DashboardNyheterInställningarHjälp
Premium
Dashboard
Dashboard Logga ut
3b
Kurs 3b Visa detaljer
2. Ränta och lån med geometriska summor
Fortsätt till nästa lektion
Lektion
Uppgifter
Tester
arrow_back
eKurser /
Matematik 3b /
Kapitel 6
2. 

Ränta och lån med geometriska summor

Lektionen fokuserar på att använda geometriska summor för att beräkna olika ekonomiska scenarier. Det finns exempel på hur man kan beräkna värdet på ett sparkonto med regelbundna insättningar, och hur man kan använda geometriska summor för att beräkna amortering och ränta för olika typer av lån. Det finns också förklaringar om begrepp som slutvärde, nuvärde och annuitetslån. Exemplen inkluderar beräkningar för att bestämma nuvärdet av en framtida summa pengar och beräkningar för att bestämma annuiteten för ett lån.
Visa mer expand_more
Begrepp Modellering Problemlösning Procedur Resonemang och Kommunikation Metod Resonemang Kommunikation
Inställningar & verktyg för lektion
6 sidor teori
13 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Kreditlista Bilder expand_more
Ränta och lån med geometriska summor
Sida av 6

Ett vanligt användningsområde för geometriska summor är för att beräkna hur mycket pengar det kommer att finnas på ett sparkonto där man gör regelbundna insättningar. De kan också användas för att beräkna amortering och ränta för olika typer av lån.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

  • Slutvärde
  • Nuvärde
  • Annuitetslån

Förkunskaper
Begrepp

Slutvärde och nuvärde

För att beskriva hur värdet på något förändras över tid använder man ibland de två termerna slutvärde och nuvärde. Slutvärdet är det slutgiltiga värdet på något, t.ex. den totala summan pengar på ett konto efter en viss tid eller värdet på en bil efter ett visst antal år. Nuvärdet är det ursprungliga värdet, alltså insättningen på kontot och inköpspriset för bilen.
Exempel

Bestäm nuvärdet

Jennie vet att hon kommer att behöva köpa en cykel som kostar 5 000 kr om två år. Hon är ordentlig av sig, så hon vill sätta in pengar på sitt bankkonto redan nu så att hon har råd med cykeln när det väl behövs. Vad är nuvärdet av dessa 5 000 kr om Jennies bankonto har en ränta på 3 %?

Ledtråd
Använd en exponentialfunktion för att beskriva hur pengarna på ett sparkonto ökar.

Lösning
Pengar på ett sparkonto ökar exponentiellt med tiden, och kan beskrivas med en exponentialfunktion: y=C* a^t. Vi vet att det ska finnas 5 000 kr på kontot efter 2 år, så t = 2 och y = 5 000. Vi vet också att räntan på kontot är 3 %, vilket ger en förändringsfaktor, a, på 1,03. Sätter vi in dessa värden kan vi lösa ut C, vilket ger nuvärdet av 5000 kr om två år.

y= C * a^t
SubstituteValues

Sätt in värden

5000 = C * 1,03^2
DivEqn

.VL /1,03^2.=.HL /1,03^2.

5000/1,03^2 = C
RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

C = 5000/1,03^2
UseCalc

Slå in på räknare

C = 4 712,97954...
RoundInt

Avrunda till närmaste heltal

C = 4 713

Jennie måste sätta in 4 713 kr på kontot för att ha råd med cykeln om två år. Nuvärdet av 5 000 kr är alltså 4 713 kr när sparperioden är två år och räntan 3 %.

Koncept

Annuitetslån

När man tar ett lån måste man betala av lånet, vilket kallas att amortera, och man måste även betala ränta. För ett annuitetslån är summan av amortering och ränta konstant vilket innebär att varje inbetalning är lika stor. Storleken på inbetalningarna kallas för lånets annuitet och kan beräknas med hjälp av geometriska summor.

I figuren illustreras avbetalningar för ett annuitetslån. De består till en början främst av ränta men allteftersom lånet återbetalas minskar andelen ränta. Detta kan jämföras med rak amortering, där man amorterar lika mycket varje månad medan räntekostnaden varierar. Totalt betalar man mer i ränta för ett annuitetslån jämfört med ett lån med rak amortering men i gengäld är storleken på betalningarna man gör jämnt fördelade.
Exempel

Bestäm annuiteten

Tilda ska låna pengar till att köpa en optimistjolle för 25 000 kr. Hon tar ett annuitetslån med 4 % ränta som ska återbetalas en gång per år över fem år. Vad blir annuiteten?

Ledtråd
Skriv ett exponentialuttryck med hjälp av den givna informationen. Använd formeln för en geometrisk summa och använd den för att skriva en ekvation för livräntan.

