Logga in
| 13 sidor teori |
| 36 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
En centimeter är en längdenhet som motsvarar en hundradel av en meter. På samma sätt är ett öre en hundradel av en krona när det gäller pengar. Ett århundrade består av hundra år. Med detta i åtanke betyder ordet procent just per hundra. Föreställ dig kvadraten nedan, som är uppdelad i 100 mindre rutor.
Skriv andelen mellan färgade rutor och det totala antalet rutor som ett bråk.
Ett vanligt sätt att beskriva andelar är med procent, som skrivs med ett procenttecken, %, och anger hundradelar. Förutom att använda % kan man även skriva procent som ett bråk eller som ett decimaltal.
Procent | Bråk | Decimaltal |
---|---|---|
1% | 1001 | 0,01 |
45% | 10045 | 0,45 |
135% | 100135 | 1,35 |
Skriv procenten som hundradelar.
procent anger hundradelar.
Fyll i luckorna med rätt procent, angiven som ett heltal, eller decimaltal.
Sätt in värden
Subtrahera term
Förläng med 25
Skriv i procent
En förändringsfaktor är ett tal som beskriver hur ett värde förändras, t.ex. att det ökar med 20% eller minskar med 35%. Förändringsfaktorn skrivs oftast i decimalform och kan tolkas som hur stor andel det nya värdet utgör av det gamla. Den beräknas som kvoten mellan värdet efter förändringen (nya värdet) och värdet före förändringen (gamla värdet).
Fo¨ra¨ndringsfaktor=Gamla va¨rdetNya va¨rdet
Vi delar sedan med 100 för att få förändringsfaktorn.
Procentuell ökning beräknas genom att dividera det nya priset med det gamla priset.
Nytt va¨rde=150 och Gammalt va¨rde=125
Förkorta med 25
Skriv i decimalform
Är de procentuella förändringarna lika stora kan man skriva den totala förändringen som en potens. Exempelvis kan en ökning med 45% tre år i rad skrivas som 1,45⋅1,45⋅1,45 vilket är samma sak som 1,453.
Beskriva de procentuella förändringarna som förändringsfaktorer.
Det sker tre procentuella förändringar: två sänkningar och en ökning. Vi börjar med att beskriva de procentuella förändringarna som förändringsfaktorer.
Procentuell förändring | Förändringsfaktor |
---|---|
−20% | 0,8 |
−30% | 0,7 |
+50% | 1,5 |
I den här lektionen har det utforskats olika begrepp relaterade till procentuella förändringar. Tabellen nedan ger en kortfattad sammanfattning av dessa begrepp, tillsammans med tydliga definitioner och illustrativa exempel.
Concept | Definition | Example |
---|---|---|
Procent | Ett sätt att beskriva delar av en helhet, uttryckt som hundradelar och skrivet med % symbolen. | 1%=1001=0,0145%=10045=0,45
|
Procentenhet | Skillnaden mellan två procenttal, används för att belysa en absolut förändring. | En ökning från 4% till 5% är en förändring med 1 procentenhet. |
Förändringsfaktor | Ett tal som beskriver hur ett värde förändras (ökar eller minskar), beräknat som Gamla va¨rdetNya va¨rdet |
En förändringsfaktor på 1,2 indikerar en ökning med 20%, medan 0,8 indikerar en minskning med 20%. |
Upprepade procentuella förändringar | Beräkning av den kumulativa effekten av flera procentuella förändringar genom att multiplicera deras respektive förändringsfaktorer. | Om priset på mjölk ökar med 10% och sedan med 20%, blir den totala förändringsfaktorn 1,10⋅1,20=1,32 vilket motsvarar en total ökning på 32%. |
Eftersom du har blivit allergisk säljer du dina två katter på Blocket. Den ena är en billigare bondkatt och den andra en raskatt, men köparen insisterar på att betala 420 kr styck för båda. Bondkatten såldes med vinst och raskatten såldes med förlust.
Vi vet vilka försäljningspriser katterna hade, men inte vilka inköpspriserna var. Därför tar vi reda på dem, ett i taget.
Bondkatten sålde du för 420 kr, vilket var 40 % mer än dess inköpspris som vi kan kalla x. Då kan vi skriva ekvationen 1,4x = 420 dvs. du köpte katten för x kr och sålde den för 40 % mer, vilket var 420 kr. Löser vi denna ekvation får vi reda på inköpspriset x.
Du betalade alltså 300 kr för bondkatten.
Även raskatten sålde du för 420 kr, men i det här fallet var det 40 % mindre än dess inköpspris som vi kallar y. Då får vi ekvationen 0,6y = 420 eftersom du köpte katten för y kr och sålde den för 40 % mindre (dvs. för 60 % av inköpspriset), 420 kr. Löser vi denna ekvation får vi reda på inköpspriset y.
Du köpte alltså raskatten för 700 kr.
De båda katternas försäljningspris var 420 kr styck. Bondkatten köptes för 300 kr och raskatten för 700 kr. Gick du totalt med vinst eller förlust? Det beräknar vi genom att addera försäljningspriserna och drar bort inköpspriserna:
Det visade sig alltså att du ekonomiskt gick med 160 kr i förlust.
Under rean på en möbelaffär sänktes priset på ett vitrinskåp med 30%. När rean var över ville ägaren inte chockhöja priset och bestämde sig för att öka det med 10% varje månad under tre månaders tid så att priset blev samma som innan rean.
Vi vet inte vad vitrinskåpet kostade från början, men vi kan kalla det priset för x. Vid rean sänktes priset 30 %, dvs. det var 70 % av x. Det betyder att reapriset var 0,7x. När man höjer priset med 10 % blir det nya priset 110 % av reapriset. 110 % skriver vi som 1.10 och eftersom det höjs tre gånger blir priset efter samtliga prishöjningar 0,7x * 1,10^3. Genom att multiplicera alla förändringsfaktorer får vi den totala förändringsfaktorn.
Tre månader efter rean är priset ungefär 0,93x. Förändringsfaktorn 0,93 är lika med 93 % dvs. 7 procent lägre än det ursprungliga priset.
Det ursprungliga priset var x. Genom att multiplicera priset efter prishöjningarna med förändringsfaktorn a ska vi alltså få x. Detta ger oss en ekvation som vi kan lösa ut a ur.
Ägaren måste höja priset en fjärde gång med ungefär 7,5 % för att priset ska vara samma som innan rean.
En räddningshelikopter ska hämta nödsatta människor i 5 livbåtar ute till havs. Helikoptern har bara plats för passagerarna i en av båtarna åt gången och måste därför göra 5 turer. När helikoptern hämtar passagerarna i den första båten är avståndet till land 5 mil.
Helikoptern börjar med att flyga 5 mil ut till båtarna. Sedan flyger den ytterligare 5 mil när den ska tillbaka land. Den första turen blev alltså 5 * 2 = 10 mil. Eftersom nästa vända är 10 % kortare behöver helikoptern endast flyga 90 % av 5 mil. Helikoptern flyger därför 5 * 0,9 = 4,5 mil. Men den ska även tillbaka så den måste flyga ytterligare 4,5 mil mot land, dvs. totalt 9 mil.
För varje tur blir sträckan 10 % kortare, vilket vi beräknar genom att multiplicera den tidigare flygsträckan med 0,9. Observera att båtarna ror 10 % av den kvarvarande sträckan och den blir mindre för varje båt som räddas. Vi sammanfattar de olika sträckorna i en tabell.
Båt | Antal mil till båtar | Antal mil till land | Summa |
---|---|---|---|
Första | 5 | 5 | 10 |
Andra | 5* 0,9 | 5* 0,9 | 9 |
Tredje | 5* 0,9^2 | 5* 0,9^2 | 8,1 |
Fjärde | 5* 0,9^3 | 5* 0,9^3 | 7,29 |
Femte | 5* 0,9^4 | 5* 0,9^4 | 6,561 |
Lägger vi ihop summorna av turerna kan vi bestämma den totala flygsträckan 10+9+8,1+7,29+6,561≈41 mil.
