Tangenskurvor

Vi börjar med funktionen f(x).

Vi ser att funktionens graf går mot ± ∞ vid x=90^(∘). Där är funktionen odefinierad. Funktionen är periodisk och vi ser att funktionen går mot ± ∞ även vid t.ex. x=-90^(∘) och x=270^(∘). Vi kan nu räkna fram periodens längd, P.

Perioden är alltså 180^(∘) och funktionen är då odefinierad för x=90^(∘) +n*180^(∘). För att hitta var funktionen g(x) är odefinierad gör vi på samma sätt.

Grafen går mot ± ∞ mittemellan x=90^(∘) och x=180^(∘), alltså vid x=135^(∘). Vi ser sedan när vi jämför de båda funktionernas grafer att g(x) har samma period som f(x), alltså 180^(∘). Funktionen g(x) är alltså odefinierad för x=135^(∘) +n*180^(∘).

Tangensfunktioner är odefinierade när funktionens argument har värdet 90^(∘)+n*180^(∘). Låt oss nu ta reda vilka värden på x detta motsvarar för vår funktion som har argumentet x + 45^(∘).

Funktionen är alltså odefinierad för x=45^(∘)+n*180^(∘), och definierad för resterande reella värden på x. Funktionens definitionsmängd kan vi då uttrycka med hjälp av var funktionen är odefinierad: D_f: x≠45^(∘)+n*180^(∘). En tangensfunktions värdemängd är alltid alla reella tal. Detta kommer från att tangens kan skrivas som tanx = sinx/cosx. När nämnaren cosx närmar sig 0 går värdet på tanx mot oändligheten. Beroende på vilka tecken sinx och cosx har kan den gå både åt negativa och positiva oändligheten. Detta beteende syns i funktionens graf.

Funktionens värdemängd är alltså V_f: -∞ < f(x) < ∞.

Vi börjar med att notera att det i tangensfunktionens argument finns termen π/2, som inte har något gradertecken. Vi ska alltså använda enheten radianer, och då är tangensfunktionen odefinierad när dess argument är lika med π/2+n*π. Vi undersöker vilka värden på x det motsvarar för vår funktion som har argumentet 3x-π/2.

Vi vet nu att funktionen är odefinierad för x=π/3 +n*π/3. Då kan funktionens definitionsmängd skrivas D_g: x≠ π/3 +n*π/3. Som i föregående deluppgift kan även den här tangensfunktionen anta alla reella värden. Den har därmed värdemängden V_g:-∞ < g(x) < ∞.

I uppgiftsformuleringen finns inget som anger om enheten på x är grader eller radianer, så vi kan välja själva. Här använder vi radianer. Vi betraktar nu vänster- och högerledet som separata funktioner och ritar graferna till dessa på grafräknare.

Tänk på att de vertikala linjerna som visas på skärmen inte är en del av grafen, utan bara en konsekvens av hur räknaren hanterar funktioner. Vi använder kommandot intersect för att bestämma x-värdet i första skärningspunkten till höger om y-axeln.

En lösning på ekvationen är alltså x≈1,05. Det finns dock oändligt många lösningar, eftersom det finns oändligt många skärningspunkter, och för att ange hela lösningsmängden använder vi att perioden för tan(x) är π. Samtliga lösningar till ekvationen ges därför av x≈ 1,05+n*π, där n är ett heltal.

Vi löser denna ekvation på samma sätt som i föregående uppgift, men först löser vi ut den trigonometriska termen.

Nu tolkar vi vänster- och högerledet som separata funktioner och ritar graferna till dem på räknare. Se till att räknaren är inställd på grader.

Med intersect bestämmer vi x-värdet i första skärningspunkten till höger om y-axeln.

En lösning på ekvationen är alltså x=100^(∘). För att ange alla lösningar behöver vi veta perioden för tan(x-55^(∘)). Den tar vi reda på genom att även bestämma x-värdet för efterföljande skärningspunkt och sedan beräkna avståndet mellan de kända punkterna.

Avståndet mellan skärningspunkterna, och perioden för tan(x-55^(∘)), är alltså 280^(∘)-100^(∘)=180^(∘), dvs. samma som för tanx. Samtliga lösningar till ekvationen ges därför av x=100+n*180^(∘), där n är ett heltal.

Vi använder samma lösningsmetod igen, och börjar med att dividera båda led med 3. Det ger tan(2x-π/4)=-sqrt(3)/3. Vi ser nu vänster- och högerledet som funktioner och ritar graferna. Från funktionsuttrycket kan vi anta att vinkelenheten är radianer.

Vi använder ännu en gång intersect för att bestämma x-värdet i första skärningspunkten till höger om y-axeln.

Ekvationen har alltså en lösning där x≈0,13. Vi bestämmer perioden för tan(2x-π/4) genom att även bestämma x-värdet för efterföljande skärningspunkt och beräkna avståndet mellan punkterna.

Perioden för tan(2x-π/4) är ca 1,70-0,13=1,57≈π/2. Samtliga lösningar till ekvationen ges alltså av x≈0,13+n*π/2, där n är ett heltal.

Vi kan bestämma lösningarna genom att se högerledet i den trigonometriska ekvationen som en funktion, rita grafen till denna och se var graferna skär varandra.

Vi behöver bestämma en lösning samt själva perioden. Vi väljer att läsa av lösningen i första perioden räknat från y-axeln eftersom den är relativt lättavläst.

En lösning är alltså x=π/2. Perioden är lite svårare att läsa av direkt. Den går dock att bestämma om man använder att det går 3 perioder mellan lösningarna x=-2π och x=π/2.

Avståndet mellan punkterna är 2,5π och dividerar vi detta med 3 får vi perioden för den trigonometriska funktionen.

