Ränta och lån med geometriska summor

Vi kallar summan som Niels sätter in på sparkontot varje månad för x. Första insättningen görs i slutet av januari och i slutet av december har denna insättning suttit på kontot i 11 månader. Varje månad ökar summan med 0.25 %, vilket ger slutvärdet x* 1.0025^(11) kr. Den andra insättningen görs i slutet av februari och sitter på kontot i 10 månader vilket ger slutvärdet x*1.0025^(10) kr. Nästa insättning får slutvärdet x*1.0025^9 kr, nästa x*1.0025^8 osv. I slutet av året kommer det därför att finnas x* 1.0025^(11)+...+x * 1.0025+x kr. Om vi vänder på summan ser vi tydligare att det är en geometrisk talföljd: x+ x *1.0025 + ... + x* 1.0025^(11) kr. Talföljden har kvoten k=1.0025, a=x och n=12. Vi sätter in detta i formeln för en geometrisk summa.

I slutet på året vill Niels ha 6500 kronor så den geometriska summan ska vara lika med 6500. Det ger oss en ekvation med x som enda okända.

Niels ska alltså sätta in 534 kr i månaden för att ha 6500 i årets slut.

För att bestämma annuiteten måste vi veta lånets slutvärde. Återbetalningstiden är 6 år och räntan är 7.9 % vilket ger slutvärdet 200 000* 1.079^6. Om vi kallar annuiteten som ska betalas för x kan summan av annuiteternas slutvärden uttryckas som den geometriska summan x+x* 1.079+ x* 1.079^2+...+x* 1.079^5. Den geometriska summan har n=6 termer, kvoten k=1.079 och startvärdet a=x. Sätter man in dessa värden i formeln för geometrisk summa får man a(k^n - 1)/k - 1=x(1.079^6 - 1)/1.079- 1. Slutvärdet för annuitetslånet ska vara lika stort som om hela lånesumman hade betalats tillbaka efter 6 år, vilket var 200 000* 1.079^6 kr. Vi sätter dessa två uttryck lika med varandra och löser ut x.

Annuiteten blir 43 132 kr vilket ger en månadskostnad på 43 132 kr/12≈ 3594 kr.

Vi går igenom de olika lånetyperna en i taget.

Rak amortering

Vid rak amortering under 4 år ska man göra 4 lika stora amorteringar dvs. 800 0004=200 000 kr. För varje amortering minskar lånebeloppet vilket innebär att räntan beräknas på ett mindre belopp vid nästa amorteringstillfälle. Vi visar räntan och amorteringen för varje år i en tabell.

Den totala kostnaden vid rak amortering är summan av den sista kolumnen, dvs. 228 000+221 000+...+207 000=870 000 kr.

Annuitetslån

För att bestämma kostnaden för ett annuitetslån med samma lånebelopp, återbetalningstid och ränta måste vi först bestämma lånets slutvärde om allt hade betalats tillbaka efter 4 år vilket är 800 000* 1.035^4 kr. Om vi kallar annuiteten som betalas för x kan summan av annuiteternas slutvärden uttryckas som den geometriska summan x+x* 1.035+ x* 1.035^2+x* 1.035^3. Den geometriska summan har n=4 termer, kvoten k=1.035 och startvärdet a=x. Sätter man in detta i formeln för geometrisk summa får man a(k^n - 1)/k - 1=x(1.035^4 - 1)/1.035 - 1. Slutvärdet för annuitetslånet ska vara lika stort som om hela lånesumman hade betalats tillbaka efter fyra år, vilket ju var 800 000* 1.035^4 kr. Vi sätter dessa två uttryck lika med varandra och löser ut x.

Med ett annuitetslån ska man totalt betala 217 800.91159... * 4≈ 871 203 kr. Om man väljer ett annuitetslån kostar det 871 203-870 000=1203kr mer jämfört med rak amortering.

När man tar ett annuitetslån är de första delbetalningarna mindre jämfört med vid rak amortering. Det kan vara fördelaktigt om man inte just nu har möjlighet att betala in den summa som rak amortering kräver men vet att man kommer få in pengar, t.ex. via lönehöjning, så att man kan betala in kommande annuiteter också.

För att bestämma annuiteten måste vi veta lånets slutvärde. Återbetalningstiden är 25 år och räntan är 1.5 % vilket ger slutvärdet 360 000* 1.015^(25). Om vi kallar annuiteten som betalas för x kan summan av annuiteternas slutvärden uttryckas som den geometriska summan x+x* 1.015+ x* 1.015^2+...+x* 1.015^(24). Den geometriska summan har n=25 termer, kvoten k=1.015 och startvärdet a=x. Sätter man in dessa värden i formeln för geometrisk summa får man a(k^n - 1)/k - 1=x(1.015^(25) - 1)/1.015 - 1. Slutvärdet för annuitetslånet ska vara lika stort som om hela lånesumman hade betalats tillbaka efter 25 år, vilket var 360 000* 1.015^(25) kr. Vi sätter dessa två uttryck lika med varandra och löser ut x.

Annuiteten blir 17 375 kr vilket ger en månadskostnad på 17 375 kr/12≈ 1448 kr.