Innehållsförteckning
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel
5.
Talet e
Lektionen fokuserar på talet e, en matematisk konstant som är basen för den naturliga logaritmen. Den förklarar begreppet och dess användning inom matematiken, inklusive hur det relaterar till eulers tal och naturliga logaritmer. Sidan ger en översikt över olika regler och lagar som gäller för logaritmer, och hur man kan använda dem i beräkningar. Det finns exempel som illustrerar hur man kan använda talet e i olika matematiska sammanhang, som exponentialfunktioner och derivata. Detta är en lektionen som kan vara användbar för studenter som studerar avancerad matematik och vill förstå detta viktiga koncept.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 10 sidor teori |
| | 19 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Talet e
Sida av 10
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Talet e
- Naturliga logaritmen
- Grundläggande samband för naturliga logaritmen
- Potensregel för naturliga logaritmen
- Regler för naturliga logaritmen
Förkunskaper
{"codehash":"425d79edd76c8c465b5c85237aecb06c"}
{"codehash":"d62fc27bd090ab94526a1f938ebb96a6"}
Uppgift
Figurerna är kongruenta. Namnge de motsvarande vinklarna och de motsvarande sidorna.
Facit
Motsvarande sidor: AB≅EF, BC≅FG, CD≅GH, DA≅HE
Motsvarande vinklar: ∠A≅∠E, ∠B≅∠F, ∠C≅∠G, ∠D≅∠H
Ledtråd
Använd symbolen ≅ för att namnge de motsvarande sidorna och motsvarande vinklarna.
Lösning
Vi har fått två kongruenta trapetser.
Två kongruenta figurer har samma storlek och samma form. Dessutom är deras motsvarande vinklar kongruenta.
AB≅EFBC≅FGCD≅GHDA≅HE
Slutligen kommer vi att namnge de motsvarande vinklarna.
∠A≅∠E∠B≅∠F∠C≅∠G∠D≅∠H
Extra
Skriva ett kongruensuttryckPrecis som med polygoner är ordningen i vilken hörnen skrivs kritisk när det gäller att skriva ett kongruensuttryck för en triangel. Att namnge dem i fel ordning leder till felaktiga slutsatser. Tänk till exempel på följande kongruenta trianglar.
|
Kongruenta polygoner |
|
Två polygoner är kongruenta om och endast om deras motsvarande sidor och vinklar är kongruenta. |
Svarsalternativ
Digitala verktyg
Logaritmer på räknare
Hur man beräknar logaritmer med räknaren beror på vilken bas logaritmen har.
Naturliga logaritmen
För att utföra beräkningar med den naturliga logaritmen, ln, trycker man på LN-knappen. Då får man en vänsterparentes. Sedan skriver man in argumentet och avslutar med en högerparentes.
Bilden kunde ej laddas
{"codehash":"540f39ae051117bad2799000df1d1302"}
Exempel
Lös ekvationer med e och ln
Lös följande ekvationer.
a
6ex=12
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\ln 2"]}}
b
5ln(x)=13
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["e^{65}"]}}
Ledtråd
a Ta ln på båda sidor av den ekvationen.
b Använd olika kända logaritmlagar för att lösa den ekvationen.
Lösning
a Vi börjar med den första ekvationen, som är en exponentialekvation med basen e. Först delar vi båda led med 6 för att få ex ensamt och sedan logaritmerar vi båda sidor med den naturliga logaritmen. Då kan vi använda att ln och e upphöjt till tar ut varandra.
b I den andra ekvationen löser vi ut ln(x) och sätter sedan båda led som exponenter på basen e. Då kan vi lösa ut x på liknande sätt som i förra ekvationen.
{"codehash":"334589e126c2a59c63c9b01f8b2110c5"}
{"codehash":"2cc95e59d0a0defd790f394d1c3fcde4"}
Exempel
Lös ekvationer med hjälp av logaritmlagar
Lös följande ekvationer med hjälp av logaritmlagar.
a
ln(x)+ln(x+3)=ln(10)
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false,"hideNoSolution":true,"variable":"x"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["2","-5"]}}
b
2ln(x)−ln(5)=ln(20)
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false,"hideNoSolution":true,"variable":"x"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["10","-10"]}}
Ledtråd
a Använd regeln för att addera naturliga logaritmer.
b Använd potensregeln och regeln för differensen av logaritmer.