Ekvationen har alltså lösningarna x=π/2+n*5π/6, där n är ett heltal.

Vi löser denna ekvation på samma sätt och börjar med att rita högerledet som en funktion samt läsa av lösningen i första perioden till höger om y-axeln.

En lösning är alltså 3π/2. Nu bestämmer vi avståndet mellan två motsvarande punkter i intilliggande perioder för att avgöra perioden.

Den trigonometriska funktionen har perioden 2π så samtliga lösningar till ekvationen ges av x=3π/2+n*2π, där n är ett heltal.

Vi gör på samma sätt igen och börjar med att rita högerledet som en funktion och läsa av en lösning.

En lösning är alltså x=0. Perioden bestämmer vi genom att använda att det går 5 perioder mellan lösningarna x=0 och x=π.

Eftersom 5 perioder motsvarar avståndet π måste 1 period motsvara π/5. Ekvationen har alltså lösningarna x=n*π/5, där n är ett heltal.

Du ska bestämma perioden för den givna tangensfunktionen och sedan rita dess graf i intervallet - 2π till 2π. Vi löser dessa steg för steg.

Bestämma perioden

Betrakta den allmänna formen av en tangensfunktion med θ i radianer. y= atan( bθ) Här gäller att när b > 0 är π/b funktionens period, en cykel sker i intervallet från - π/2 b till π/2 b, och det finns vertikala asymptoter i varje ände av cykeln. Betrakta nu den givna funktionen. y=tan π/6 θ ⇔ y= 1tan π/6 θ För vår funktion gäller a= 1 och b= π/6. Bestäm nu perioden.

Rita funktionens graf

Det första steget när du ritar funktionens graf är att bestämma intervallet där en cykel sker. - π/2 b < θ < π/2 b ⇓ - π/2 * ( .π /6.) < θ < π/2 * ( .π /6.) Du kan förenkla ett av dessa uttryck för att få förenklade värden för intervallets gränser.

Intervallet där en cykel sker är från - 3 till 3. - 3 < θ < 3 Dessa värden motsvarar också placeringen av de vertikala asymptoternas lägen. rc Positiv asymptot: & 3 Negativ asymptot: & - 3 Slutligen ritar du grafen med hjälp av mönstret asymptot-(- a) nollpunkt-(a)-asymptot, där a är ett tal i intervallet. Välj a=2. Upprätta en värdetabell för att beräkna funktionsvärdena vid θ=- 2, θ=0 och θ=2.

Nu kan du rita en cykel av funktionen.

Slutligen ritar du grafen för intervallet från - 2π till 2π. Observera att ± 2π är ungefär ± 6,28, så grafen börjar vid x-värdet - 6,28 och slutar vid x-värdet 6,28.

För att lösa den givna ekvationen i intervallet från 0 till 2π betraktar vi båda sidorna av ekvationen som en funktion. Sedan ritar vi båda i samma koordinatplan. tan θ= - 2 ⇓ y= tan θ och y= - 2 Innan vi ritar funktionerna bör vi notera att perioden för tangensfunktionen är π. Vi vill också hitta lösningar mellan 0 och 2π≈6,28. Därför ändrar vi fönsterinställningarna i miniräknaren så att y-värdena visas mellan - 8,5 och 8,5, och x-värdena mellan 0 och 6,28. Vi trycker på WINDOW och ändrar inställningarna.

Nu ritar vi båda funktionerna. x-koordinaten för skärningspunkterna, om sådana finns, utgör lösningarna till ekvationen. Tryck på Y= och skriv in funktionerna på de två första raderna. När funktionerna är inmatade trycker vi på GRAPH för att rita dem.

Vi kan se att det finns två skärningspunkter. Vi hittar dessa punkter genom att trycka på TRACE och använda vänster- och höger-knapparna för att förflytta oss längs kurvorna. Koordinaterna för punkterna visas längst ned på skärmen.

Spårningsverktyget landade inte på de exakta lösningarna, men vi kan se att lösningarna är ungefär 2,03469697 och 5,17340085. Vi avrundar dessa tal till närmaste hundratal och kommer ihåg att vår variabel egentligen är θ, vilket ger lösningarna θ≈2,03 och θ≈5,17.

Vi kan kontrollera våra lösningar genom att sätta in dem för θ i den givna ekvationen. Observera att eftersom lösningarna inte är exakta får vi ett approximativt värde. Vi börjar med θ≈ 2,03.

Eftersom vi fick ett sant påstående vet vi att lösningen är korrekt. Nu kontrollerar vi θ≈ 5,17.

Vi har visat att θ ≈ 5,17 också är korrekt.

Låt oss börja med att titta på den allmänna formen av en tangensfunktion. y= atan( bx) Här är a ett icke-negativt tal, b är större än 0, och x anges i radianer. Vi vill skriva ekvationen för tangensfunktionen som visas i det givna diagrammet.

Om vi studerar grafen kan vi leta efter den horisontella längden för en cykel. Detta är funktionens period. Vi kan se att en cykel sker i intervallet från - π till π. π-(- π)= 2π Periodens för vår funktion är 2π. När ekvationen för en tangensfunktion är känd kan perioden beräknas med uttrycket π/b. Period=π/b Eftersom vi vet att perioden är 2π gäller att 2π=π/b. Låt oss lösa denna ekvation.

Nu när vi känner till värdet på b kan vi skriva en partiell ekvation för den sökta tangensfunktionen. y= a tan( bx) ⇒ y= a tan( 1/2x) Slutligen, för att bestämma värdet på a använder vi en punkt på grafen. För enkelhetens skull väljer vi (π/2,1/2).

Nu kan vi skriva den fullständiga ekvationen för funktionen. y= atan x ⇒ y= 1/2 tan(1/2x)