Lösning
För att förstå hur en annuitet beräknas måste man se lånet från bankens perspektiv. Med en ränta på 4 % över fem år på lånebeloppet 25 000 kr blir slutvärdet på lånet 25 000 * 1,04^5 kr, vilket är vad banken förväntar sig att få tillbaka. Vi antar att annuiteten, alltså den årliga inbetalningen, är x. Vi ställer nu upp ett uttryck för annuitetslånets slutvärde med hjälp av avbetalningarnas värde för banken. Första avbetalningen sker efter ett år och banken har tillgång till den i ytterligare 4, vilket ger slutvärdet x * 1,04^4 kr eftersom man räknar med att banken kan få lika mycket ränta för pengarna under dessa år. Nästa avbetalning sker efter det andra året och banken har tillgång till dessa pengar i 3 år, vilket ger dem slutvärdet x * 1,04^3 kr. På samma sätt får den tredje avbetalningen slutvärdet x * 1,04^2, den fjärde x * 1,04 och den sista bara x.

Fil:Bestam annuiteten 1.svg

Fil:Bestam annuiteten 1.svg

Lägger man ihop slutvärdena för alla dessa avbetalningar får man x + x * 1,04 + x * 1,04^2 + x * 1,04^3 + x * 1,04^4, vilket är en geometrisk summa med n=5 termer, kvoten k=1,04 och startvärdet a=x. Sätter man in detta i formeln för geometrisk summa får man a(k^n - 1)/k - 1=x(1,04^5 - 1)/1,04 - 1. Slutvärde för annuitetslånet ska vara lika stort som om hela lånesumman hade betalas tillbaka efter fem år, vilket ju var 25 000 * 1,04^5 kr. Vi sätter dessa två uttryck lika med varandra och löser ut x.

x(1,04^5 - 1)/1,04 - 1 = 25 000 * 1,04^5
MultEqn

VL * (1,04 - 1)=HL* (1,04 - 1)

x(1,04^5 - 1) = 25 000 * 1,04^5 * (1,04 - 1)
DivEqn

.VL /(1,04^5 - 1).=.HL /(1,04^5 - 1).

x = 25 000 * 1,04^5 * (1,04 - 1)/1,04^5 - 1
UseCalc

Slå in på räknare

x=5 615,67783...
RoundInt

Avrunda till närmaste heltal

x ≈ 5 616



Tildas annuitet blir alltså 5 616 kr, vilket är vad hon betalar varje år.
Digitala verktyg

Ränta och kalkylprogram

Om man tar ett lån kan man använda ett kalkylprogram för att bl.a. beräkna hur ens räntekostnad förändras när lånet amorteras. Antag att man tar ett lån på 250 000 kr år 2017 som ska betalas av med rak amortering på 10 år. Årsräntan är 5,4 %. I ett kalkylark kan man då skriva in rubriker på det man vill hålla koll på, t.ex. som nedan.

1
Fyll i amorteringskolumnen
expand_more
Eftersom man ska amortera lika mycket varje år skriver man 250 000/10=25 000 på alla rader i amorteringskolumnen.

2
Räkna ut kvarstående lån
expand_more
Nu kan man använda dessa belopp för att beräkna hur mycket av lånet som kommer återstå respektive år. Man börjar med att skriva in startbeloppet 250 000 kr på raden för 2017. Därefter markeras cell c3 och man skriver =c2-b3 för att få reda på hur stort lånebeloppet är år 2018.

3
Kopiera formeln nedåt
expand_more
Trycker man på Enter subtraheras amorteringsbeloppet i cell b3 från lånebeloppet i c2, dvs. beräkningen 250 000-25 000=225 000 utförs. Om man nu markerar cell c3, tar tag i den lilla rutan och drar nedåt till och med sista raden kommer lånebeloppen för övriga årtal beräknas automatiskt.


4
Beräkna räntekostnader
expand_more
På liknande sätt kan man betsämma övriga värden i tabellen. För att beräkna räntekostnaden för år 2017 skriver man i cell d2 in =c2*0,054 för att ta reda på hur mycket 5,4 % av lånebeloppet 250 000 är.


5
Kopiera ränteformeln
expand_more
Man trycker ännu en gång på enter för att beräkningen ska utföras och markerar sedan cellen och drar nedåt för att räntekostnaden för övriga år ska beräknas.


6
Beräkna total årskostnad
expand_more
Nu återstår att beräkna total årskostnad, som utgörs av amortering och räntekostnad, för respektive år samt avgöra vilken månadskostnad det motsvarar. För att beräkna totala kostnaden för år 2017 summeras därför cellerna b2 och d2, dvs. amorteringen och räntekostnaden för detta år.


7
Kopiera total årskostnad nedåt
expand_more

På samma sätt som tidigare hittar man även totalkostnaden för övriga år.


