Expandera meny menu_open Minimera Gå till startsidan home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu
{{ courseTrack.displayTitle }} {{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
search Använd offline Verktyg apps
Digitala verktyg Grafräknare Geometri 3D Grafritare Geogebra Classic Mathleaks Kalkylator Kodfönster
Kurs & Bok Jämför mattebok Studieläge Avsluta studieläge Skriv ut kurs
Handledning Videohandledningar Formelsamling

Videohandledningar

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

play_circle_outline
Studera med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

play_circle_outline
Verktyg för elever & lärare

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

play_circle_outline

Formelsamling

Formelsamlingar för mattekurser looks_one

Kurs 1

looks_two

Kurs 2

looks_3

Kurs 3

looks_4

Kurs 4

looks_5

Kurs 5

Logga in account_circle menu_open

Period för tangens


Regel

Period för tangens

När man avgör perioden för sinus och cosinus kan man i enhetscirkeln se hur många grader man ska rotera för att hamna på samma punkt, och därmed samma trigonometriska värde. Den geometriska tolkningen av tangens är dock inte lika intuitiv och man använder istället sambandet tan(v)=sin(v)cos(v) \tan(v)=\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)} för att bestämma perioden. Sinus- och cosinusvärdet för en vinkel kan läsas av på yy- respektive xx-axeln.

Både sinus och cosinus har perioden 360.360^\circ. Betyder det att även tangens har det? Svaret är faktiskt nej, och det kan man se genom att undersöka en vinkel som är 180180^\circ större än v.v.

Tangensvärdet för vinkeln v+180v+180^\circ visar sig vara samma som för v.v.

Regel

info
tan(v+180)=tan(v)\tan(v+180^\circ)=\tan(v)
För att beräkna det nya tangensvärdet kan man använda kvoten mellan sinus och cosinus. När en vinkel ökar med 180180^\circ byter både sinus och cosinus tecken.
tan(v+180)=sin(v+180)cos(v+180)\tan(v+180^\circ)=\dfrac{\sin(v+180^\circ)}{\cos(v+180^\circ)}
tan(v+180)=-sin(v)cos(v+180)\tan(v+180^\circ)=\dfrac{\text{-}\sin(v)}{\cos(v+180^\circ)}
tan(v+180)=-sin(v)-cos(v)\tan(v+180^\circ)=\dfrac{\text{-}\sin(v)}{\text{-}\cos(v)}
Minustecknen tar ut varandra och högerledet förenklas till tan(v).\tan(v).
tan(v+180)=-sin(v)-cos(v)\tan(v+180^\circ)=\dfrac{\text{-}\sin(v)}{\text{-}\cos(v)}
tan(v+180)=sin(v)cos(v)\tan(v+180^\circ)=\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)}
tan(v+180)=tan(v)\tan(v+180^\circ)=\tan(v)
När en vinkel ökar med 180180^\circ förändras alltså inte tangensvärdet.
För varje varv i enhetscirkeln finns det alltså två punkter med samma tangensvärde, och de skiljs åt med ett halvt varv. Man kan lägga till eller dra ifrån hur många halva varv som helst men man kommer alltid att hamna på någon av dessa punkter. Perioden för tangens är därför 180,180^\circ, eller π.\pi. Man kan skriva det tan(v+n180)=tan(v)ellertan(v+nπ)=tan(v), \tan(v+n\cdot180^\circ)=\tan(v) \quad \text{eller} \quad \tan(v+n\cdot \pi)=\tan(v), där nn är ett godtyckligt heltal.