Ränta och lån med geometriska summor

Pengar på ett sparkonto ökar exponentiellt med tiden, och kan beskrivas med en exponentialfunktion: Vi vet att det ska finnas $5000$ kr på kontot efter $2$ år, så $t=2$ och $y=5000.$ Vi vet också att räntan på kontot är $3\%,$ vilket ger en förändringsfaktor, $a,$ på $1.03.$ Sätter vi in dessa värden kan vi lösa ut $C,$ vilket ger nuvärdet av $5000$ kr om två år. Jennie måste sätta in $4713$ kr på kontot för att ha råd med cykeln om två år. Nuvärdet av $5000$ kr är alltså $4713$ kr när sparperioden är två år och räntan $3\%.$

För att förstå hur en annuitet beräknas måste man se lånet från bankens perspektiv. Med en ränta på $4\%$ över fem år på lånebeloppet $25000$ kr blir slutvärdet på lånet vilket är vad banken förväntar sig att få tillbaka. Vi antar att annuiteten, alltså den årliga inbetalningen, är $x.$ Vi ställer nu upp ett uttryck för annuitetslånets slutvärde med hjälp av avbetalningarnas värde för banken. Första avbetalningen sker efter ett år och banken har tillgång till den i ytterligare $4,$ vilket ger slutvärdet eftersom man räknar med att banken kan få lika mycket ränta för pengarna under dessa år. Nästa avbetalning sker efter det andra året och banken har tillgång till dessa pengar i $3$ år, vilket ger dem slutvärdet På samma sätt får den tredje avbetalningen slutvärdet $x\cdot 1.04^2,$ den fjärde $x\cdot 1.04$ och den sista bara $x.$ Lägger man ihop slutvärdena för alla dessa avbetalningar får man vilket är en geometrisk summa med $n=5$ termer, kvoten $k=1.04$ och startvärdet $a=x.$ Sätter man in detta i formeln för geometrisk summa får man Slutvärde för annuitetslånet ska vara lika stort som om hela lånesumman hade betalas tillbaka efter fem år, vilket ju var $25000\cdot 1.04^5$ kr. Vi sätter dessa två uttryck lika med varandra och löser ut $x.$

Tildas annuitet blir alltså $5616$ kr, vilket är vad hon betalar varje år.