2. Ränta och lån med geometriska summor
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 6
2.
Ränta och lån med geometriska summor
Lektionen fokuserar på att använda geometriska summor för att beräkna olika ekonomiska scenarier. Det finns exempel på hur man kan beräkna värdet på ett sparkonto med regelbundna insättningar, och hur man kan använda geometriska summor för att beräkna amortering och ränta för olika typer av lån. Det finns också förklaringar om begrepp som slutvärde, nuvärde och annuitetslån. Exemplen inkluderar beräkningar för att bestämma nuvärdet av en framtida summa pengar och beräkningar för att bestämma annuiteten för ett lån.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 6 sidor teori |
| | 13 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Ränta och lån med geometriska summor
Sida av 6
Ett vanligt användningsområde för geometriska summor är för att beräkna hur mycket pengar det kommer att finnas på ett sparkonto där man gör regelbundna insättningar. De kan också användas för att beräkna amortering och ränta för olika typer av lån.
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Slutvärde
- Nuvärde
- Annuitetslån
Förkunskaper
Dela
Rapportera fel
Översätt
Begrepp
Slutvärde och nuvärde
För att beskriva hur värdet på något förändras över tid använder man ibland de två termerna slutvärde och nuvärde. Slutvärdet är det slutgiltiga värdet på något, t.ex. den totala summan pengar på ett konto efter en viss tid eller värdet på en bil efter ett visst antal år. Nuvärdet är det ursprungliga värdet, alltså insättningen på kontot och inköpspriset för bilen.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bestäm nuvärdet
Jennie vet att hon kommer att behöva köpa en cykel som kostar 5 000 kr om två år. Hon är ordentlig av sig, så hon vill sätta in pengar på sitt bankkonto redan nu så att hon har råd med cykeln när det väl behövs. Vad är nuvärdet av dessa 5 000 kr om Jennies bankonto har en ränta på 3 %?
Ledtråd
Använd en exponentialfunktion för att beskriva hur pengarna på ett sparkonto ökar.
Lösning
Pengar på ett sparkonto ökar exponentiellt med tiden, och kan beskrivas med en exponentialfunktion:
y=C* a^t.
Vi vet att det ska finnas 5 000 kr på kontot efter 2 år, så t = 2 och y = 5 000. Vi vet också att räntan på kontot är 3 %, vilket ger en förändringsfaktor, a, på 1,03. Sätter vi in dessa värden kan vi lösa ut C, vilket ger nuvärdet av 5000 kr om två år.
y= C * a^t
SubstituteValues
Sätt in värden
5000 = C * 1,03^2
DivEqn
.VL /1,03^2.=.HL /1,03^2.
5000/1,03^2 = C
RearrangeEqn
Omarrangera ekvation
C = 5000/1,03^2
UseCalc
Slå in på räknare
C = 4 712,97954...
RoundInt
Avrunda till närmaste heltal
C = 4 713
Jennie måste sätta in 4 713 kr på kontot för att ha råd med cykeln om två år. Nuvärdet av 5 000 kr är alltså 4 713 kr när sparperioden är två år och räntan 3 %.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Annuitetslån
När man tar ett lån måste man betala av lånet, vilket kallas att amortera, och man måste även betala ränta. För ett annuitetslån är summan av amortering och ränta konstant vilket innebär att varje inbetalning är lika stor. Storleken på inbetalningarna kallas för lånets annuitet och kan beräknas med hjälp av geometriska summor.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bestäm annuiteten
Tilda ska låna pengar till att köpa en optimistjolle för 25 000 kr. Hon tar ett annuitetslån med 4 % ränta som ska återbetalas en gång per år över fem år. Vad blir annuiteten?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"x\u2248","formTextAfter":null,"answer":{"text":["5616"]}}
Ledtråd
Skriv ett exponentialuttryck med hjälp av den givna informationen. Använd formeln för en geometrisk summa och använd den för att skriva en ekvation för livräntan.
Lösning
För att förstå hur en annuitet beräknas måste man se lånet från bankens perspektiv. Med en ränta på 4 % över fem år på lånebeloppet 25 000 kr blir slutvärdet på lånet
25 000 * 1,04^5 kr,
vilket är vad banken förväntar sig att få tillbaka. Vi antar att annuiteten, alltså den årliga inbetalningen, är x. Vi ställer nu upp ett uttryck för annuitetslånets slutvärde med hjälp av avbetalningarnas värde för banken. Första avbetalningen sker efter ett år och banken har tillgång till den i ytterligare 4, vilket ger slutvärdet
x * 1,04^4 kr
eftersom man räknar med att banken kan få lika mycket ränta för pengarna under dessa år. Nästa avbetalning sker efter det andra året och banken har tillgång till dessa pengar i 3 år, vilket ger dem slutvärdet
x * 1,04^3 kr.
På samma sätt får den tredje avbetalningen slutvärdet x * 1,04^2, den fjärde x * 1,04 och den sista bara x.
Lägger man ihop slutvärdena för alla dessa avbetalningar får man x + x * 1,04 + x * 1,04^2 + x * 1,04^3 + x * 1,04^4, vilket är en geometrisk summa med n=5 termer, kvoten k=1,04 och startvärdet a=x. Sätter man in detta i formeln för geometrisk summa får man a(k^n - 1)/k - 1=x(1,04^5 - 1)/1,04 - 1. Slutvärde för annuitetslånet ska vara lika stort som om hela lånesumman hade betalas tillbaka efter fem år, vilket ju var 25 000 * 1,04^5 kr. Vi sätter dessa två uttryck lika med varandra och löser ut x.
x(1,04^5 - 1)/1,04 - 1 = 25 000 * 1,04^5
MultEqn
VL * (1,04 - 1)=HL* (1,04 - 1)
x(1,04^5 - 1) = 25 000 * 1,04^5 * (1,04 - 1)
DivEqn
.VL /(1,04^5 - 1).=.HL /(1,04^5 - 1).
x = 25 000 * 1,04^5 * (1,04 - 1)/1,04^5 - 1
UseCalc
Slå in på räknare
x=5 615,67783...
RoundInt
Avrunda till närmaste heltal
x ≈ 5 616
Tildas annuitet blir alltså 5 616 kr, vilket är vad hon betalar varje år.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Digitala verktyg
Ränta och kalkylprogram
Om man tar ett lån kan man använda ett kalkylprogram för att bl.a. beräkna hur ens räntekostnad förändras när lånet amorteras. Antag att man tar ett lån på 250 000 kr år 2017 som ska betalas av med rak amortering på 10 år. Årsräntan är 5,4 %. I ett kalkylark kan man då skriva in rubriker på det man vill hålla koll på, t.ex. som nedan.
1
Fyll i amorteringskolumnen
expand_more Eftersom man ska amortera lika mycket varje år skriver man 250 000/10=25 000
på alla rader i amorteringskolumnen.
2
Räkna ut kvarstående lån
expand_more Nu kan man använda dessa belopp för att beräkna hur mycket av lånet som kommer återstå respektive år. Man börjar med att skriva in startbeloppet 250 000 kr på raden för 2017. Därefter markeras cell c3 och man skriver 
=c2-b3för att få reda på hur stort lånebeloppet är år 2018.
3
Kopiera formeln nedåt
expand_more Trycker man på Enter subtraheras amorteringsbeloppet i cell b3 från lånebeloppet i c2, dvs. beräkningen 250 000-25 000=225 000 utförs. Om man nu markerar cell c3, tar tag i den lilla rutan och drar nedåt till och med sista raden kommer lånebeloppen för övriga årtal beräknas automatiskt.
4
Beräkna räntekostnader
expand_more På liknande sätt kan man betsämma övriga värden i tabellen. För att beräkna räntekostnaden för år 2017 skriver man i cell d2 in 
=c2*0,054för att ta reda på hur mycket 5,4 % av lånebeloppet 250 000 är.
5
Kopiera ränteformeln
expand_more Man trycker ännu en gång på enter för att beräkningen ska utföras och markerar sedan cellen och drar nedåt för att räntekostnaden för övriga år ska beräknas.
6
Beräkna total årskostnad
expand_more Nu återstår att beräkna total årskostnad, som utgörs av amortering och räntekostnad, för respektive år samt avgöra vilken månadskostnad det motsvarar. För att beräkna totala kostnaden för år 2017 summeras därför cellerna b2 och d2, dvs. amorteringen och räntekostnaden för detta år.
7
Kopiera total årskostnad nedåt
expand_more På samma sätt som tidigare hittar man även totalkostnaden för övriga år.
8
Beräkna månadskostnad
expand_more Till sist divideras respektive årskostnad med 12 för att ta reda på månadskostnaden. För år 2017 innebär det alltså att man skriver in 
=e2/12.
9
Kopiera månadskostnader nedåt
expand_more Och så drar man nedåt för att få reda på övriga månadskostnader.
10
Klar tabell
expand_more Tabellen är nu komplett och man t.ex. se att vad man ska betala in varje månad tills lånet är avbetalat.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Ränta och lån med geometriska summor
Uppgift 1.1
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"kr","answer":{"text":["4887"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"kr","answer":{"text":["90703"]}}
security
report
code
security
report
code
Eftersom pengarna växer exponentiellt kan slutvärdet y bestämmas med en exponentialfunktion. Vi vet att värdet idag, dvs. nuvärdet, är 3 000 kr, räntan är 5 % och tiden som pengarna sitter på kontot är 10 år. Vi sätter in detta i formen för en exponentialfunktion och beräknar.
Slutvärdet är 4 887 kr.
Nu vet vi att slutvärdet ska vara 100 000 kr efter 2 år. Vi sätter in det vi vet i den generella formeln för en exponentialfunktion och löser ut C.