Din kompis drar bort samma antal procentenheter från ursprungsvärdet, men det går inte eftersom 25 % av värdet inte kommer att motsvara samma belopp varje år. Eftersom bilens värde minskar måste vi hela tiden göra om beräkningen för det aktuella värdet.
En minskning med 25 % motsvarar en förändringsfaktor på 0,75. Eftersom vi får en upprepad procentuell förändring kan vi beräkna den totala förändringsfaktorn genom att multiplicera förändringsfaktorerna för varje minskning. Den blir 0,75 * 0,75 * 0,75 * 0,75 eller 0,75^4 = 0,31640 ... ≈ 0,32. Förändringsfaktorn blir 0,32. Det innebär att värdet har minskat till 32 % av inköpspriset dvs. 100 - 32= 68 %.
Shartin McRelly, en omoralisk VD för ett läkemedelsföretag, höjer priset på en medicin mot toxoplasmos (en infektionssjukdom som slår extra hårt mot bl.a. cancersjuka) på julafton. Först höjer han priset med 405,1%. Han känner dock inte att han tjänar tillräckligt med pengar på de cancersjuka och gör ytterligare en höjning fem månader senare med 1000% på det nya priset.
För att bestämma den totala prishöjningen behöver vi skriva om de procentuella förändringarna som förändringsfaktorer. Vilken förändringsfaktor motsvarar då en ökning med 405,1 % och 1 000 %?
Om vi utgår från ursprungspriset som motsvarar 100 % och procentsatsen ökar med 405,1 % får vi 505,1 %. Procent betyder hundradel, vilket innebär att förändringsfaktorn blir 505,1 %=505,1/100=5,051. Multipliceras det ursprungliga priset med 5,051 får vi läkemedlets kostnad vid julafton.
Efter fem månader stiger priset med 1 000 % av priset på julafton (som nu utgör 100 %) vilket ger 1 100 % av det nya priset. Vi delar återigen vår procentsats med 100 vilket ger oss förändringsfaktorn mellan priserna: 1 100 %=1 100/100=11. Den totala förändringsfaktorn fås om vi multiplicerar förändringsfaktorerna som skiljer ursprungspriset från slutpriset: 5,051* 11=55,561. Hur bestämmer vi nu den procentuella förändringen som 55,561 utgör? Vi kan börja med att skriva om det till procent genom att multiplicera talet med 100: 55,561* 100=5 556,1 %. Skillnaden mellan ursprungspriset på 100 % och 5556,1 % visar den procentuella höjningen: 5 556,1-100 ≈ 5 456 %.
För att beräkna hur mycket dyrare det blev beräknar vi både månadskostnaden före och efter höjningen. Vi har bestämt förändringsfaktorn för höjningen till 55,561. Multiplicerar vi ursprungspriset med förändringsfaktorn får vi priset per dos fem månader senare:
13,50* 55,561≈ 750 $.
Nu kan vi bestämma månadskostnaden före och efter.
Pris | Doser | Dagar | Kostnad | = |
---|---|---|---|---|
750 | 3 | 30 | 750* 3* 30 | 67 500 $ |
13,50 | 3 | 30 | 13,50* 3* 30 | 1 215 $ |
Patienten betalar 67 500 - 1 215=66 285 $ mer per månad.
120 % av det ursprungliga priset innebär en förändringsfaktor på 1,2. Den nye VD:n vill alltså sätta priset
13,50* 1,2=16,20 $.
Det nya priset är 16,20 och det gamla är 750. Vi sätter in detta i formeln för att beräkna förändringsfaktorn.
Förändringsfaktorn 0,02 innebär att det nya priset utgör 2 % av det gamla. VD:n måste alltså sänka priset med 98 %.
En aktie har från början värdet 200 kronor. Första veckan ökar värdet med 10% och andra veckan minskar värdet med 10%. Aktiens värde fortsätter att förändras enligt samma mönster.
Hur mycket är aktien värd efter två veckor?
Hur mycket är aktien värd efter 100 veckor? Avrunda till hela kronor.
En ökning med 10 % motsvarar förändringsfaktorn 1,1, och en minskning med 10 % motsvaras av förändringsfaktorn 0,9. För att ta reda på värdet efter två veckor ska vi alltså multiplicera 200 med både 1,1 och 0,9: 200 * 1,1* 0,9 = 198. Aktiens värde är 198 kr efter två veckor.
I förra deluppgiften beräknade vi aktiens värde efter två veckor genom att multiplicera ursprungsvärdet med 1,1 * 0,9. Vi kan se detta som den sammanlagda förändringsfaktorn för två veckor:
1,1 * 0,9=0,99.
För varje tvåveckorsperiod minskar alltså värdet med 1 %. På 100 veckor går det 50 st. tvåveckorsperioder, vilket betyder att vi kan beräkna det nya värdet genom att multiplicera 200 med 0,99^(50):
200 * 0,99^(50) ≈ 121.
Efter 100 veckor är aktien värd ungefär 121 kr.
Om vi fortsätter på samma sätt som i förra deluppgiften kommer vi att få en enda lång multiplikation:
200 * 1,1 * 0,9 * 1,1 * 0,9 * ... * 1,1 * 0,9.
Eftersom det inte spelar någon roll vilken ordning faktorerna står i kan vi byta plats på dem utan att värdet ändras:
200 * 1,1 * 1,1 * 1,1 * ... * 0,9 * 0,9 * 0,9.
På 100 veckor kommer aktiens värde att öka 50 gånger och minska 50 gånger. Faktorn 1,1 kommer därför att förekomma 50 gånger och faktorn 0,9 kommer att lika många gånger. Det betyder att vi kan använda oss av potenser:
200 * 1,1^(50) * 0,9^(50).
Slår vi in detta på räknaren får vi samma svar som i huvudlösningen: ~ 121 kr.
Frida tar ett sms-lån på 1000 kr. Lånet ska betalas tillbaka efter en månad och den procentuella månadsräntan är 20%. När månaden är slut har Frida inte råd att betala sin skuld.
För att betala skulden tar hon ett nytt sms-lån på hela det belopp hon är skyldig. Det nya lånet har samma procentuella månadsränta.
Frida fortsätter att låna på samma sätt varje månad. Hur stor är Fridas skuld ett år efter att hon har tagit sitt första sms-lån?
Efter en månad ska Frida betala lånebeloppet på 1 000 kr samt en räntekostnad på 20 % av detta. Totalt sätt ska hon alltså betala tillbaka 1 000 * 1,2=1 200 kr. Genom att låna 1 200 kr och betala tillbaka det första lånet så har hon fortfarande ett lån på 1 200 kr. Situationen är alltså inte annorlunda än om hon inte betalat tillbaka lånet överhuvudtaget. För att beräkna det totala lånet multiplicerar vi därför det ursprungliga lånebeloppet med förändringsfaktorn 1,2 tolv gånger, dvs. en gång för varje månad: 1 000* 1,2^(12) ≈ 8 916 kr. Efter 1 år är skulden ca 8 916 kr.
Kim och Alex jämför resultatet i skolvalet. Kim påstår att en ökning från 16% till 19% är större än en ökning från 32% till 36%. Alex säger att det är tvärtom. Kan båda ha rätt? Motivera.
Här är det viktigt att man vet vad man pratar om när man säger ökning. Menar man procentuell ökning eller ökning med antalet procentenheter?
När man beräknar ökningen i procentenheter tittar man på hur procentantalet har förändrat. En ökning från 16 % till 19 % motsvarar en ökning på 19-16= 3procentenheter. En ökning från 32 % till 36 % är en ökning på 36-32=4 procentenheter. Om de pratar om ökning med antal procentenheter har därför Alex rätt.
Om man menar den procentuella ökningen tittar man istället på hur stor ökningen är i procent. Det kan vi beräkna genom att dividera det nya värdet med det gamla. I det första fallet får vi 19 %/16 %=1,1875, som motsvarar en ökning med 18,75 %. Det andra fallet ger 36 %/32 %=1,125 som motsvarar en ökning med med 12,5 % Om man pratar om den procentuella ökningen är den första ökningen störst och då har Kim rätt.
Beroende på om man pratar om ökningen i procent eller procentenheter kan alltså båda ha rätt.