Ränta och lån med geometriska summor: Annuitetslån och amortering

Ett vanligt användningsområde för geometriska summor är för att beräkna hur mycket pengar det kommer att finnas på ett sparkonto där man gör regelbundna insättningar. De kan också användas för att beräkna amortering och ränta för olika typer av lån.

Begrepp

Slutvärde och nuvärde

För att beskriva hur värdet på något förändras över tid använder man ibland de två termerna slutvärde och nuvärde. Slutvärdet är det slutgiltiga värdet på något, t.ex. den totala summan pengar på ett konto efter en viss tid eller värdet på en bil efter ett visst antal år. Nuvärdet är det ursprungliga värdet, alltså insättningen på kontot och inköpspriset för bilen.

Bestäm nuvärdet

fullscreen

Jennie vet att hon kommer att behöva köpa en cykel som kostar $5000$ kr om två år. Hon är ordentlig av sig, så hon vill sätta in pengar på sitt bankkonto redan nu så att hon har råd med cykeln när det väl behövs. Vad är nuvärdet av dessa $5000$ kr om Jennies bankonto har en ränta på $3 % ?$

Visa Lösning

Pengar på ett sparkonto ökar exponentiellt med tiden, och kan beskrivas med en exponentialfunktion:

y = C \cdot a^{t} .

Vi vet att det ska finnas

5000

kr på kontot efter

2

år, så

t = 2

och

y = 5000 .

Vi vet också att räntan på kontot är

3 %,

vilket ger en förändringsfaktor,

a,

på

1.03 .

Sätter vi in dessa värden kan vi lösa ut

C,

vilket ger nuvärdet av

5000

kr om två år.

y = C \cdot a^{t}

SubstituteValues

Sätt in värden

5000 = C \cdot 1.0 3^{2}

DivEqn

$VL / 1.0 3^{2} = HL / 1.0 3^{2}$

\frac{5 0 0 0}{1 . 0 3 ^{2}} = C

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

C = \frac{5 0 0 0}{1 . 0 3 ^{2}}

UseCalc

Slå in på räknare

C = 4712.97954 \dots

RoundInt

Avrunda till närmaste heltal

C = 4713

Jennie måste sätta in

4713

kr på kontot för att ha råd med cykeln om två år. Nuvärdet av

5000

kr är alltså

4713

kr när sparperioden är två år och räntan

3 % .

Begrepp

Annuitetslån

När man tar ett lån måste man betala av lånet, vilket kallas att amortera, och man måste även betala ränta. För ett annuitetslån är summan av amortering och ränta konstant vilket innebär att varje inbetalning är lika stor. Storleken på inbetalningarna kallas för lånets annuitet och kan beräknas med hjälp av geometriska summor.

I figuren illustreras avbetalningar för ett annuitetslån. De består till en början främst av ränta men allteftersom lånet återbetalas minskar andelen ränta. Detta kan jämföras med rak amortering, där man amorterar lika mycket varje månad medan räntekostnaden varierar. Totalt betalar man mer i ränta för ett annuitetslån jämfört med ett lån med rak amortering men i gengäld är storleken på betalningarna man gör jämnt fördelade.

Bestäm annuiteten

fullscreen

Tilda ska låna pengar till att köpa en optimistjolle för $25000$ kr. Hon tar ett annuitetslån med $4 %$ ränta som ska återbetalas en gång per år över fem år. Vad blir annuiteten?

Visa Lösning

För att förstå hur en annuitet beräknas måste man se lånet från bankens perspektiv. Med en ränta på

4 %

över fem år på lånebeloppet

25000

kr blir slutvärdet på lånet

25000 \cdot 1.0 4^{5} kr,

vilket är vad banken förväntar sig att få tillbaka. Vi antar att annuiteten, alltså den årliga inbetalningen, är

x .

Vi ställer nu upp ett uttryck för annuitetslånets slutvärde med hjälp av avbetalningarnas värde för banken. Första avbetalningen sker efter ett år och banken har tillgång till den i ytterligare

4,

vilket ger slutvärdet

x \cdot 1.0 4^{4} kr

eftersom man räknar med att banken kan få lika mycket ränta för pengarna under dessa år. Nästa avbetalning sker efter det andra året och banken har tillgång till dessa pengar i

3

år, vilket ger dem slutvärdet

x \cdot 1.0 4^{3} kr .

