För att förstå måste man se lånet från bankens perspektiv. Med en ränta på
4% över fem år på lånebeloppet
25000 kr blir på lånet
25000⋅1.045 kr,
vilket är vad banken förväntar sig att få tillbaka. Vi antar att , alltså den årliga inbetalningen, är
x. Vi ställer nu upp ett uttryck för annuitetslånets slutvärde med hjälp av avbetalningarnas värde för banken. Första avbetalningen sker efter ett år och banken har tillgång till den i ytterligare
4, vilket ger slutvärdet
x⋅1.044 kr
eftersom man räknar med att banken kan få lika mycket ränta för pengarna under dessa år. Nästa avbetalning sker efter det andra året och banken har tillgång till dessa pengar i
3 år, vilket ger dem slutvärdet
x⋅1.043 kr.
På samma sätt får den tredje avbetalningen slutvärdet
x⋅1.042, den fjärde
x⋅1.04 och den sista bara
x.
Lägger man ihop slutvärdena för alla dessa avbetalningar får man
x+x⋅1.04+x⋅1.042+x⋅1.043+x⋅1.044,
vilket är en geometrisk summa med
n=5 termer, kvoten
k=1.04 och startvärdet
a=x. Sätter man in detta i får man
k−1a(kn−1)=1.04−1x(1.045−1).
Slutvärde för annuitetslånet ska vara lika stort som om hela lånesumman hade betalas tillbaka efter fem år, vilket ju var
25000⋅1.045 kr. Vi sätter dessa två uttryck lika med varandra och löser ut
x.
1.04−1x(1.045−1)=25000⋅1.045
x(1.045−1)=25000⋅1.045⋅(1.04−1)
x=1.045−125000⋅1.045⋅(1.04−1)
x=5615.67783…
x≈5616
Tildas annuitet blir alltså 5616 kr, vilket är vad hon betalar varje år.