Lösning
a Börja med att analysera den första ekvationen.
ln(x)+ln(x+3)=ln(10)
Först, använd regeln för att addera naturliga logaritmer. Nästa steg är att sätta logaritmernas argument lika med varandra.
ln(x)+ln(x+3)=ln(10)
LnAdd
ln(a)+ln(b)=ln(ab)
ln(x(x+3))=ln(10)
BaseEEqn
eVL=eHL
eln(x(x+3))=eln(10)
LnIdII
eln(a)=a
x(x+3)=10
Distr
Multiplicera in x
x2+3x=10
SubEqn
VL−10=HL−10
x2+3x−10=0
x2+3x−10=0
▼
Lös ut x
UsePQ
Använd pq-formeln: p=3,q=−10
x=−23±(23)2−(−10)
AddTerms
Addera termer
x=−23±(23)2+10
CalcPow
Beräkna potens
x=−23±49+10
NumberToFrac
a=44⋅a
x=−23±49+440
AddFrac
Addera bråk
x=−23±449
CalcRoot
Beräkna rot
x=−23±27
AddSubFrac
Lägg ihop bråk
x1=24x2=−210
CalcQuot
Beräkna kvot
x1=2x2=−5
b Analysera den andra givna ekvationen.
2ln(x)−ln(5)=ln(20)
Börja med att använda potensregeln och regeln för differensen av logaritmer.
2ln(x)−ln(5)=ln(20)
MultLnToPow
b⋅ln(a)=ln(ab)
ln(x2)−ln(5)=ln(20)
LnSub
ln(a)−ln(b)=ln(ba)
ln(5x2)=ln(20)
BaseEEqn
eVL=eHL
eln(5x2)=eln(20)
LnIdII
eln(a)=a
5x2=20
MultEqn
VL⋅5=HL⋅5
x2=100
SqrtEqn
VL=HL
x=±10
Talet e
Övningar
Lös ekvationen och svara exakt.
ln(x2+8x+17)=0
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-4"]}}
e−ln(x)=ln(2)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{1}{\\ln(2)}"]}}
security
report
code
security
report
code
security
report
code
Exponentialfunktionen f(x)=160.25x kan skrivas om på formen f(x)=ekx. Bestäm k och svara exakt.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.69444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.03148em;\">k<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\ln(2)"]}}
security
report
code
security
report
code
För att bestämma k skriver vi först om båda potenser enligt potenslagen a^(bc)=(a^b)^c: f(x)=(16^(0,25))^x och f(x)=(e^k)^x. Om funktionerna är samma måste 16^(0,25) och e^k vara lika. Vi likställer alltså dessa potenser och löser ut k.
k är alltså lika med ln(2).
security
report
code
Talet e kan definieras med gränsvärdet
e=x→∞lim(1+x1)x.
Använd detta gränsvärde för att bestämma e med 2 decimalers noggrannhet.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.48312em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">e<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">\u2248<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["2.72"]}}
security
report
code
security
report
code
Eftersom talet e är irrationellt är det omöjligt för oss att bestämma detta gränsvärde exakt som ett decimaltal. Vi kan dock göra det numeriskt och få ett närmevärde till e. Det gör vi genom att först definiera en funktion f(x) med det som står innanför gränsvärdet. f(x) = (1 + 1/x )^x Den här funktionen kommer att ge ett värde som kommer närmare och närmare e ju större x man sätter in i den.
För att bestämma ett närmevärde till e sätter vi in större och större värden på x i f(x) och undersöker vilka decimaler som ändrar sig. När en decimal slutar ändra sig för högre x kan vi anta att den har nått sitt korrekta värde. Notera att vi behöver 3 korrekta decimaler eftersom den tredje behövs för att göra avrundningen till 2 decimalers noggrannhet.
| x | f(x) |
|---|---|
| 10 | 2,593742... |
| 100 | 2,704813... |
| 1 000 | 2,716923... |
| 10 000 | 2,718145... |
| 100 000 | 2,718268... |
Mellan x = 10 000 och x = 100 000 ändrar inte den tredje decimalen sig, så vi kan anta att den har nått sitt korrekta värde. Då kan vi avrunda till två decimaler, vilket ger f(100000) = 2,718268... ≈ 2,72. Med två decimalers noggrannhet får vi alltså att e ≈ 2,72.
security
report
code
Talet e
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll