Geometrisk summa

Man kan motivera formeln med hjälp av en geometrisk summa där t.ex. $n = 4$ :

s_{4} = a + a k + a k^{2} + a k^{3} .

Om man multiplicerar ekvationen med kvoten

k

får man en ny ekvation:

s_{4} \cdot k = a k + a k^{2} + a k^{3} + a k^{4} .

Genom att subtrahera den första ekvationen från den andra kan man få bort ett antal termer från högerledet i ekvationen.

s_{4} = a + a k + a k^{2} + a k^{3} s_{4} \cdot k = a k + a k^{2} + a k^{3} + a k^{4} (I) (II)

$(II):$ Subtrahera $(I)$

s_{4} = a + a k + a k^{2} + a k^{3} s_{4} \cdot k - s_{4} = a k + a k^{2} + a k^{3} + a k^{4} - (a + a k + a k^{2} + a k^{3})

$(II):$ Ta bort parentes & byt tecken

s_{4} = a + a k + a k^{2} + a k^{3} s_{4} \cdot k - s_{4} = a k + a k^{2} + a k^{3} + a k^{4} - a - a k - a k^{2} - a k^{3}

$(II):$ Förenkla termer

s_{4} = a + a k + a k^{2} + a k^{3} s_{4} \cdot k - s_{4} = a k^{4} - a

Nu kan man fokusera på den andra ekvationen och lösa ut $s_{4} .$

s_{4} \cdot k - s_{4} = a k^{4} - a

Bryt ut $s_{4}$

s_{4} (k - 1) = a k^{4} - a

$VL / (k - 1) = HL / (k - 1)$

s_{4} = \frac{a k ^{4} - a}{k - 1}

Bryt ut $a$

s_{4} = \frac{a ( k ^{4} - 1 )}{k - 1}

Men $s_{4}$ var ju från början definierad som $a + a k + a k^{2} + a k^{3} .$ Därför kan man skriva likheten

a + a k + a k^{2} + a k^{3} = \frac{a ( k ^{4} - 1 )}{k - 1},

vilket är samma sak som man får om man sätter in

n = 4

i den generella formeln för summan. Motsvarande motivering kan också göras som ett generellt bevis för

n

stycken termer.

{{ article.displayTitle }}

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount}}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount}}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}