body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Mitt konto

Kurs 2a Visa detaljer

6. Räta linjers egenskaper

Lektion

Övningar

Tester

eKurser /

Matematik 2a /

Kapitel 2

Räta linjers egenskaper

Lektionen fokuserar på egenskaperna hos vinkelräta linjer inom matematik. Den förklarar hur vinkelräta linjer relaterar till varandra och hur de skiljer sig från parallella linjer. Det finns detaljerade förklaringar om hur man kan använda olika matematiska formler för att avgöra om linjer är vinkelräta eller parallella. Lektionen innehåller också exempel och övningar som hjälper till att förstå dessa koncept. Den är användbar för studenter som studerar matematik på olika nivåer och vill förstå hur vinkelräta linjer används inom geometri och algebra.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	13 sidor teori
	29 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Räta linjers egenskaper

Sida av 13

En rät linjes riktningskoefficient kan användas till mer än att beskriva lutningen. Det finns exempelvis särskilda samband mellan räta linjers $k -$ värden som kan utnyttjas för att avgöra om linjer är parallella eller vinkelräta.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Parallella linjer
Vinkelräta linjer
Allmän form rät linje
Enpunktsform

Koncept

Räta linjens ekvation

En funktion som beskriver en rät linje i ett koordinatsystem kallas linjär och skrivs oftast på så kallad $k -$ form.

y = k x + m

$k -$ och $m -$ värdet är konstanter som beskriver linjens egenskaper. $k$ anger lutningen och $m$ är det $y -$ värde där linjen skär $y -$ axeln. I koordinatsystemet har linjen $k -$ värdet $2$ och $m -$ värdet $1 .$

Regel

$k -$ form

Alla räta linjer som inte är vertikala kan skrivas på så kallad $k -$ form.

$y = k x + m$

k

och

m

är konstanter.

k -

värdet anger linjens lutning och

m -

värdet visar var den skär

y -

axeln. Detta sätt att beskriva en rät linje kallas

k -

form. Om

m -

värdet är

0

kallas sambandet för en proportionalitet.

y = k x

Extra

Skriva om i

k -

form

En linjes ekvation uttryckt i en annan form kan omvandlas till

k -

form genom att lösa ut

y .

a x + b y = c

▼

Lös ut

y

SubEqn

$VL - a x = HL - a x$

b y = - a x + c

DivEqn

$VL / b = HL / b$

y = \frac{- a x + c}{b}

WriteSumFrac

Dela upp bråk

y = - \frac{a}{b} x + \frac{c}{b}

Här motsvarar

- \frac{a}{b}

k -

värdet, och

\frac{c}{b}

motsvarar

m -

värdet.

y = - \frac{a}{b} x ↓ k + \frac{c}{b} ↓ m

Regel

Parallella linjer

Två linjer är parallella om de har samma lutning. För linjer skrivna på $k -$ form innebär det att deras $k -$ värden, $k_{1}$ och $k_{2},$ är samma.

$k_{1} = k_{2}$

I figuren kan man se att parallella linjer aldrig skär varandra.

Parallella linjer har inte samma

m -

värde eftersom de då är identiska och har oändligt många skärningspunkter.

Exempel

Är linjerna parallella?

Är den räta linjen som går igenom punkterna

(1, 2)

och

(3, 8)

parallell med linjen

y = 3 x + 5 ?

Ledtråd

Bestäm $k -$ värdet för den första linjen med hjälp av de givna punkterna. Identifiera $k -$ värdet för den andra linjen från dess ekvation. Parallella linjer har samma $k -$ värde.

Lösning

För att linjerna ska vara parallella måste de ha samma lutning, dvs. samma

k

-värde. Den räta linjen

y = 3 x + 5

har

k

-värdet

3 .

Vi beräknar den okända linjens lutning genom att sätta in de kända punkterna i

k

-formeln.

k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

SubstitutePoints

Sätt in $(3, 8)$ & $(1, 2)$

k = \frac{8 - 2}{3 - 1}

SubTerms

Subtrahera termer

k = \frac{6}{2}

CalcQuot

Beräkna kvot

k = 3

Linjerna har alltså samma

k -

värde. För att de ska vara parallella måste de dock ha olika

m -

värden. Vi undersöker om de har det genom att sätta in

k = 3

samt koordinaterna för en av punkterna vi vet ligger på linjen, t.ex.

(1, 2),

i räta linjens ekvation.

y = 3 x + m

SubstituteII

$x = 1$ och $y = 2$

2 = 3 \cdot 1 + m

Multiply

Multiplicera faktorer

2 = 3 + m

SubEqn

$VL - 3 = HL - 3$

- 1 = m

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

m = - 1

Ekvationen för linjen som går genom de givna punkterna är alltså

y = 3 x - 1 .

Denna linje och

y = 3 x + 5

har samma

k -

värde men olika

m -

värden och är därmed parallella.

Regel

Vinkelräta linjer

Två räta linjer som bildar vinkeln $9 0^{\circ}$ i sin skärningspunkt är vinkelräta mot varandra.

