Geometriska talföljder och summor

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Talföljd

En talföljd är en ändlig eller oändlig följd av tal, sk. element. Talen kallas ofta a1,a_1, a2,a_2, a3a_3 osv. där den nedsänkta siffran kallas för index och anger vilken position i talföljden ett element har.
Regel

Geometrisk talföljd

En geometrisk talföljd byggs upp genom att varje element multipliceras med samma tal kk för att få nästa element. Talet kk kan t.ex. vara 2,2, så att varje tal i följden är dubbelt så stort som det förra.

geometrisk talföljd

Precis som i andra följder brukar första talet kallas a1,a_1, nästa a2a_2 osv.

geometrisk talföljd

Talet kk brukar kallas följdens kvot. Det heter så eftersom kk kan bestämmas genom att ta två intilliggande tal i följden och dividera dem: det senare delat på det föregående.

k=anan1k=\dfrac{a_n}{a_{n-1}}

Regel

Formel

Element a3a_3 ligger två steg bort från startvärdet a1,a_1, och därför ska a1a_1 multipliceras med kk två gånger för att ge a3.a_3. Samma resonemang kan användas för vilket ana_n som helst i följden: ana_n ligger n1n-1 steg bort från a1,a_1,a1a_1 multipliceras med kk precis så många gånger.

an=a1kn1a_n=a_1\cdot k^{n-1}

Uppgift


Beräkna det tolfte elementet i den oändliga geometriska talföljden 4,12,36,108, 4,\, 12,\, 36,\, 108,\ldots

Lösning
Vi börjar med att undersöka vad kvoten kk mellan ett element och det närmast föregående är. Eftersom vi får givet att talföljden är geometrisk och kvoten i en sådan är konstant räcker det med att dividera t.ex. de två första elementen: 124=3. \dfrac{12}{4}=3. Kvoten är alltså 33 och vi ska nu bestämma det tolfte elementet. Det första elementet, a1a_1, är känt vilket betyder att vi kan ta fram en formel för talföljden: an=a1kn1. a_n=a_1\cdot k^{n-1}. Vi sätter in a1=4,a_1=4, k=3k=3 och n=12.n=12.
an=a1kn1a_n=a_1\cdot k^{n-1}
a12=43121a_{12}=4\cdot 3^{12-1}
a12=4311a_{12}=4\cdot 3^{11}
a12=708588a_{12}=708\,588
Det tolfte elementet i talföljden är alltså 708588.708\,588.
Visa lösning Visa lösning
Regel

Geometrisk summa

Summan av de nn första talen i en geometrisk talföljd kallas för en geometrisk summa. Den skrivs ofta:

sn=a+ak+ak2++akn1, s_n=a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1}, där aa är första talet, kk är kvoten mellan två intilliggande tal och nn är antalet termer. Ett exempel är följande geometriska summa som består av de fyra första elementen i den geometriska talföljden an=7001.5n1a_n=700 \cdot 1.5^{n-1}: 700+7001.5+7001.52+7001.53. 700+700\cdot 1.5 + 700\cdot 1.5^2 + 700\cdot 1.5^3. Man kan beräkna summan genom att addera termerna, en i taget. Alternativt, om man känner till värdena a,a, k,k, och nn kan man använda en formel.

Regel

a+ak++akn1=a(kn1)k1k1a+ak+ \ldots +ak^{n-1}=\dfrac{a\left(k^n-1\right)}{k-1} \qquad k \neq 1


Man kan motivera formeln med hjälp av en geometrisk summa där t.ex. n=4n=4:

s4=a+ak+ak2+ak3. s_4=a+ak+ak^2+ak^3. Om man multiplicerar ekvationen med kvoten kk får man en ny ekvation:

s4k=ak+ak2+ak3+ak4. s_4 \cdot k=ak+ak^2+ak^3+ak^4. Genom att subtrahera den första ekvationen från den andra kan man få bort ett antal termer från högerledet i ekvationen.

s4=a+ak+ak2+ak3(I)s4k=ak+ak2+ak3+ak4(II)\begin{array}{lc}s_4=a+ak+ak^2+ak^3 & \text{(I)}\\ s_4 \cdot k=ak+ak^2+ak^3+ak^4 & \text{(II)}\end{array}
s4=a+ak+ak2+ak3s4ks4=ak+ak2+ak3+ak4(a+ak+ak2+ak3)\begin{array}{l}s_4=a+ak+ak^2+ak^3 \\ s_4 \cdot k-{\color{#0000FF}{s_4}}=ak+ak^2+ak^3+ak^4-\left({\color{#0000FF}{a+ak+ak^2+ak^3}}\right) \end{array}
s4=a+ak+ak2+ak3s4ks4=ak+ak2+ak3+ak4aakak2ak3\begin{array}{l}s_4=a+ak+ak^2+ak^3 \\ s_4 \cdot k-s_4=ak+ak^2+ak^3+ak^4-a-ak-ak^2-ak^3 \end{array}
s4=a+ak+ak2+ak3s4ks4=ak4a\begin{array}{l}s_4=a+ak+ak^2+ak^3 \\ s_4 \cdot k-s_4=ak^4-a \end{array}

Nu kan man fokusera på den andra ekvationen och lösa ut s4.s_4.

s4ks4=ak4as_4 \cdot k-s_4=ak^4-a
s4(k1)=ak4as_4(k-1)=ak^4-a
s4=ak4ak1s_4=\dfrac{ak^4-a}{k-1}
s4=a(k41)k1s_4=\dfrac{a\left(k^4-1\right)}{k-1}


Men s4s_4 var ju från början definierad som a+ak+ak2+ak3.a+ak+ak^2+ak^3. Därför kan man skriva likheten

a+ak+ak2+ak3=a(k41)k1, a+ak+ak^2+ak^3=\dfrac{a\left(k^4-1\right)}{k-1}, vilket är samma sak som man får om man sätter in n=4n=4 i den generella formeln för summan. Motsvarande motivering kan också göras som ett generellt bevis för nn stycken termer.

Uppgift

Beräkna den geometriska summan 80+801.5+801.52+801.53. 80+80\cdot 1.5+80\cdot 1.5^2+80\cdot 1.5^3.

Lösning

Formeln för att beräkna en geometrisk summa är: a+ak+ak2++akn1=a(kn1)k1. a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1}=\dfrac{a\left(k^n-1\right)}{k-1}. Det första talet är a=80a=80 och kvoten mellan två intilliggande element är k=1.5.k=1.5. I formeln står nn för antalet termer och om vi räknar dessa ser vi att den består av 44 termer, så n=4n=4. Vi sätter in våra värden i formeln och förenklar.

sn=a(kn1)k1s_n=\dfrac{a\left(k^n-1\right)}{k-1}
s4=80(1.541)1.51s_{4}=\dfrac{80 \left(1.5^4-1\right)}{1.5-1}
s4=80(1.541)0.5s_{4}=\dfrac{80 \left(1.5^4-1\right)}{0.5}
s4=160(1.541)s_{4}=160 \left(1.5^4-1\right)
s4=650s_{4}=650
Summan är alltså lika med 650.650.
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}