intuitiv och man använder istället sambandet $\tan(v)=\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)}$ för att bestämma perioden. Sinus- och cosinusvärdet för en vinkel kan läsas av på $y$- respektive $x$-axeln.

Både sinus och cosinus har perioden $360^\circ.$ Betyder det att även tangens har det? Svaret är faktiskt nej, och det kan man se genom att undersöka en vinkel som är $180^\circ$ större än $v.$

Tangensvärdet för vinkeln $v+180^\circ$ visar sig vara samma som för $v.$

Regel
$\tan(v+180^\circ)=\tan(v)$

För att beräkna det nya tangensvärdet kan man använda kvoten mellan sinus och cosinus. När en vinkel ökar med $180^\circ$ byter både sinus och cosinus tecken.

$\tan(v+180^\circ)=\dfrac{\sin(v+180^\circ)}{\cos(v+180^\circ)}$

$\sin(v+180^\circ) = \text{-} \sin(v)$

$\tan(v+180^\circ)=\dfrac{\text{-}\sin(v)}{\cos(v+180^\circ)}$

$\cos(v+180^\circ) = \text{-} \cos(v)$

$\tan(v+180^\circ)=\dfrac{\text{-}\sin(v)}{\text{-}\cos(v)}$

Minustecknen tar ut varandra och högerledet förenklas till $\tan(v).$

$\tan(v+180^\circ)=\dfrac{\text{-}\sin(v)}{\text{-}\cos(v)}$

$\dfrac{\text{-} a}{\text{-} b}=\dfrac{a}{b}$

$\tan(v+180^\circ)=\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)}$

$\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)}=\tan(v)$

$\tan(v+180^\circ)=\tan(v)$

När en vinkel ökar med $180^\circ$ förändras alltså inte tangensvärdet.

För varje varv i enhetscirkeln finns det alltså två punkter med samma tangensvärde, och de skiljs åt med ett halvt varv. Man kan lägga till eller dra ifrån hur många halva varv som helst men man kommer alltid att hamna på någon av dessa punkter. Perioden för tangens är därför $180^\circ,$ eller $\pi.$ Man kan skriva det $\tan(v+n\cdot180^\circ)=\tan(v) \quad \text{eller} \quad \tan(v+n\cdot \pi)=\tan(v),$ där $n$ är ett godtyckligt heltal.