Om två linjer är vinkelräta blir produkten av deras riktningskoefficienter,

k_{1}

och

k_{2},

lika med

- 1 .

$k_{1} \cdot k_{2} = - 1$

Man kan alltså undersöka om linjer är vinkelräta genom att multiplicera deras

k -

värden. Om produkten blir

- 1

är de vinkelräta.

Exempel

Är linjerna vinkelräta?

Är linjerna vinkelräta? Motivera ditt svar.

Ledtråd

Hitta $k -$ värdena för båda linjerna. Om deras produkt är $- 1,$ är linjerna vinkelräta.

Lösning

Två linjer är vinkelräta om produkten av deras

k -

värden är

- 1 .

Vi kan läsa av att lutningarna är

- 2

och

0, 4,

så det är bara att multiplicera dem:

- 2 \cdot 0, 4 = - 0, 8 .

Produkten blev inte

- 1,

så linjerna är inte vinkelräta.

Övning

Classifying Lines

Use the properties of parallel and perpendicular lines to determine whether each pair of lines is parallel, perpendicular, or neither.

An applet displaying a pair of lines and asking whether they are parallel, perpendicular, or neither.

Koncept

Allmän form - rät linje

Alla linjer går inte att skriva på $k -$ form. Däremot finns det ett allmänt sätt att skriva alla räta linjer, inklusive vertikala. Denna form är känd som den allmänna formen.

$a x + b y + c = 0$

Flera kombinationer av konstanterna $a,$ $b$ och $c$ kan beskriva samma linje, men man föredrar så små heltal som möjligt. Beroende på vad som ser bäst ut kan man ibland ändra ordningen på termerna men ofta samlar man dem på samma sida om likhetstecknet. Det förekommer även att ekvationen för en rät linje skrivs med variablerna i vänster led och konstanten i höger led.

Allmän form	$2 x + 3 y - 5 = 0$	$2 x + 3 y = 5$
Horisontell linje	$y - 4 = 0$	$y = 4$
Vertikal linje	$x - 7 = 0$	$x = 7$

För icke-vertikala linjer, om du löser ut

y,

får du linjen skriven i

k -

form.

Exempel

Omvandla från allmän form till $k -$ form

Skriv den räta linjen

2 y + 8 - 4 x = 0

på

k -

form.

Ledtråd

Lös ut $y$ för att skriva om ekvationen i $k -$ form.

Lösning

För att skriva om linjen till

k -

form löser vi ut

y .

2 y + 8 - 4 x = 0

AddEqn

$VL + 4 x = HL + 4 x$

2 y + 8 = 4 x

SubEqn

$VL - 8 = HL - 8$

2 y = 4 x - 8

DivEqn

$VL / 2 = HL / 2$

y = 2 x - 4

Den räta linjen är alltså

y = 2 x - 4

på

k -

form.

Exempel

Omvandla från $k -$ form till allmän form

Skriv linjen

y = 0, 4 x - 7

på allmän form.

Ledtråd

Omarrangera ekvationen för att eliminera bråk och flytta alla termer till en sida.

Lösning

När man skriver en rät linje på allmän form samlar man alla termer på ena sidan likhetstecknet och låter, om det är möjligt, koefficienterna vara så små heltal som möjligt. Vi kan t.ex. multiplicera alla termer med

10

eftersom produkten av

10 \cdot 0, 4

är ett heltal. Sedan flyttar vi över alla termer till vänsterledet.

y = 0, 4 x - 7

MultEqn

$VL \cdot 10 = HL \cdot 10$

10 y = 4 x - 70

SubEqn

$VL - 4 x = HL - 4 x$

10 y - 4 x = - 70

AddEqn

$VL + 70 = HL + 70$

10 y - 4 x + 70 = 0

Eftersom vi vill att konstanterna ska vara så små heltal som möjligt dividerar vi till sist med

2 .

På allmän form skrivs linjen alltså

5 y - 2 x + 35 = 0 .

Koncept

Enpunktsform

För att beskriva en rät linje används oftast $k -$ form eller allmän form, men om man känner till linjens lutning och en godtycklig punkt $(x_{1}, y_{1})$ som linjen går igenom använder man ibland enpunktsform.

$y - y_{1} = k (x - x_{1})$

Sätter man in de kända koordinaterna

x_{1}

och

y_{1}

i enpunktsformen och löser ut

y

får man linjen på

k -

form.

Exempel

Skriva en ekvation i enpunktsform

A line passes through the points

(2, 5)

and

(6, - 1) .

Write the equation of the line in point-slope form.

Ledtråd

Use the $k -$ formula to find the slope of the line. Then subsitute the $k -$ value and one of the points into the point-slope form.