På samma sätt får den tredje avbetalningen slutvärdet

x \cdot 1.0 4^{2},

den fjärde

x \cdot 1.04

och den sista bara

x .

Lägger man ihop slutvärdena för alla dessa avbetalningar får man

x + x \cdot 1.04 + x \cdot 1.0 4^{2} + x \cdot 1.0 4^{3} + x \cdot 1.0 4^{4},

vilket är en geometrisk summa med

n = 5

termer, kvoten

k = 1.04

och startvärdet

a = x .

Sätter man in detta i formeln för geometrisk summa får man

\frac{a ( k ^{n} - 1 )}{k - 1} = \frac{x ( 1 . 0 4 ^{5} - 1 )}{1 . 0 4 - 1} .

Slutvärde för annuitetslånet ska vara lika stort som om hela lånesumman hade betalas tillbaka efter fem år, vilket ju var

25000 \cdot 1.0 4^{5}

kr. Vi sätter dessa två uttryck lika med varandra och löser ut

x .

\frac{x ( 1 . 0 4 ^{5} - 1 )}{1 . 0 4 - 1} = 25000 \cdot 1.0 4^{5}

MultEqn

$VL \cdot (1.04 - 1) = HL \cdot (1.04 - 1)$

x (1.0 4^{5} - 1) = 25000 \cdot 1.0 4^{5} \cdot (1.04 - 1)

DivEqn

$VL / (1.0 4^{5} - 1) = HL / (1.0 4^{5} - 1)$

x = \frac{2 5 0 0 0 \cdot 1 . 0 4 ^{5} \cdot ( 1 . 0 4 - 1 )}{1 . 0 4 ^{5} - 1}

UseCalc

Slå in på räknare

x = 5615.67783 \dots

RoundInt

Avrunda till närmaste heltal

x \approx 5616

Tildas annuitet blir alltså $5616$ kr, vilket är vad hon betalar varje år.

Digitala verktyg

Ränta och kalkylprogram

Om man tar ett lån kan man använda ett kalkylprogram för att bl.a. beräkna hur ens räntekostnad förändras när lånet amorteras. Antag att man tar ett lån på

250000 kr \overset{˚}{a} r 2017

som ska betalas av med rak amortering på

10

år. Årsräntan är

5.4 % .

I ett kalkylark kan man då skriva in rubriker på det man vill hålla koll på, t.ex. som nedan.

Eftersom man ska amortera lika mycket varje år skriver man

\frac{2 5 0 0 0 0}{1 0} = 25000

på alla rader i amorteringskolumnen. Nu kan man använda dessa belopp för att beräkna hur mycket av lånet som kommer återstå respektive år. Man börjar med att skriva in startbeloppet

250000

kr på raden för 2017. Därefter markeras cell c3 och man skriver "=c2-b3" för att få reda på hur stort lånebeloppet är år

2018

Trycker man på Enter subtraheras amorteringsbeloppet i cell b3 från lånebeloppet i c2, dvs. beräkningen $250000 - 25000 = 225000$ utförs. Om man nu markerar cell c3, tar tag i den lilla rutan och drar nedåt till och med sista raden kommer lånebeloppen för övriga årtal beräknas automatiskt.

På liknande sätt kan man betsämma övriga värden i tabellen. För att beräkna räntekostnaden för år $2017$ skriver man i cell d2 in "=c2*0,054" för att ta reda på hur mycket $5.4 %$ av lånebeloppet $250000$ är.

Man trycker ännu en gång på enter för att beräkningen ska utföras och markerar sedan cellen och drar nedåt för att räntekostnaden för övriga år ska beräknas.

Nu återstår att beräkna total årskostnad, som utgörs av amortering och räntekostnad, för respektive år samt avgöra vilken månadskostnad det motsvarar. För att beräkna totala kostnaden för år $2017$ summeras därför cellerna b2 och d2, dvs. amorteringen och räntekostnaden för detta år.

På samma sätt som tidigare hittar man även totalkostnaden för övriga år.

Till sist divideras respektive årskostnad med $12$ för att ta reda på månadskostnaden. För år $2017$ innebär det alltså att man skriver in "=e2/12".

Och så drar man nedåt för att få reda på övriga månadskostnader.

Tabellen är nu komplett och man t.ex. se att vad man ska betala in varje månad tills lånet är avbetalat.

{{ article.displayTitle }}