Procentuella förändringar

Vi vet inte vad vitrinskåpet kostade från början, men vi kan kalla det priset för x. Vid rean sänktes priset 30 %, dvs. det var 70 % av x. Det betyder att reapriset var 0,7x. När man höjer priset med 10 % blir det nya priset 110 % av reapriset. 110 % skriver vi som 1,10 och eftersom det höjs tre gånger blir priset efter samtliga prishöjningar 0,7x * 1,10^3. Genom att multiplicera alla förändringsfaktorer får vi den totala förändringsfaktorn.

Tre månader efter rean är priset ungefär 0,93x. Förändringsfaktorn 0,93 är lika med 93 % dvs. 7 procent lägre än det ursprungliga priset.

Det ursprungliga priset var x. Genom att multiplicera priset efter prishöjningarna med förändringsfaktorn a ska vi alltså få x. Detta ger oss en ekvation som vi kan lösa ut a ur.

Ägaren måste höja priset en fjärde gång med ungefär 7,5 % för att priset ska vara samma som innan rean.

Helikoptern börjar med att flyga 5 mil ut till båtarna. Sedan flyger den ytterligare 5 mil när den ska tillbaka land. Den första turen blev alltså 5 * 2 = 10 mil. Eftersom nästa vända är 10 % kortare behöver helikoptern endast flyga 90 % av 5 mil. Helikoptern flyger därför 5 * 0,9 = 4,5 mil. Men den ska även tillbaka så den måste flyga ytterligare 4,5 mil mot land, dvs. totalt 9 mil.

För varje tur blir sträckan 10 % kortare, vilket vi beräknar genom att multiplicera den tidigare flygsträckan med 0,9. Observera att båtarna ror 10 % av den kvarvarande sträckan och den blir mindre för varje båt som räddas. Vi sammanfattar de olika sträckorna i en tabell.

Lägger vi ihop summorna av turerna kan vi bestämma den totala flygsträckan 10+9+8,1+7,29+6,561≈41 mil.

Kompisens misstag

Din kompis drar bort samma antal procentenheter från ursprungsvärdet, men det går inte eftersom 25 % av värdet inte kommer att motsvara samma belopp varje år. Eftersom bilens värde minskar måste vi hela tiden göra om beräkningen för det aktuella värdet.

En korrekt lösning

En minskning med 25 % motsvarar en förändringsfaktor på 0,75. Eftersom vi får en upprepad procentuell förändring kan vi beräkna den totala förändringsfaktorn genom att multiplicera förändringsfaktorerna för varje minskning. Den blir 0,75 * 0,75 * 0,75 * 0,75 eller 0,75^4 = 0,31640 ... ≈ 0,32. Förändringsfaktorn blir 0,32. Det innebär att värdet har minskat till 32 % av inköpspriset dvs. 100 - 32= 68 %.

För att bestämma den totala prishöjningen behöver vi skriva om de procentuella förändringarna som förändringsfaktorer. Vilken förändringsfaktor motsvarar då en ökning med 405,1 % och 1 000 %?

Första förändringsfaktorn

Om vi utgår från ursprungspriset som motsvarar 100 % och procentsatsen ökar med 405,1 % får vi 505,1 %. Procent betyder hundradel, vilket innebär att förändringsfaktorn blir 505,1 %=505,1/100=5,051. Multipliceras det ursprungliga priset med 5,051 får vi läkemedlets kostnad vid julafton.

Andra förändringsfaktorn

Efter fem månader stiger priset med 1 000 % av priset på julafton (som nu utgör 100 %) vilket ger 1 100 % av det nya priset. Vi delar återigen vår procentsats med 100 vilket ger oss förändringsfaktorn mellan priserna: 1 100 %=1 100/100=11. Den totala förändringsfaktorn fås om vi multiplicerar förändringsfaktorerna som skiljer ursprungspriset från slutpriset: 5,051* 11=55,561. Hur bestämmer vi nu den procentuella förändringen som 55,561 utgör? Vi kan börja med att skriva om det till procent genom att multiplicera talet med 100: 55,561* 100=5 556,1 %. Skillnaden mellan ursprungspriset på 100 % och 5556,1 % visar den procentuella höjningen: 5 556,1-100 ≈ 5 456 %.

