body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

3b

Kurs 3b Visa detaljer

2. Ränta och lån med geometriska summor

Klar med uppgifterna

Fortsätt till nästa lektion

Kapitel 6

2.

Ränta och lån med geometriska summor

Lektionen fokuserar på att använda geometriska summor för att beräkna olika ekonomiska scenarier. Det finns exempel på hur man kan beräkna värdet på ett sparkonto med regelbundna insättningar, och hur man kan använda geometriska summor för att beräkna amortering och ränta för olika typer av lån. Det finns också förklaringar om begrepp som slutvärde, nuvärde och annuitetslån. Exemplen inkluderar beräkningar för att bestämma nuvärdet av en framtida summa pengar och beräkningar för att bestämma annuiteten för ett lån.

	6 sidor teori
	13 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Ränta och lån med geometriska summor

Sida av 6

Ett vanligt användningsområde för geometriska summor är för att beräkna hur mycket pengar det kommer att finnas på ett sparkonto där man gör regelbundna insättningar. De kan också användas för att beräkna amortering och ränta för olika typer av lån.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Slutvärde
Nuvärde
Annuitetslån

Rekommenderat att repetera innan du börjar med det här avsnittet:

Geometriska talföljder och summor

Begrepp

Slutvärde och nuvärde

För att beskriva hur värdet på något förändras över tid använder man ibland de två termerna slutvärde och nuvärde. Slutvärdet är det slutgiltiga värdet på något, t.ex. den totala summan pengar på ett konto efter en viss tid eller värdet på en bil efter ett visst antal år. Nuvärdet är det ursprungliga värdet, alltså insättningen på kontot och inköpspriset för bilen.

Exempel

Bestäm nuvärdet

Jennie vet att hon kommer att behöva köpa en cykel som kostar 5 000 kr om två år. Hon är ordentlig av sig, så hon vill sätta in pengar på sitt bankkonto redan nu så att hon har råd med cykeln när det väl behövs. Vad är nuvärdet av dessa 5 000 kr om Jennies bankonto har en ränta på 3 %?

Ledtråd

Använd en exponentialfunktion för att beskriva hur pengarna på ett sparkonto ökar.

Lösning

Pengar på ett sparkonto ökar exponentiellt med tiden, och kan beskrivas med en exponentialfunktion: y=C* a^t. Vi vet att det ska finnas 5 000 kr på kontot efter 2 år, så t = 2 och y = 5 000. Vi vet också att räntan på kontot är 3 %, vilket ger en förändringsfaktor, a, på 1,03. Sätter vi in dessa värden kan vi lösa ut C, vilket ger nuvärdet av 5000 kr om två år.

y= C * a^t

SubstituteValues

Sätt in värden

5000 = C * 1,03^2

.VL /1,03^2.=.HL /1,03^2.

5000/1,03^2 = C

Omarrangera ekvation

C = 5000/1,03^2

Slå in på räknare

C = 4 712,97954...

Avrunda till närmaste heltal

C = 4 713

Jennie måste sätta in 4 713 kr på kontot för att ha råd med cykeln om två år. Nuvärdet av 5 000 kr är alltså 4 713 kr när sparperioden är två år och räntan 3 %.

Koncept

Annuitetslån

När man tar ett lån måste man betala av lånet, vilket kallas att amortera, och man måste även betala ränta. För ett annuitetslån är summan av amortering och ränta konstant vilket innebär att varje inbetalning är lika stor. Storleken på inbetalningarna kallas för lånets annuitet och kan beräknas med hjälp av geometriska summor.

I figuren illustreras avbetalningar för ett annuitetslån. De består till en början främst av ränta men allteftersom lånet återbetalas minskar andelen ränta. Detta kan jämföras med rak amortering, där man amorterar lika mycket varje månad medan räntekostnaden varierar. Totalt betalar man mer i ränta för ett annuitetslån jämfört med ett lån med rak amortering men i gengäld är storleken på betalningarna man gör jämnt fördelade.

Exempel

Bestäm annuiteten

Tilda ska låna pengar till att köpa en optimistjolle för 25 000 kr. Hon tar ett annuitetslån med 4 % ränta som ska återbetalas en gång per år över fem år. Vad blir annuiteten?

Ledtråd

Skriv ett exponentialuttryck med hjälp av den givna informationen. Använd formeln för en geometrisk summa och använd den för att skriva en ekvation för livräntan.

Lösning

För att förstå hur en annuitet beräknas måste man se lånet från bankens perspektiv. Med en ränta på 4 % över fem år på lånebeloppet 25 000 kr blir slutvärdet på lånet 25 000 * 1,04^5 kr, vilket är vad banken förväntar sig att få tillbaka. Vi antar att annuiteten, alltså den årliga inbetalningen, är x. Vi ställer nu upp ett uttryck för annuitetslånets slutvärde med hjälp av avbetalningarnas värde för banken. Första avbetalningen sker efter ett år och banken har tillgång till den i ytterligare 4, vilket ger slutvärdet x * 1,04^4 kr eftersom man räknar med att banken kan få lika mycket ränta för pengarna under dessa år. Nästa avbetalning sker efter det andra året och banken har tillgång till dessa pengar i 3 år, vilket ger dem slutvärdet x * 1,04^3 kr. På samma sätt får den tredje avbetalningen slutvärdet x * 1,04^2, den fjärde x * 1,04 och den sista bara x.