8
Beräkna månadskostnad
expand_more
Till sist divideras respektive årskostnad med 12 för att ta reda på månadskostnaden. För år 2017 innebär det alltså att man skriver in =e2/12.


9
Kopiera månadskostnader nedåt
expand_more
Och så drar man nedåt för att få reda på övriga månadskostnader.


10
Klar tabell
expand_more
Tabellen är nu komplett och man t.ex. se att vad man ska betala in varje månad tills lånet är avbetalat.



Nivå 1
Nivå 2
Nivå 3
Ränta och lån med geometriska summor
Uppgift 2.1

Corinne tar ett lån på 200 000 kr till en bil. Hon betalar av det under fem år med rak amortering och årsräntan 4 %. Hur mycket har Corinne betalat till banken när lånet är återbetalat?

Rak amortering innebär att man betalar av lika mycket av lånet vid varje avbetalning. Eftersom hon ska betala av lånet över 5 år blir det 5 avbetalningar. Varje amortering blir därför 200 000/5=40 000 kr. Men utöver amorteringen ska Corinne även betala ränta. Vid första inbetalningen betalar hon 4 % av hela lånebeloppet dvs. 200 000* 0,04 kr. Första inbetalningen blir alltså 40 000+200 000*0,04=48 000 kr. Året efter kommer amorteringen vara lika stor dvs. 40 000 kr men Corinne har nu amorterat 40 000 kr, så lånebeloppet har minskat till 160 000 kr. Det är detta belopp som räntekostnaden beräknas på. Den andra inbetalningen blir därför 40 000+160 000*0,04=46 400 kr. Nästa inbetalning har lånebeloppet sjunkit ytterligare men amorteringen är densamma, och det kommer att fortsätta så här tills hela lånet är återbetalat.

Lånebelopp Amortering Ränta Amortering+Ränta
200 000 40 000 200 000*0,04 48 000
160 000 40 000 160 000*0,04 46 400
120 000 40 000 120 000*0,04 44 800
80 000 40 000 80 000*0,04 43 200
40 000 40 000 40 000*0,04 41 600

Nu får vi den totala summan genom att lägga ihop beloppen i högerkolumnen. Det ger 48 000+46 400+...+41 600=224 000. Corinne har alltså betalat 224 000 kr till banken när lånet är återbetalat.

U
Ledtråd & Svar
L
Lösning

Niels planerar att köpa en ny mobiltelefon i slutet av året och vill betala hela summan på en gång. Han räknar med att telefonen kommer att kosta 6 500 kr. För att ha råd med detta sätter han in samma summa pengar, en gång i månaden, på ett sparkonto med månadsräntan 0,25 %. Hur mycket pengar ska Niels sätta in varje månad för att ha råd med mobiltelefonen om han gör vare insättning i slutet av varje månad under ett år? Avrunda till hela kronor.

Vi kallar summan som Niels sätter in på sparkontot varje månad för x. Första insättningen görs i slutet av januari och i slutet av december har denna insättning suttit på kontot i 11 månader. Varje månad ökar summan med 0,25 %, vilket ger slutvärdet x* 1,0025^(11) kr. Den andra insättningen görs i slutet av februari och sitter på kontot i 10 månader vilket ger slutvärdet x*1,0025^(10) kr. Nästa insättning får slutvärdet x* 1,0025^9 kr, nästa x* 1,0025^8 osv. I slutet av året kommer det därför att finnas x* 1,0025^(11)+...+x * 1,0025+x kr. Om vi vänder på summan ser vi tydligare att det är en geometrisk talföljd: x+ x *1,0025 + ... + x* 1,0025^(11) kr. Talföljden har kvoten k=1,0025, a=x och n=12. Vi sätter in detta i formeln för en geometrisk summa.


I slutet på året vill Niels ha 6 500 kronor så den geometriska summan ska vara lika med 6 500. Det ger oss en ekvation med x som enda okända.

Niels ska alltså sätta in 534 kr i månaden för att ha 600 i årets slut.

U
Ledtråd & Svar
L
Lösning

Berndt ska köpa en bil för 200 000 kr. Han lånar pengarna från banken LÅNA. Pengarna ska betalas tillbaka under 6 år till en ränta på 7,9 %. Beräkna Berndts månadsbetalning om lånet är ett annuitetslån. Avrunda till hela kronor.

