Regel

Period för tangens

När man avgör perioden för sinus och cosinus kan man i enhetscirkeln se hur många grader man ska rotera för att hamna på samma punkt, och därmed samma trigonometriska värde. Den geometriska tolkningen av tangens är dock inte lika intuitiv och man använder istället sambandet tan(v)=sin(v)cos(v) \tan(v)=\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)} för att bestämma perioden. Sinus- och cosinusvärdet för en vinkel kan läsas av på yy- respektive xx-axeln.

Både sinus och cosinus har perioden 360.360^\circ. Betyder det att även tangens har det? Svaret är faktiskt nej, och det kan man se genom att undersöka en vinkel som är 180180^\circ större än v.v.

Tangensvärdet för vinkeln v+180v+180^\circ visar sig vara samma som för v.v.

Regel

tan(v+180)=tan(v)\tan(v+180^\circ)=\tan(v)
För att beräkna det nya tangensvärdet kan man använda kvoten mellan sinus och cosinus. När en vinkel ökar med 180180^\circ byter både sinus och cosinus tecken.
tan(v+180)=sin(v+180)cos(v+180)\tan(v+180^\circ)=\dfrac{\sin(v+180^\circ)}{\cos(v+180^\circ)}
tan(v+180)=-sin(v)cos(v+180)\tan(v+180^\circ)=\dfrac{\text{-}\sin(v)}{\cos(v+180^\circ)}
tan(v+180)=-sin(v)-cos(v)\tan(v+180^\circ)=\dfrac{\text{-}\sin(v)}{\text{-}\cos(v)}
Minustecknen tar ut varandra och högerledet förenklas till tan(v).\tan(v).
tan(v+180)=-sin(v)-cos(v)\tan(v+180^\circ)=\dfrac{\text{-}\sin(v)}{\text{-}\cos(v)}
tan(v+180)=sin(v)cos(v)\tan(v+180^\circ)=\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)}
tan(v+180)=tan(v)\tan(v+180^\circ)=\tan(v)
När en vinkel ökar med 180180^\circ förändras alltså inte tangensvärdet.
För varje varv i enhetscirkeln finns det alltså två punkter med samma tangensvärde, och de skiljs åt med ett halvt varv. Man kan lägga till eller dra ifrån hur många halva varv som helst men man kommer alltid att hamna på någon av dessa punkter. Perioden för tangens är därför 180,180^\circ, eller π.\pi. Man kan skriva det tan(v+n180)=tan(v)ellertan(v+nπ)=tan(v), \tan(v+n\cdot180^\circ)=\tan(v) \quad \text{eller} \quad \tan(v+n\cdot \pi)=\tan(v), där nn är ett godtyckligt heltal.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}