Lösning

Begin by calculating the slope of the line using the

k -

formula with the known points.

k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

SubstitutePoints

Sätt in $(2, 5)$ & $(6, - 1)$

k = \frac{5 - ( - 1 )}{2 - 6}

SubNeg

$a - (- b) = a + b$

k = \frac{5 + 1}{2 - 6}

AddSubTerms

Addera och subtrahera termer

k = \frac{6}{- 4}

MoveNegNumToFrac

Skriv minustecken framför bråk

k = - \frac{6}{4}

ReduceFrac

Förkorta med $2$

k = \frac{3}{2}

Now substitute the slope and one of the points into the point-slope form to find the equation of the line. In this case, the point

(2, 5)

will be used.

y - y_{1} = k (x - x_{1}) \Rightarrow y - 5 = \frac{3}{2} (x - 2)

If the point

(6, - 1)

is used, the resulting equation is as follows.

y - (- 1) = \frac{3}{2} (x - 6) \Rightarrow y + 1 = \frac{3}{2} (x - 6)

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Räta linjers egenskaper

Bestäm värdet på $a .$

Två räta linjer och ett linjesegment som bildar en rätvinklig triangel.

Den blå linjen går igenom (a,- 3 a) och origo. Sätter vi in dessa punkter i k-formeln kan vi bestämma linjens lutning, k_1.

Eftersom den röda linjen bildar 90^(∘) med den blå linjen är de vinkelräta. Då gäller sambandet k_1* k_2=- 1 som vi kan sätta in k_1 = - 3 i, vilket gör att vi kan beräkna den röda linjens lutning, k_2.

Vi kan också ställa upp ett uttryck för den röda linjens k-värde baserat på k-formeln och de två punkterna (2a,2) och (0,0).

Sätter vi dessa två uttryck för k_2 som lika med varandra får vi 1/3 = 1/a, vilket vi kan lösa ut att a = 3 ur.

I koordinatsystemet visas graferna till den linjära funktionen $y = f (x)$ och andragradsfunktionen $y = g (x) .$

Bestäm $g (2) .$

Nationella provet VT12 2b/2c

För vilka värden på $x$ gäller att $f (x) < g (x) ?$

Nationella provet VT12 2b/2c

g(2) är det y-värde som funktionen g(x) antar när x=2. Vi läser av detta i koordinatsystemet.

Vi ser att funktionsvärdet är 6. Det betyder att g(2)=6.

Vad innebär olikheten f(x)< g(x)? Jo, det innebär att funktionsvärdet för f(x) (blå) är mindre än för g(x) (röd). I koordinatsystemet betyder detta att grafen till f(x) befinner sig under grafen till g(x).

Vi ser att g(x) är ovanför f(x) mellan x-värdena - 1 och 5. Vi får därför - 1 < x < 5.

Grafen till en linjär funktion går igenom punkterna

P_{1} = (a, 4 a) och P_{2} = (a^{2}, (2 a)^{2}) .

Bestäm linjens ekvation.

Beräkna koordinaterna för punkterna

P_{1}

och

P_{2}

a = 3 .

En linjär funktion kan vi beskrivas enligt y = kx + m, där k är lutningen och m är skärningspunkten som anger var linjen skär y-axeln. Vi börjar med att bestämma lutningen med hjälp av k-formeln och de två punkternas koordinater.

Linjen har alltså riktningskoefficienten k = 4. Det ger oss y = 4x + m. Nu kan vi bestämma linjens ekvation genom att sätta in k och någon av punkternas koordinater i enpunktsform. Vi väljer P_1, med det hade gått lika bra med P_2. Sedan löser vi ut y för att få ekvationen på k-form.

Konstanttermen m är alltså lika med noll och ekvationen för linjen är y = 4x.

Vi beräknar punkternas koordinater då a = 3 genom att byta ut a mot 3.

Punkt	x	y	(x,y)
P_1	3	4* 3	(3,12)
P_2	3^2	(2* 3)^2	(9,36)

I koordinatsystemet nedan har vi markerat de båda punkterna och även ritat funktionens graf, y = 4x.

Linjen genom punkterna

(2, 3 p)

och

(4, p)

är vinkelrät mot linjen

x - 4 y = 0 .

Vilket värde har

p ?

Vi beräknar först lutningen på linjen x-4y=0 genom att lösa ut y och läsa av koefficienten framför x.

Produkten av två vinkelräta linjers k-värden är lika med - 1. Vi beräknar lutningen på linjen mellan punkterna (2,3p) och (5, p) genom att sätta in k_2= 14 i formeln k_1 * k_2=-1.

Linjen genom punkterna har lutningen - 4. Vi likställer k-formeln med detta, sätter in punkterna och förenklar tills vi finner p.

När går det inte att skriva linjen

a x + b y + c = 0

på

k -

form? Motivera ditt svar.

Vi skriver om ekvationen så att den står på formen y = kx + m. Sedan undersöker vi om det finns något eller några värden på a, b eller c som inte är tillåtna.

Om b = 0 får vi en division med noll vilket inte är definierat. Därför kan en ekvation inte skrivas om från allmän form till k-form om koefficienten framför y-termen är 0.

Räta linjers egenskaper

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Laddar innehåll