Ränta och lån med geometriska summor

Varje liten tablett innehåller x mg av ämnet och man tar fyra stycken. 20 % försvinner varje timme, vilket motsvaras av förändringsfaktorn 0.8. Det går då tre timmar från den första till den sista, så av den första tabletten återstår x* 0.8^3 mg. Av den andra återstår x* 0.8^2 mg, osv.

Mängden M i kroppen efter 4 tabletter är alltså en geometrisk summa med första term a=x, antal termer n = 4 och kvot k=0.8: x(0.8^4 -1)/0.8 - 1 = M. För att bestämma x ur den här ekvationen måste vi veta M, dvs. den mängd av ämnet som krävs för att ge effekt. Vi hittar den mängden med hjälp av den stora tabletten. Den ger 100 mg av ämnet, och efter 12 timmar återstår 100 * 0.8^(12) mg. Vi vet att vid denna mängd tappar medicinen sin effekt. Detta är alltså den mängd man måste komma över för att medicinen ska vara verksam. Därför kan vi använda detta som vårt värde på M.

De små tabletterna innehåller alltså minst 2.3 mg av den aktiva substansen.

Vi känner inte till storleken på Bigges lån, men vi väljer att kalla det för L. Eftersom det ska vara återbetalat om 10 år och räntan är 5 % blir slutvärdet på lånet L*1.05^(10)kr. Om vi kallar annuiteten för x kan vi använda den för att hitta ett uttryck för lånebeloppet L. Bigges första inbetalning sker ett år efter han tog lånet och de pengarna kommer då att tjäna ränta åt banken i 9 år. Slutvärdet för den första inbetalningen blir x*1.05^9 kr. Den andra inbetalningen sker ett år senare och den tjänar ränta åt banken i 8 år, vilket ger slutvärdet x* 1.05^8 osv. Summan av alla inbetalningar blir en geometriska summa: x*1.05^9 + x*1.05^8+...+x=x(1.05^(10)-1)/1.05-1. Detta ska vara lika med slutvärdet för lånet, vilket ger en ekvation som vi kan lösa ut L ur.

På samma sätt kan vi ställa upp ett uttryck för lånesumman för Jalle. Annuiteten är samma, x, och räntan är 7.5 % vilket ger en förändringsfaktor på 1.075. Vi känner inte till tiden för lånet, men vi kallar det för t. Då får vi L*1.075^t=x(1.075^t-1)/1.075-1 ⇔ L=x(1.075^t-1)/0.075*1.075^t. Eftersom lånebeloppen är samma för Bigge och Jalle kan vi sätta de två uttrycken för L lika med varandra. Då kan vi lösa ut t.

Jalles lån ska alltså vara återbetalat om 12 år.

Lånet är på 10 år, så Hobbe ska betala in tio annuiteter på x kr styck. Totalt betalar han alltså in 10x kr, varav 50 000 är amortering och resten är ränta. Vi kan därför uttrycka hans totala räntekostnad R_H som R_H = 10x - 50 000. Kan vi bestämma annuiteten x kan vi alltså räkna ut räntekostnaden. Slutvärdet av Hobbes 10 inbetalningar utgör en geometrisk summa med startvärdet a=x och där kvoten k är den förändringsfaktor som motsvarar lånets ränta: x(k^(10) - 1)/k-1. Slutvärdet ska vara lika med den summa Kalle betalar, dvs. det värde lånebeloppet får om man låter räntan verka i tio år: 50 000k^(10). Detta ger en ekvation som annuiteten x kan lösas ut ur.

Då hade vi varit klara om vi bara visste värdet på k, räntans förändringsfaktor. Den kan bestämmas genom Kalles räntekostnad, R_K =11 000. Kalle betalar in totalt 50 000k^(10), och detta är dels amortering på 50 000 och dels räntekostnaden: totalt 61 000 kr. Det ger en ekvation som k kan lösas ut ur.

En räntesats brukar inte ha många decimaler, så vi antar att 2 % är den exakta räntan. Avvikelsen beror nog snarare på att Kalles räntekostnad 11 000 är ett avrundat värde. Nu har vi allt som behövs och kan sätta ihop bitarna. Vi återgår då till R_H, sätter in uttrycket för x och slutligen värdet på k.

Vi avrundar till två värdesiffror eftersom 11 000 kan antas vara det osäkra, avrundade värdet och har två värdesiffror. Hobbes räntekostnad blir alltså ca 5700 kr, ungefär hälften av Kalles.