Lägger man ihop slutvärdena för alla dessa avbetalningar får man x + x * 1,04 + x * 1,04^2 + x * 1,04^3 + x * 1,04^4, vilket är en geometrisk summa med n=5 termer, kvoten k=1,04 och startvärdet a=x. Sätter man in detta i formeln för geometrisk summa får man a(k^n - 1)/k - 1=x(1,04^5 - 1)/1,04 - 1. Slutvärde för annuitetslånet ska vara lika stort som om hela lånesumman hade betalas tillbaka efter fem år, vilket ju var 25 000 * 1,04^5 kr. Vi sätter dessa två uttryck lika med varandra och löser ut x.

x(1,04^5 - 1)/1,04 - 1 = 25 000 * 1,04^5

VL * (1,04 - 1)=HL* (1,04 - 1)

x(1,04^5 - 1) = 25 000 * 1,04^5 * (1,04 - 1)

.VL /(1,04^5 - 1).=.HL /(1,04^5 - 1).

x = 25 000 * 1,04^5 * (1,04 - 1)/1,04^5 - 1

Slå in på räknare

x=5 615,67783...

Avrunda till närmaste heltal

x ≈ 5 616

Tildas annuitet blir alltså 5 616 kr, vilket är vad hon betalar varje år.

Digitala verktyg

Ränta och kalkylprogram

Om man tar ett lån kan man använda ett kalkylprogram för att bl.a. beräkna hur ens räntekostnad förändras när lånet amorteras. Antag att man tar ett lån på 250 000 kr år 2017 som ska betalas av med rak amortering på 10 år. Årsräntan är 5,4 %. I ett kalkylark kan man då skriva in rubriker på det man vill hålla koll på, t.ex. som nedan.

1

Fyll i amorteringskolumnen

Eftersom man ska amortera lika mycket varje år skriver man 250 000/10=25 000 på alla rader i amorteringskolumnen.

2

Räkna ut kvarstående lån

Nu kan man använda dessa belopp för att beräkna hur mycket av lånet som kommer återstå respektive år. Man börjar med att skriva in startbeloppet 250 000 kr på raden för 2017. Därefter markeras cell c3 och man skriver =c2-b3 för att få reda på hur stort lånebeloppet är år 2018.

3

Kopiera formeln nedåt

Trycker man på Enter subtraheras amorteringsbeloppet i cell b3 från lånebeloppet i c2, dvs. beräkningen 250 000-25 000=225 000 utförs. Om man nu markerar cell c3, tar tag i den lilla rutan och drar nedåt till och med sista raden kommer lånebeloppen för övriga årtal beräknas automatiskt.

4

Beräkna räntekostnader

På liknande sätt kan man betsämma övriga värden i tabellen. För att beräkna räntekostnaden för år 2017 skriver man i cell d2 in =c2*0,054 för att ta reda på hur mycket 5,4 % av lånebeloppet 250 000 är.

5

Kopiera ränteformeln

Man trycker ännu en gång på enter för att beräkningen ska utföras och markerar sedan cellen och drar nedåt för att räntekostnaden för övriga år ska beräknas.

6

Beräkna total årskostnad

Nu återstår att beräkna total årskostnad, som utgörs av amortering och räntekostnad, för respektive år samt avgöra vilken månadskostnad det motsvarar. För att beräkna totala kostnaden för år 2017 summeras därför cellerna b2 och d2, dvs. amorteringen och räntekostnaden för detta år.

7

Kopiera total årskostnad nedåt

På samma sätt som tidigare hittar man även totalkostnaden för övriga år.

8

Beräkna månadskostnad

Till sist divideras respektive årskostnad med 12 för att ta reda på månadskostnaden. För år 2017 innebär det alltså att man skriver in =e2/12.

9

Kopiera månadskostnader nedåt

Och så drar man nedåt för att få reda på övriga månadskostnader.

10

Klar tabell

Tabellen är nu komplett och man t.ex. se att vad man ska betala in varje månad tills lånet är avbetalat.

Ränta och lån med geometriska summor

Uppgift 3.1

Bromsmedicinen mot sjukdomen endiveteri tas i tablettform, där 20 % av det aktiva ämnet bryts ner i kroppen varje timme. Tar man en stor tablett med 100 mg av ämnet dröjer det 12 timmar innan koncentrationen blir så låg att effekten försvinner. Man kan också välja att ta en mindre tablett, en gång i timmen. Då krävs 4 tabletter för att få effekt. Hur mycket verksam substans måste finnas i den mindre tabletten? Avrunda till två gällande siffror.

Varje liten tablett innehåller x mg av ämnet och man tar fyra stycken. 20 % försvinner varje timme, vilket motsvaras av förändringsfaktorn 0,8. Det går då tre timmar från den första till den sista, så av den första tabletten återstår x* 0,8^3 mg. Av den andra återstår x* 0,8^2 mg, osv.

