Räta linjers egenskaper: Räta linjens ekvation och vinkelräta linjer

Bestäm värdet på $a .$

Två räta linjer och ett linjesegment som bildar en rätvinklig triangel.

Den blå linjen går igenom (a,- 3 a) och origo. Sätter vi in dessa punkter i k-formeln kan vi bestämma linjens lutning, k_1.

Eftersom den röda linjen bildar 90^(∘) med den blå linjen är de vinkelräta. Då gäller sambandet k_1k_2=- 1 som vi kan sätta in k_1 = - 3 i, vilket gör att vi kan beräkna den röda linjens lutning, k_2.

Vi kan också ställa upp ett uttryck för den röda linjens k-värde baserat på k-formeln och de två punkterna (2a,2) och (0,0).

Sätter vi dessa två uttryck för k_2 som lika med varandra får vi 1/3 = 1/a, vilket vi kan lösa ut att a = 3 ur.

I koordinatsystemet visas graferna till den linjära funktionen $y = f (x)$ och andragradsfunktionen $y = g (x)$ .

Bestäm $g (2) .$

Nationella provet VT12 2b/2c

För vilka värden på $x$ gäller att $f (x) < g (x) ?$

Nationella provet VT12 2b/2c

g(2) är det y-värde som funktionen g(x) antar när x=2. Vi läser av detta i koordinatsystemet.

Vi ser att funktionsvärdet är 6. Det betyder att g(2)=6.

Vad innebär olikheten f(x)funktionsvärdet för f(x) (blå) är mindre än för g(x) (röd). I koordinatsystemet betyder detta att grafen till f(x) befinner sig under grafen till g(x).

Vi ser att g(x) är ovanför f(x) mellan x-värdena - 1 och 5. Vi får därför - 1

Grafen till en linjär funktion går igenom punkterna

P_{1} = (a, 4 a) och P_{2} = (a^{2}, (2 a)^{2}) .

Bestäm linjens ekvation.

Beräkna koordinaterna för punkterna $P_{1}$ och $P_{2}$ om $a = 3$ .

En linjär funktion kan vi beskrivas enligt y = kx + m, där k är lutningen och m är skärningspunkten som anger var linjen skär y-axeln. Vi börjar med att bestämma lutningen med hjälp av k-formeln och de två punkternas koordinater.

Linjen har alltså riktningskoefficienten k = 4. Det ger oss y = 4x + m. Nu kan vi bestämma linjens ekvation genom att sätta in k och någon av punkternas koordinater i enpunktsform. Vi väljer P_1, med det hade gått lika bra med P_2. Sedan löser vi ut y för att få ekvationen på k-form.

Konstanttermen m är alltså lika med noll och ekvationen för linjen är y = 4x.

Vi beräknar punkternas koordinater då a = 3 genom att byta ut a mot 3.

Punkt	x	y	(x,y)
P_1	3	4* 3	(3,12)
P_2	3^2	(2* 3)^2	(9,36)

I koordinatsystemet nedan har vi markerat de båda punkterna och även ritat funktionens graf, y = 4x.

Linjen genom punkterna

(2, 3 p)

och

(4, p)

är vinkelrät mot linjen

x - 4 y = 0 .

Vilket värde har

p ?

Vi beräknar först lutningen på linjen x-4y=0 genom att lösa ut y och läsa av koefficienten framför x.

Produkten av två vinkelräta linjers k-värden är lika med - 1. Vi beräknar lutningen på linjen mellan punkterna (2,3p) och (5, p) genom att sätta in k_2= 14 i formeln k_1 * k_2=-1.

Linjen genom punkterna har lutningen - 4. Vi likställer k-formeln med detta, sätter in punkterna och förenklar tills vi finner p.

När går det inte att skriva linjen

a x + b y + c = 0

på

k

-form? Motivera ditt svar.

Vi skriver om ekvationen så att den står på formen y = kx + m. Sedan undersöker vi om det finns något eller några värden på a, b eller c som inte är tillåtna.

Om b = 0 får vi en division med noll vilket inte är definierat. Därför kan en ekvation inte skrivas om från allmän form till k-form om koefficienten framför y-termen är 0.

Räta linjers egenskaper

Parallella linjer

Exempel

Är linjerna parallella?

Vinkelräta linjer

Exempel

Är linjerna vinkelräta?

Allmän form - rät linje

Exempel

Omvandla från allmän form till $k$ -form

Exempel

Omvandla från $k$ -form till allmän form

Enpunktsform