Regel

Geometrisk summa

Summan av de nn första talen i en geometrisk talföljd kallas för en geometrisk summa. Den skrivs ofta:

sn=a+ak+ak2++akn1, s_n=a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1}, där aa är första talet, kk är kvoten mellan två intilliggande tal och nn är antalet termer. Ett exempel är följande geometriska summa som består av de fyra första elementen i den geometriska talföljden an=7001.5n1a_n=700 \cdot 1.5^{n-1}: 700+7001.5+7001.52+7001.53. 700+700\cdot 1.5 + 700\cdot 1.5^2 + 700\cdot 1.5^3. Man kan beräkna summan genom att addera termerna, en i taget. Alternativt, om man känner till värdena a,a, k,k, och nn kan man använda en formel.

Regel

a+ak++akn1=a(kn1)k1k1a+ak+ \ldots +ak^{n-1}=\dfrac{a\left(k^n-1\right)}{k-1} \qquad k \neq 1


Man kan motivera formeln med hjälp av en geometrisk summa där t.ex. n=4n=4:

s4=a+ak+ak2+ak3. s_4=a+ak+ak^2+ak^3. Om man multiplicerar ekvationen med kvoten kk får man en ny ekvation:

s4k=ak+ak2+ak3+ak4. s_4 \cdot k=ak+ak^2+ak^3+ak^4. Genom att subtrahera den första ekvationen från den andra kan man få bort ett antal termer från högerledet i ekvationen.

s4=a+ak+ak2+ak3(I)s4k=ak+ak2+ak3+ak4(II)\begin{array}{lc}s_4=a+ak+ak^2+ak^3 & \text{(I)}\\ s_4 \cdot k=ak+ak^2+ak^3+ak^4 & \text{(II)}\end{array}
s4=a+ak+ak2+ak3s4ks4=ak+ak2+ak3+ak4(a+ak+ak2+ak3)\begin{array}{l}s_4=a+ak+ak^2+ak^3 \\ s_4 \cdot k-{\color{#0000FF}{s_4}}=ak+ak^2+ak^3+ak^4-\left({\color{#0000FF}{a+ak+ak^2+ak^3}}\right) \end{array}
s4=a+ak+ak2+ak3s4ks4=ak+ak2+ak3+ak4aakak2ak3\begin{array}{l}s_4=a+ak+ak^2+ak^3 \\ s_4 \cdot k-s_4=ak+ak^2+ak^3+ak^4-a-ak-ak^2-ak^3 \end{array}
s4=a+ak+ak2+ak3s4ks4=ak4a\begin{array}{l}s_4=a+ak+ak^2+ak^3 \\ s_4 \cdot k-s_4=ak^4-a \end{array}

Nu kan man fokusera på den andra ekvationen och lösa ut s4.s_4.

s4ks4=ak4as_4 \cdot k-s_4=ak^4-a
s4(k1)=ak4as_4(k-1)=ak^4-a
s4=ak4ak1s_4=\dfrac{ak^4-a}{k-1}
s4=a(k41)k1s_4=\dfrac{a\left(k^4-1\right)}{k-1}


Men s4s_4 var ju från början definierad som a+ak+ak2+ak3.a+ak+ak^2+ak^3. Därför kan man skriva likheten

a+ak+ak2+ak3=a(k41)k1, a+ak+ak^2+ak^3=\dfrac{a\left(k^4-1\right)}{k-1}, vilket är samma sak som man får om man sätter in n=4n=4 i den generella formeln för summan. Motsvarande motivering kan också göras som ett generellt bevis för nn stycken termer.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}