För att beräkna hur mycket dyrare det blev beräknar vi både månadskostnaden före och efter höjningen. Vi har bestämt förändringsfaktorn för höjningen till 55,561. Multiplicerar vi ursprungspriset med förändringsfaktorn får vi priset per dos fem månader senare: 13,50* 55,561≈ 750 $. Nu kan vi bestämma månadskostnaden före och efter.

Patienten betalar 67 500 - 1 215=66 285 $ mer per månad.

120 % av det ursprungliga priset innebär en förändringsfaktor på 1,2. Den nye VD:n vill alltså sätta priset 13,50* 1,2=16,20 $. Det nya priset är 16,20 och det gamla är 750. Vi sätter in detta i formeln för att beräkna förändringsfaktorn.

Förändringsfaktorn 0,02 innebär att det nya priset utgör 2 % av det gamla. VD:n måste alltså sänka priset med 98 %.

En ökning med 10 % motsvarar förändringsfaktorn 1,1, och en minskning med 10 % motsvaras av förändringsfaktorn 0,9. För att ta reda på värdet efter två veckor ska vi alltså multiplicera 200 med både 1,1 och 0,9: 200 * 1,1* 0,9 = 198. Aktiens värde är 198 kr efter två veckor.

I förra deluppgiften beräknade vi aktiens värde efter två veckor genom att multiplicera ursprungsvärdet med 1,1 * 0,9. Vi kan se detta som den sammanlagda förändringsfaktorn för två veckor: 1,1 * 0,9=0,99. För varje tvåveckorsperiod minskar alltså värdet med 1 %. På 100 veckor går det 50 st. tvåveckorsperioder, vilket betyder att vi kan beräkna det nya värdet genom att multiplicera 200 med 0,99^(50): 200 * 0,99^(50) ≈ 121. Efter 100 veckor är aktien värd ungefär 121 kr.

Om vi fortsätter på samma sätt som i förra deluppgiften kommer vi att få en enda lång multiplikation: 200 * 1,1 * 0,9 * 1,1 * 0,9 * ... * 1,1 * 0,9. Eftersom det inte spelar någon roll vilken ordning faktorerna står i kan vi byta plats på dem utan att värdet ändras: 200 * 1,1 * 1,1 * 1,1 * ... * 0,9 * 0,9 * 0,9. På 100 veckor kommer aktiens värde att öka 50 gånger och minska 50 gånger. Faktorn 1,1 kommer därför att förekomma 50 gånger och faktorn 0,9 kommer att lika många gånger. Det betyder att vi kan använda oss av potenser: 200 * 1,1^(50) * 0,9^(50). Slår vi in detta på räknaren får vi samma svar som i huvudlösningen: ~ 121 kr.

Efter en månad ska Frida betala lånebeloppet på 1 000 kr samt en räntekostnad på 20 % av detta. Totalt sätt ska hon alltså betala tillbaka 1 000 * 1,2=1 200 kr. Genom att låna 1 200 kr och betala tillbaka det första lånet så har hon fortfarande ett lån på 1 200 kr. Situationen är alltså inte annorlunda än om hon inte betalat tillbaka lånet överhuvudtaget. För att beräkna det totala lånet multiplicerar vi därför det ursprungliga lånebeloppet med förändringsfaktorn 1,2 tolv gånger, dvs. en gång för varje månad: 1 000* 1,2^(12) ≈ 8 916 kr. Efter 1 år är skulden ca 8 916 kr.

Här är det viktigt att man vet vad man pratar om när man säger ökning. Menar man procentuell ökning eller ökning med antalet procentenheter?

Procentenheter

När man beräknar ökningen i procentenheter tittar man på hur procentantalet har förändrat. En ökning från 16 % till 19 % motsvarar en ökning på 19-16= 3procentenheter. En ökning från 32 % till 36 % är en ökning på 36-32=4 procentenheter. Om de pratar om ökning med antal procentenheter har därför Alex rätt.

Procentuell ökning

Om man menar den procentuella ökningen tittar man istället på hur stor ökningen är i procent. Det kan vi beräkna genom att dividera det nya värdet med det gamla. I det första fallet får vi 19 %/16 %=1,1875, som motsvarar en ökning med 18,75 %. Det andra fallet ger 36 %/32 %=1,125 som motsvarar en ökning med med 12,5 % Om man pratar om den procentuella ökningen är den första ökningen störst och då har Kim rätt.

Sammanfattning

Beroende på om man pratar om ökningen i procent eller procentenheter kan alltså båda ha rätt.