För att bestämma annuiteten måste vi veta lånets slutvärde. Återbetalningstiden är 6 år och räntan är 7,9 % vilket ger slutvärdet 200 000* 1,079^6. Om vi kallar annuiteten som ska betalas för x kan summan av annuiteternas slutvärden uttryckas som den geometriska summan x+x* 1,079+ x* 1,079^2+...+x* 1,079^5. Den geometriska summan har n=6 termer, kvoten k=1,079 och startvärdet a=x. Sätter man in dessa värden i formeln för geometrisk summa får man a(k^n - 1)/k - 1=x(1,079^6 - 1)/1,079- 1. Slutvärdet för annuitetslånet ska vara lika stort som om hela lånesumman hade betalats tillbaka efter 6 år, vilket var 200 000* 1,079^6 kr. Vi sätter dessa två uttryck lika med varandra och löser ut x.

Annuiteten blir 43 132 kr vilket ger en månadskostnad på 43 132 kr/12≈ 3 594 kr.

U
Ledtråd & Svar
L
Lösning

Francesca har lånat 800 000 kr av banken. Hur mycket sparar hon på att välja rak amortering jämfört med ett annuitetslån om räntan är 3,5 % och lånet ska återbetalas under 4 år. Avrunda till hela kronor.

Vi går igenom de olika lånetyperna en i taget.

Rak amortering

Vid rak amortering under 4 år ska man göra 4 lika stora amorteringar dvs. 800 0004=200 000 kr. För varje amortering minskar lånebeloppet vilket innebär att räntan beräknas på ett mindre belopp vid nästa amorteringstillfälle. Vi visar räntan och amorteringen för varje år i en tabell.

Lånebelopp Amortering Ränta Amortering + ränta
800 000 200 000 800 000* 0,035 228 000
600 000 200 000 600 000* 0,035 221 000
400 000 200 000 400 000* 0,035 214 000
200 000 200 000 200 000* 0,035 207 000

Den totala kostnaden vid rak amortering är summan av den sista kolumnen, dvs. 228 000+221 000+...+207 000=870 000 kr.

Annuitetslån

För att bestämma kostnaden för ett annuitetslån med samma lånebelopp, återbetalningstid och ränta måste vi först bestämma lånets slutvärde om allt hade betalats tillbaka efter 4 år vilket är 800 000* 1,035^4 kr. Om vi kallar annuiteten som betalas för x kan summan av annuiteternas slutvärden uttryckas som den geometriska summan x+x* 1,035+ x* 1,035^2+x* 1,035^3. Den geometriska summan har n=4 termer, kvoten k=1,035 och startvärdet a=x. Sätter man in detta i formeln för geometrisk summa får man a(k^n - 1)/k - 1=x(1,035^4 - 1)/1,035 - 1. Slutvärdet för annuitetslånet ska vara lika stort som om hela lånesumman hade betalats tillbaka efter fyra år, vilket ju var 800 000* 1,035^4 kr. Vi sätter dessa två uttryck lika med varandra och löser ut x.

Med ett annuitetslån ska man totalt betala 217 800,91159... * 4≈ 871 203 kr. Om man väljer ett annuitetslån kostar det 871 203-870 000=1 203kr mer jämfört med rak amortering.

När man tar ett annuitetslån är de första delbetalningarna mindre jämfört med vid rak amortering. Det kan vara fördelaktigt om man inte just nu har möjlighet att betala in den summa som rak amortering kräver men vet att man kommer få in pengar, t.ex. via lönehöjning, så att man kan betala in kommande annuiteter också.

U
Ledtråd & Svar
L
Lösning

Leo ska studera till hösten och tänker ansöka om studielån. Han räknar med att i slutet av studietiden ha ett lån på 360 000 kr. Lånet är ett annuitetslån och ska betalas tillbaka under 25 år. Vad blir Leos månadsavgift om han börjar betala av direkt efter han slutat studera? Anta en årsränta på 1,5 % och avrunda svaret till hela kronor.

För att bestämma annuiteten måste vi veta lånets slutvärde. Återbetalningstiden är 25 år och räntan är 1,5 % vilket ger slutvärdet 360 000* 1,015^(25). Om vi kallar annuiteten som betalas för x kan summan av annuiteternas slutvärden uttryckas som den geometriska summan x+x* 1,015+ x* 1,015^2+...+x* 1,015^(24). Den geometriska summan har n=25 termer, kvoten k=1,015 och startvärdet a=x. Sätter man in dessa värden i formeln för geometrisk summa får man a(k^n - 1)/k - 1=x(1,015^(25) - 1)/1,015 - 1. Slutvärdet för annuitetslånet ska vara lika stort som om hela lånesumman hade betalats tillbaka efter 25 år, vilket var 360 000* 1,015^(25) kr. Vi sätter dessa två uttryck lika med varandra och löser ut x.

Annuiteten blir 17 375 kr vilket ger en månadskostnad på 17 375 kr/12≈ 1 448 kr.

U
Ledtråd & Svar
L
Lösning

Ränta och lån med geometriska summor

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Återvänd till lektionen.
Redigera lektion
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1​
=
=
√▢​
▢​√
∫▢▢​
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢​
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y