Förklaring

Hur beräknas ett annuitetslån?

Tar man ett annuitetslån betalar man en lika stor summa varje gång man gör en avbetalning och denna summa kallas lånets annuitet. Förutom amortering ingår även ränta i detta belopp. För att förstå hur annuiteten beräknas måste man titta på lånet från bankens perspektiv.

Förklaring

Hur mycket vill banken ha tillbaka?

Om man tar ett lån på $100\,000$ kr med $5\,\%$ ränta och betalar tillbaka hela detta vid ett och samma tillfälle efter $10$ år kommer man att behöva betala $100\,000 \cdot 1.05^{10} \approx 162\,889\, \text{kr.}$ Detta är slutvärdet för de lånade $100\,000$ kronorna efter $10$ år, och är alltså vad banken förväntar sig att ha efter den tiden. Slutvärdet består av $100\,000$ kr i amorteringar plus $62\,889$ kr i räntekostnader.

Om beloppet istället delas upp i ett antal mindre återbetalningar kommer banken att ha tillgång till en del av sina pengar tidigare än efter $10$ år.

Förklaring

Vad gör banken med de återbetalade pengarna?

När man beräknar annuitetslån gör man antagandet att banken direkt använder de återbetalade pengarna så att de ökar i värde på samma sätt som lånet, alltså $5\,\%$ per år. De kan t.ex. låna ut dem till en annan kund eller investera dem på något annat sätt. För banken ökar alltså lånepengarna i värde med $5\,\%$ per år oavsett om de är utlånade eller har betalats tillbaka. Detta är något man måste ta hänsyn till för att annuiteten ska bli korrekt.

Förklaring

Hur blir totala slutvärdet en geometrisk summa?

Låt säga att lånet i exemplet betalas tillbaka med annuiteten $x$ kr/år och att den första återbetalningen sker efter ett år. Dessa pengar har banken tillgång till i $9$ år och de kommer att generera $5\,\%$ ränta på något annat sätt under denna tid. Slutvärdet för den första avbetalningen blir då för banken $x \cdot 1.05^9$ kr

På samma sätt kommer nästa inbetalning att generera ränta för banken under $8$ år, och nästa under $7$ år, osv. fram till slutet på år $10$ då man avslutar lånet med den sista avbetalningen på $x$ kr.

Summerar man slutvärdena för alla inbetalningar får man en geometrisk summa: $x + x \cdot 1.05 + x \cdot 1.05^2 + \cdots + x \cdot 1.05^9.$ Med hjälp av formeln för geometrisk summa kan detta uttryck sedan förenklas: $x + x \cdot 1.05 + x \cdot 1.05^2 + \cdots + x \cdot 1.05^9 = \dfrac{x \left( 1.05^{10} - 1 \right)}{1.05 - 1}.$ Värdet av annuitetslånet för banken är alltså $\frac{x \left(1.05^{10} - 1 \right)}{1.05 - 1}$ kr, där $x$ är annuiteten.

Förklaring

Vad blir annuiteten?

För att bestämma $x$ måste man komma ihåg att banken vill få ut totalt $100\,000 \cdot 1.05^{10}$ kr av lånet. De väljer alltså annuiteten så att de två slutvärdena är lika med varandra: $\dfrac{x\left(1.05^{10} - 1\right)}{1.05 - 1} = 100\,000 \cdot 1.05^{10}.$ Man kan nu lösa ut $x$ ur detta uttryck för att bestämma den summa som ska betalas årligen.

$\dfrac{x\left(1.05^{10} - 1\right)}{1.05 - 1} = 100\,000 \cdot 1.05^{10}$

$\text{VL} \cdot (1.05 - 1)=\text{HL}\cdot (1.05 - 1)$

$x\left(1.05^{10} - 1\right) = 100\,000 \cdot 1.05^{10} (1.05 - 1)$

$\left.\text{VL}\middle/\left(1.05^{10} - 1\right)\right.=\left.\text{HL}\middle/\left(1.05^{10} - 1\right)\right.$

$x = \dfrac{100\,000 \cdot 1.05^{10} (1.05 - 1)}{1.05^{10} - 1}$

Slå in på räknare

$x = 12\,950.45749\ldots$

Avrunda till närmaste heltal

$x \approx 12\,950$

Annuiteten blir alltså $12\,950$ kr, som betalas årligen i $10$ år.