Nuvärdet är 90 703 kr så det måste Penelope sätta in på banken om hon ska kunna ha sitt bröllop om 2 år.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"kr","answer":{"text":["13929"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"kr","answer":{"text":["17830"]}}
security
report
code
security
report
code
Pengarna har vuxit med 2,5 % och hunnit bli 15 000 kr efter 3 år. Eftersom pengarna växer med lika många procent varje år kan summan på kontot beskrivas med exponentialfunktionen y=C* a^x, där y är slutvärdet, C är nuvärdet, a är räntan uttryckt som en förändringsfaktor och x är tiden.
Nuvärdet av pengarna är alltså ca 13 929 kr.
För att beräkna slutvärdet om 10 år så utgår vi från nuvärdet 13 929 kr och beräknar y efter 10 år.
Slutvärdet är 17 830 kr.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Marcel tänker sätta in 2 000 kr på ett sparkonto i slutet av varje år. Han tänker göra sin första insättning i slutet av år 2013 och den sista i slutet av år 2020. Marcel räknar med en årlig ränta på 2 %. Hur mycket pengar kommer han att ha på sitt konto omedelbart efter den sista insättningen? Svara i hela kronor.
Nationella provet HT12 3b
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"ca","formTextAfter":"kr","answer":{"text":["17166"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi kan beräkna summan genom att titta på varje insättning för sig. Den första insättningen på 2 000 kr görs 2013 och är på banken tom. år 2020, dvs. i 7 år. Det betyder att slutvärdet för den insättningen blir 2 000* 1,02^7 kr. Den andra insättningen görs ett år senare och kommer därför att vara på kontot i 6 år vilket ger slutvärdet 2 000*1,02^6 kr. Nästa insättning kommer att få slutvärdet 2 000* 1,02^5 kr osv. fram till den sista insättningen på 2 000 kr. Genom att summera alla slutvärden kan vi beräkna hur mycket pengar som finns på kontot år 2020: 2 000* 1,02^7+2 000* 1,02^6+...+2 000. Om vi vänder på summan ser vi tydligare att det är en geometrisk talföljd: 2 000+2 000* 1,02+...+2 000* 1,02^7. Talföljden har kvoten k=1,02 och det första elementet a=2 000. Det görs totalt n=8 insättningar så vi beräknar s_8 med formeln för geometrisk summa.
Marcel har alltså cirka 17 166 kr på banken i slutet av 2020.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Henrik ska blåsa upp 10 ballonger. I den första ballongen får han in 3 liter luft. Sedan blir han trött och mängden luft i ballongerna minskar då med 25 % per ballong. Hur mycket luft finns det sammanlagt i ballongerna när han har blåst upp allihopa? Avrunda till en decimal.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"liter","answer":{"text":["11,3"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi vet att den första ballongen innehåller 3 liter. Om mängden luft han blåser in i nästa ballong är 25 % mindre än i den första kommer nästa ballong att innehålla 3* 0,75 liter. Den tredje ballongen innehåller 3* 0,75* 0,75 liter osv. vilket ger den geometriska summan 3+3* 0,75+3* 0,75^2+...+3* 0,75^9. Det finns n=10 termer, kvoten är k=0,75 och startvärdet är a=3. Vi sätter in detta i formeln för geometrisk summa.
Mängden luft i de 10 ballongerna är alltså cirka 11,3 liter.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"kr","answer":{"text":["672750"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"kr","answer":{"text":["11746"]}}
security
report
code
security
report
code
Slutvärdet är det banken tjänar om Tony betalar tillbaka allt efter 20 år inklusive ränta. Genom att sätta in det vi vet i den allmänna formen för en exponentialfunktion kan vi beräkna slutvärdet.
Slutvärdet är alltså 672 750 kr.
Efter 1 år betalar Tony annuiteten x kr och denna delbetalning tjänar ränta åt banken under 19 år, den andra annuiteten tjänar banken ränta på i 18 år och den sista annuiteten tjänar banken ingen ränta alls på eftersom den betalas in i slutet av år 20. Om vi adderar dessa annuiteter får vi ett uttryck som också beskriver lånets slutvärde:
x* 1,1^(19)+x* 1,1^(18)+x* 1,1^(17)+... + x.
Vi kan även välja att vända på uttrycket så att den liknar en geometrisk summa lite mer:
x+x* 1,1+x* 1,1^2 + ... +x* 1,1^(19).
Den geometriska summan som beskriver annuitetslånet har n=20 termer, kvoten k=1,1 och startvärdet a=x. Sätter man in detta i formeln för en geometrisk summa får man
a(k^n - 1)/k - 1=x(1,1^(20)- 1)/1,1 - 1.
Slutvärdet för annuitetslånet ska vara lika stort som om hela lånesumman hade betalas tillbaka efter 20 år, vilket var 672 750 kr. Vi sätter därför dessa två uttryck lika med varandra och löser ut x.
Annuiteten är 11 746 kr.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Ränta och lån med geometriska summor
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll