Ränta och lån med geometriska summor

Eftersom pengarna växer exponentiellt kan slutvärdet y bestämmas med en exponentialfunktion. Vi vet att värdet idag, dvs. nuvärdet, är 3000 kr, räntan är 5 % och tiden som pengarna sitter på kontot är 10 år. Vi sätter in detta i formen för en exponentialfunktion och beräknar.

Slutvärdet är 4887 kr.

Nu vet vi att slutvärdet ska vara 100 000 kr efter 2 år. Vi sätter in det vi vet i den generella formeln för en exponentialfunktion och löser ut C.

Nuvärdet är 90 703 kr så det måste Penelope sätta in på banken om hon ska kunna ha sitt bröllop om 2 år.

Pengarna har vuxit med 2.5 % och hunnit bli 15 000 kr efter 3 år. Eftersom pengarna växer med lika många procent varje år kan summan på kontot beskrivas med exponentialfunktionen y=C* a^x, där y är slutvärdet, C är nuvärdet, a är räntan uttryckt som en förändringsfaktor och x är tiden.

Nuvärdet av pengarna är alltså ca 13 929 kr.

För att beräkna slutvärdet om 10 år så utgår vi från nuvärdet 13 929 kr och beräknar y efter 10 år.

Slutvärdet är 17 830 kr.

Vi kan beräkna summan genom att titta på varje insättning för sig. Den första insättningen på 2000 kr görs 2013 och är på banken tom. år 2020, dvs. i 7 år. Det betyder att slutvärdet för den insättningen blir 2000* 1.02^7 kr. Den andra insättningen görs ett år senare och kommer därför att vara på kontot i 6 år vilket ger slutvärdet 2000*1.02^6 kr. Nästa insättning kommer att få slutvärdet 2000* 1.02^5 kr osv. fram till den sista insättningen på 2000 kr. Genom att summera alla slutvärden kan vi beräkna hur mycket pengar som finns på kontot år 2020: 2000* 1.02^7+2000* 1.02^6+...+2000. Om vi vänder på summan ser vi tydligare att det är en geometrisk talföljd: 2000+2000* 1.02+...+2000* 1.02^7. Talföljden har kvoten k=1.02 och det första elementet a=2000. Det görs totalt n=8 insättningar så vi beräknar s_8 med formeln för geometrisk summa.

Marcel har alltså cirka 17 166 kr på banken i slutet av 2020.

Vi vet att den första ballongen innehåller 3 liter. Om mängden luft han blåser in i nästa ballong är 25 % mindre än i den första kommer nästa ballong att innehålla 3* 0.75 liter. Den tredje ballongen innehåller 3* 0.75* 0.75 liter osv. vilket ger den geometriska summan 3+3* 0.75+3* 0.75^2+...+3* 0.75^9. Det finns n=10 termer, kvoten är k=0.75 och startvärdet är a=3. Vi sätter in detta i formeln för geometrisk summa.

Mängden luft i de 10 ballongerna är alltså cirka 11.3 liter.

Slutvärdet är det banken tjänar om Tony betalar tillbaka allt efter 20 år inklusive ränta. Genom att sätta in det vi vet i den allmänna formen för en exponentialfunktion kan vi beräkna slutvärdet.

Slutvärdet är alltså 672 750 kr.

Efter 1 år betalar Tony annuiteten x kr och denna delbetalning tjänar ränta åt banken under 19 år, den andra annuiteten tjänar banken ränta på i 18 år och den sista annuiteten tjänar banken ingen ränta alls på eftersom den betalas in i slutet av år 20. Om vi adderar dessa annuiteter får vi ett uttryck som också beskriver lånets slutvärde: x* 1.1^(19)+x* 1.1^(18)+x* 1.1^(17)+... + x. Vi kan även välja att vända på uttrycket så att den liknar en geometrisk summa lite mer: x+x* 1.1+x* 1.1^2 + ... +x* 1.1^(19). Den geometriska summan som beskriver annuitetslånet har n=20 termer, kvoten k=1.1 och startvärdet a=x. Sätter man in detta i formeln för en geometrisk summa får man a(k^n - 1)/k - 1=x(1.1^(20)- 1)/1.1 - 1. Slutvärdet för annuitetslånet ska vara lika stort som om hela lånesumman hade betalas tillbaka efter 20 år, vilket var 672 750 kr. Vi sätter därför dessa två uttryck lika med varandra och löser ut x.

Annuiteten är 11 746 kr.