Mängden M i kroppen efter 4 tabletter är alltså en geometrisk summa med första term a=x, antal termer n = 4 och kvot k=0,8: x(0,8^4 -1)/0,8 - 1 = M. För att bestämma x ur den här ekvationen måste vi veta M, dvs. den mängd av ämnet som krävs för att ge effekt. Vi hittar den mängden med hjälp av den stora tabletten. Den ger 100 mg av ämnet, och efter 12 timmar återstår 100 * 0,8^(12) mg. Vi vet att vid denna mängd tappar medicinen sin effekt. Detta är alltså den mängd man måste komma över för att medicinen ska vara verksam. Därför kan vi använda detta som vårt värde på M.

De små tabletterna innehåller alltså minst 2,3 mg av den aktiva substansen.

Jalle och Bigge har tagit lika stora bostadslån. Båda är annuitetslån med samma annuitet. Bigges lån ska vara återbetalat om 10 år och har årsräntan 5 %. Jalles årsränta är 7,5 %. När ska Jalles lån vara återbetalat? Avrunda till hela antal år.

Vi känner inte till storleken på Bigges lån, men vi väljer att kalla det för L. Eftersom det ska vara återbetalat om 10 år och räntan är 5 % blir slutvärdet på lånet L*1,05^(10)kr. Om vi kallar annuiteten för x kan vi använda den för att hitta ett uttryck för lånebeloppet L. Bigges första inbetalning sker ett år efter han tog lånet och de pengarna kommer då att tjäna ränta åt banken i 9 år. Slutvärdet för den första inbetalningen blir x*1,05^9 kr. Den andra inbetalningen sker ett år senare och den tjänar ränta åt banken i 8 år, vilket ger slutvärdet x* 1,05^8 osv. Summan av alla inbetalningar blir en geometriska summa: x*1,05^9 + x*1,05^8+...+x=x(1,05^(10)-1)/1,05-1. Detta ska vara lika med slutvärdet för lånet, vilket ger en ekvation som vi kan lösa ut L ur.

På samma sätt kan vi ställa upp ett uttryck för lånesumman för Jalle. Annuiteten är samma, x, och räntan är 7,5 % vilket ger en förändringsfaktor på 1,075. Vi känner inte till tiden för lånet, men vi kallar det för t. Då får vi L*1,075^t=x(1,075^t-1)/1,075-1 ⇔ L=x(1,075^t-1)/0,075*1,075^t. Eftersom lånebeloppen är samma för Bigge och Jalle kan vi sätta de två uttrycken för L lika med varandra. Då kan vi lösa ut t.

Jalles lån ska alltså vara återbetalat om 12 år.

Kalle och Hobbe tar varsitt tioårigt lån på 50 000 kr med samma ränta. Kalle väljer att betala av allt på en gång i slutet av låneperioden och räknar ut att hans räntekostnad blir 11 000 kr. Hobbe tar istället ett annuitetslån. Vad blir hans räntekostnad? Avrunda till två gällande siffror.

Lånet är på 10 år, så Hobbe ska betala in tio annuiteter på x kr styck. Totalt betalar han alltså in 10x kr, varav 50 000 är amortering och resten är ränta. Vi kan därför uttrycka hans totala räntekostnad R_H som R_H = 10x - 50 000. Kan vi bestämma annuiteten x kan vi alltså räkna ut räntekostnaden. Slutvärdet av Hobbes 10 inbetalningar utgör en geometrisk summa med startvärdet a=x och där kvoten k är den förändringsfaktor som motsvarar lånets ränta: x(k^(10) - 1)/k-1. Slutvärdet ska vara lika med den summa Kalle betalar, dvs. det värde lånebeloppet får om man låter räntan verka i tio år: 50 000k^(10). Detta ger en ekvation som annuiteten x kan lösas ut ur.

Då hade vi varit klara om vi bara visste värdet på k, räntans förändringsfaktor. Den kan bestämmas genom Kalles räntekostnad, R_K =11 000. Kalle betalar in totalt 50 000k^(10), och detta är dels amortering på 50 000 och dels räntekostnaden: totalt 61 000 kr. Det ger en ekvation som k kan lösas ut ur.

En räntesats brukar inte ha många decimaler, så vi antar att 2 % är den exakta räntan. Avvikelsen beror nog snarare på att Kalles räntekostnad 11 000 är ett avrundat värde. Nu har vi allt som behövs och kan sätta ihop bitarna. Vi återgår då till R_H, sätter in uttrycket för x och slutligen värdet på k.

Vi avrundar till två värdesiffror eftersom 11 000 kan antas vara det osäkra, avrundade värdet och har två värdesiffror. Hobbes räntekostnad blir alltså ca 5 700 kr, ungefär hälften av Kalles.

Ränta och lån med geometriska summor

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

>

■2

■▢

e▢

7

8

9

×

÷■1

=

=

√▢

▢√

∫▢▢

4

5

6

+

−

≤

<

log

ln

log▢

1

2

3

()

∣

sin

cos

tan

0

.

π

x

y